SAT 数学讲义 · Part 1  Algebra 代数（考法全覆盖版）

从零开始 · 讲解

方程是什么：一个装着未知数的"天平"。等号两边始终平衡，所以你可以对两边同时做任何相同的操作（加、减、乘、除非零数），天平不会歪。解方程 = 反复用这条规则，把 \(x\) 一个人留在等号一边。

标准流程（对付一切一次方程）：①有分母先乘公分母清掉 → ②有括号先展开 → ③把含 \(x\) 的项挪到一边、常数挪到另一边（移项要变号）→ ④合并同类项 → ⑤两边除以 \(x\) 的系数。
微型算例：\(\dfrac{x}{3}+2=7\)。①×3：\(x+6=21\)；③移项：\(x=21-6\)；答 \(x=15\)。

SAT 的真正考点——整体代换：SAT 很少让你老老实实解出 \(x\)，它爱问 \(48x\)、\(x+5\)、\(x^2+6x\) 这样的"整体"。此时把整块式子看成一个新字母（比如令 \(u=x+5\)），常常一两步就完，还避开分数计算。三种常见形态：

• ① 整体乘除：已知 \(6x=9\) 问 \(48x\)——两边直接 ×8，不求 \(x\)。
• ② 同因式合并：\(5(t+3)-7(t+3)\) 就像"5 个苹果减 7 个苹果" \(=-2(t+3)\)——括号是一个整体，个数相减。
• ③ 展开对照：\((x+3)^2=x^2+6x+9\)，要求的 \(x^2+6x\) 已经藏在展开式里，减 9 即得。

分式方程：两边同乘公分母一次清光；若题目给了"方程的解"反问参数，别去解方程——把解代回去，关于参数的方程立刻出现。多字母分式（如 \(\frac{4a}{b}\)）：单个字母求不出来，但 \(\frac{a}{b}\) 这个组合能求出数值，再逐层代入。

常见误区：①移项忘变号；②两边乘公分母时漏乘某一项（尤其右边的常数）；③把 \(\frac{x+5}{3}=\frac{x+5}{12}\) 两边"约掉" \(x+5\) 得出"无解"——只有确定非零的式子才能约，这里恰恰 \(x+5=0\) 才是答案。

从零开始 · 讲解

斜率是什么：直线的"陡峭程度"——沿着直线往右走 1 步，上升（或下降）多少步。公式 \( m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) 就是"纵向变化 ÷ 横向变化"。\(m>0\) 右上斜，\(m<0\) 右下斜，\(|m|\) 越大越陡。
微型算例：过 \((1,2)\) 和 \((4,11)\)：\(m=\dfrac{11-2}{4-1}=3\)——每右移 1，上升 3。

写出直线方程只需要两样东西：斜率 \(m\) + 任意一个点。套 \(y=mx+b\)，把点代入解出 \(b\)。题目可能用四种方式"发货"，本质相同：

• 直接给斜率和一个点 → 代点求 \(b\)；
• 给两个点（或两个函数值：\(h(28)=15\) 就是"过点 \((28,15)\)"）→ 先算斜率再代点；
• 给一般式 \(Ax+By=C\) → 斜率直接读 \(-\dfrac{A}{B}\)，不必移项（Hard 题提速神器）；
• 给"平行/垂直于某线" → 平行抄斜率，垂直取负倒数。

平行与垂直（背两句话）：平行 ⇔ 斜率相等（永不相遇 = 同样的陡峭度）；垂直 ⇔ 斜率乘积 \(=-1\)（一条右上一条右下，且陡缓互补）。两个特例要单独记：水平线 \(y=k\) 斜率为 0，竖直线 \(x=k\) 没有斜率（分母为 0），它俩互相垂直但不满足"乘积 −1"公式。

圆的切线（垂直关系的隐藏考法）：切线 ⊥ 过切点的半径。所以"切线斜率"两步：①用圆心和切点算半径斜率；②取负倒数。反过来给切线斜率也能反推切点坐标。

常见误区：①两点算斜率时上下顺序不一致（\(y_2-y_1\) 配 \(x_1-x_2\)）；②把过点 \((2,-4)\) 的 \(-4\) 直接当成 y 截距——只有 \(x=0\) 的点才是截距；③对竖直线套负倒数公式。

从零开始 · 讲解

截距是什么：图像与坐标轴的交点。碰 y 轴的点叫 y 截距——y 轴上所有点的横坐标都是 0，所以求它就是令 \(x=0\)，也就是算 \(f(0)\)；碰 x 轴的点叫 x 截距——x 轴上纵坐标都是 0，所以令 \(y=0\) 解方程。这条规则对任何函数都成立，直线、抛物线、指数函数一律通用。

微型算例：\(f(x)=6x+18\)。y 截距 \(=f(0)=18\)；x 截距：\(6x+18=0\Rightarrow x=-3\)。注意 x 截距常是负数，别丢符号。

为什么截距重要：应用题里 y 截距 = "初始值"（时间为 0 时的量），x 截距 = "归零时刻"（存量耗尽、收支平衡）。SAT 的解释类题（见第 5 节）反复考这两个身份。

进阶：图像縦向缩放。\(y=k\cdot f(x)\) 把每个点的 y 坐标都乘 \(k\)：y 截距跟着乘 \(k\)，而 x 截距（y=0 的点，0 乘几都是 0）纹丝不动。SAT 的高频模板：给二次函数"顶点 + 一点"，问 \(y=5f(x)\) 的截距——三步走：设顶点式 \(f(x)=a(x-h)^2+k\) → 代已知点求 \(a\) → 代 \(x=0\) 求截距，最后乘缩放倍数。

常见误区：①把"过点 \((2,-4)\)"的 \(-4\) 当 y 截距（只有 \(x=0\) 的点才算）；②求 x 截距解方程时丢负号；③缩放时误以为 x 截距也会变。

从零开始 · 讲解

建模是什么：把一段英文描述翻译成一条方程。所有线性情境共用一个骨架：

微型算例：出租车起步价 $3，每英里 $2，坐 \(x\) 英里 ⇒ 费用 \(=3+2x\)。"每（per/each）"后面的数就是率，孤零零的一次性数就是初始值。

最大陷阱——率的方向：题目常把率"倒着"给你："3.0 盎司提供 1 微克"——要乘在"盎司数 \(x\)"上的系数必须是"每盎司多少微克" \(=\frac{1}{3.0}\)，而不是 3.0。判断方法是单位检验：系数单位 × 变量单位必须等于等号另一边的单位（\(\frac{\text{微克}}{\text{盎司}}\times\text{盎司}=\text{微克}\) ✓）。写完方程花 5 秒验一次单位，这类题就不会错。

三个高频变形：

• 首段特殊计费：前两小时共 \(p\) 元、之后每小时 \(q\) 元 ⇒ \(p+q(x-2)\)。注意后段只有 \(x-2\) 小时。选项通常给"展开合并"后的形式，代 \(x=2\)（应等于 \(p\)）快速验证。
• 问变化量还是总量："increase over 20 minutes" 只算 率×20，与初始值无关；"distance after 20 minutes" 才要加初始值。圈出 increase/total 再动笔。
• 间隔计数（植树问题）：每隔 \(d\) 放一个、两端都放 ⇒ 个数 = 间隔数 + 1。起点那一个最容易被吃掉。

常见误区：①把"份量"当"率"（单位检验可防）；②首段计费不展开直接选（代 \(x=\) 首段长度验证）；③变化量算成总量。

从零开始 · 讲解（附身份对照表）

这类题在考什么：不考计算，考"读懂模型"。给你一条现实情境里的方程，问某个数字在故事里代表什么。四个数字各有固定身份，先背下这张"身份表"：

做题动作（顺序执行）：①在草稿上写清"\(x=\)什么（带单位），\(y=\)什么（带单位）"——90% 的错误源于跳过这一步；②认出被问数字的身份（对照上表）；③套标准句式说出人话；④拿这句话逐词比对四个选项。

两个进阶陷阱：

• 方向反转：斜率是"每 1 单位自变量 → 因变量变多少"，选项常给反向版本（"每厘米增加多少牛" vs "每牛增加多少厘米"），盯住谁是自变量。
• 变量定义偷换：常数项的意义取决于"\(x=0\) 意味着什么情境"。若 \(d\) 定义为"额外下潜的米数"，常数项就是"开始额外下潜前"的压强，不是水面压强。拿不准就亲手代 \(x=0\) 算一遍，再问自己这个时刻发生了什么。

新增 · 图像型解释题：题目给的是"情境图像"而不是方程时，上面的身份表照样适用——斜率 = 变化率（距离-时间图里就是速度），水平段 = 量不变（停在原地），下降段 = 量在减少（离家距离变小 = 往回走）。直线段 = 匀速；越来越陡的曲线 = 加速，越来越平 = 减速。

从零开始 · 讲解

方程组是什么：两个条件同时约束两个未知数。一个方程两个未知数解不出来，但两个方程"夹"在一起，答案就唯一了。图形上：每个方程是一条直线，"解"就是两条线的交点坐标。

两种基本武器（够用一辈子）：

• 代入法：某个方程已经（或很容易）解出一个变量时用。如 \(y=6\) 或 \(y=8-4x\)，直接塞进另一个方程，两元变一元。
  微型算例：\(x=9,\ x+6y=21\)。代入：\(9+6y=21\Rightarrow y=2\)。
• 消元法：两式上下相加或相减，让某个变量"对消"。系数不同就先给整条方程乘常数配齐。看到 \(-2y\) 和 \(+2y\) 这种天生一对，直接相加。

动手前先看问什么：问 \(x+y\) 或 \(x-y\) 时，先试试两式直接相加/相减——有时目标整体一步蹦出来，根本不用解出 \(x,y\) 各自的值。这是§1"整体思想"在方程组里的延续。

两个高频升级形态：

• 嵌套整体代换：两式反复出现同一个"块"（如 \(\frac{x-17}{6}\) 和 \(\frac{x-17}{3}\)）⇒ 设 \(A=x-17,\ B=y+28\) 换元，解出 \(A,B\) 后再还原。硬展开也能做，但计算量翻三倍。
• 含参数方程组：两式右边是同一个参数 \(c\) 时，令两个左边相等，\(c\) 直接消失，得到交点必须满足的关系式——不解方程组就锁定交点轨迹。

常见误区：①清分母时右边常数漏乘；②消元时只对了一列、另一列忘了同乘；③解出 \(x\) 就交卷——回头看问的是 \(y\) 还是 \(x+y\)。

新增 · 三个方程的方程组：方程组的解必须同时满足每一个方程，所以三个方程的解 = 三条图像共同经过的点——只被其中两条经过的交点不算。做法：先读出（或算出）前两条的交点，再代进第三个方程：成立 ⇒ 恰一解；不成立 ⇒ 零解。第三条线若与其中一条平行（如 \(x+4y=16\) 与 \(x+4y=-16\)），可直接判零解。

从零开始 · 讲解

先建立直觉：一个方程可能有几个解？把它化简到底，只剩三种结局：

微型算例：\(7x-8=7x\)。两边减 \(7x\)：\(-8=0\)，假话 ⇒ 无解。而 \(2(3x+1)=6x+2\) 展开后两边一模一样 ⇒ 无穷多解。

含参数题的统一解法——对照法：把两边各自整理成 \(px+q\) 的形式，然后"系数对系数、常数对常数"：

• 要无穷多解：系数相等 且 常数相等（两边完全相同）——两个条件解出参数；
• 要无解：系数相等 但 常数不等——注意第二个条件是"≠"，常引出"必真判断"题；
• 要恰一解：系数不等即可，常数随意。

方程组版（两条直线的三种位置关系）：相交（斜率不同）= 一解；平行（斜率同、截距异）= 无解；重合(全同) = 无穷多解。含参求"无解"就是解"斜率相等"这个方程。重合时线上每个点都是解，可用参数表示（设 \(y=r\) 反解 \(x\)）。

常见误区：①看到"像普通方程"就默认一解——先展开再下结论；②无解条件只写了"系数相等"忘了"常数不等"；③化斜截式比较斜率时，同侧的 \(y\) 项忘了合并。

新增 · 信息是否充分（NOT sufficient 型）：已知一个关于 \(x,y\) 的线性关系（如三角形内角和给出 \(x+y=148\)），再给"某个式子的值"，问能否唯一确定 \(x\) 和 \(y\)。这就是两条直线的位置关系：新式子若与已知式系数成比例（例如 \(32-3x-3y=32-3(x+y)\)），它的值本来就能算出，不提供新信息 ⇒ 不充分；系数不成比例 ⇒ 两线相交于一点 ⇒ 充分。

从零开始 · 讲解

不等式是什么：把等号换成"大小关系"的方程，答案不再是一个数，而是一段范围。解法与解方程完全相同，只有一条额外规则要刻进脑子：

为什么会翻：\(2<3\) 两边乘 \(-1\) 得 \(-2\) 与 \(-3\)——数轴上 \(-2\) 反而在右边，大小关系颠倒了。

第一关是翻译，不是计算。背这本小词典：

四个高频场景的固定动作：

• 建模：先写数值表达式（总分 \(3f+5s\)），再按 at least/at most 挂符号；
• 解集反推参数：题给的解集方向和原不等式方向相反 ⇒ 中途除过负数 ⇒ 系数必为负，再对照边界值列等式；
• 联立夹逼：\(y>A\) 且 \(y<B\) ⇒ 必须 \(A<B\)，由此解出 \(x\) 的范围；
• 代点检验（选择题快解）：把选项坐标代入每一个不等式，全过才是解——不用画图。

套路素材：连续奇数/偶数从 \(x\) 起依次为 \(x,\ x+2,\ x+4,\ x+6\)（奇偶都是隔 2）。最后答题时若限定"整数/奇数"，先解出范围再挑符合的数——范围端点往往取不到。

常见误区：①除以负数不变号；②"46 less than B"写成 \(46-B\)；③最终答案忘了奇偶/整数约束；④联立时只检验了一个不等式。

新增 · 不等式的图像（阴影区域）：三步读图：①边界线——读截距和斜率写出 \(y=mx+b\)；②虚实——虚线 = 不含边界（\(<\)、\(>\)），实线 = 含边界（\(\le\)、\(\ge\)）；③上下——阴影在线上方 ⇒ \(y>\)（或 \(\ge\)），在下方 ⇒ \(y<\)（或 \(\le\)）。拿不准就代一个阴影里的点（常用原点）检验。不等式组的解 = 各自阴影的重叠部分。题目写成 \(rx+ty\ge-65\)、\(-19y<c\) 求参数时，先按图写出 \(y\) 的不等式，再变形到与题目同方向、同右边后对照系数（乘除负数要变号）。

新增 · 区间推理："总量固定、部分已知"时，剩下几个正数的和就固定了；其中任意一个都大于 0、小于这个剩余和（其余几个也要是正数，总要占掉一点）。分段给出"至少……至多……"的速度/价格时，用最小值、最大值各算一遍总量，得到可能值的区间，再去对选项。