SAT 数学讲义 · Part 3 Problem-Solving & Data Analysis 数据分析（深度学习版）

零基础可学｜每节：教材式讲解（是什么 → 怎么做 → 微型算例 → 常见误区）→ 精讲例题 → 独立练习组（原题变体）｜含散点图/双向表带图真题

7 个知识点 · 31 个题型 · 50 道真题（含 12 道带原图的图表题，最低实考正确率 42%）｜题型体系基于全库 4,843 道真题的通读归类

1. 比例与比率

Ratios, Rates & Proportions

题库约 300 题（Hard 145）｜ Hard 题型：率的方向、比例转方程、比例尺缩放

从零开始 · 讲解

比是什么：两个量"同步缩放"的关系。沙 : 水泥 = 7 : 3 的意思是——不管这批料有多少，把它分成 10 份，沙永远占 7 份、水泥占 3 份。写成分数就是 $\dfrac{s}{c}=\dfrac73$。

交叉相乘为什么成立：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 两边同乘 $bd$，分母就消了，得 $ad=bc$——所以"对角线相乘相等"不是魔法，就是同乘分母。注意转出来的方程数字换边：$\dfrac{s}{c}=\dfrac73\Rightarrow 3s=7c$（大的一方配小系数，可用"沙多水泥少"验证方向）。
微型算例：$\dfrac{x}{12}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow4x=60\Rightarrow x=15$。

率（rate）是"每 1 个单位配多少"，方向是唯一考点：读到"2.25 罐对应 8 磅"，先问自己要的是"每罐多少磅"（$\frac{8}{2.25}$）还是"每磅多少罐"（$\frac{2.25}{8}$）——判断标准是它要乘的变量是什么单位，乘完的单位必须和等号另一边一致（单位检验）。"5.7 分钟每英里"乘英里数得分钟 ⇒ 乘法；除法方向就错了。

比例尺是"率"的地图版：图上 1 英寸代表 13 英里。图纸缩小成原来的 $k$ 倍时，同一块土地被压进更小的纸里 ⇒ 每英寸代表的实际距离变大为 $\frac{13}{k}$；图纸放大则相反。口诀：纸变小，1 英寸管得多；纸变大，1 英寸管得少。

常见误区：①比转方程数字不换边（$7s=3c$）；②率的方向凭感觉不做单位检验；③比例尺缩放方向想反（乘成除、除成乘）。

题型 1A

率的方向与配平方程

Module 2 压轴常客

例 1A-1Hard2023年12月A卷 · 正确率 56%

A 9-pound cat eats two types of canned cat food: chicken-flavored and duck-flavored. The recommended amount of chicken-flavored food is 2.25 cans per 8 pounds of a cat's weight per day. The recommended amount of duck-flavored food is 0.75 cans per 5 pounds of a cat's weight per day. If $c$ is the number of chicken-flavored cans and $d$ is the number of duck-flavored cans a 9-pound cat eats in one day, which equation describes all the possible values of $c$ and $d$ for the cat to eat the recommended amount of food based on its weight?

A) $\dfrac{0.75}{5}c+\dfrac{2.25}{8}d=9$
B) $\dfrac{2.25}{8}c+\dfrac{0.75}{5}d=9$
C) $\dfrac{5}{0.75}c+\dfrac{8}{2.25}d=9$
D) $\dfrac{8}{2.25}c+\dfrac{5}{0.75}d=9$

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答案：D　$\dfrac{8}{2.25}c+\dfrac{5}{0.75}d=9$

等式右边是 9 磅（猫的体重），所以每一项的单位必须是"磅"。
鸡肉罐头：2.25 罐"覆盖"8 磅体重 ⇒ 每罐覆盖 $\dfrac{8}{2.25}$ 磅。吃 $c$ 罐覆盖 $\dfrac{8}{2.25}c$ 磅。
鸭肉罐头：0.75 罐覆盖 5 磅 ⇒ 每罐 $\dfrac{5}{0.75}$ 磅，共 $\dfrac{5}{0.75}d$ 磅。
两者合计覆盖全部体重：$\dfrac{8}{2.25}c+\dfrac{5}{0.75}d=9$。

易错点：B 用了"每磅多少罐"（$\frac{2.25}{8}$），单位乘出来是"罐"不是"磅"，与右边 9 磅对不上。方程建好后做一次单位检验：$\frac{\text{磅}}{\text{罐}}\times\text{罐}=\text{磅}$ ✓。

题型 1B

比转方程组

例 1B-1Hard2024年8月北美D卷 · 正确率 73%

A scientist makes batches of bricks using different sand-to-cement ratios. For one batch of bricks, the scientist uses 4,880 cubic centimeters (cm³) of sand and cement, where the ratio of the volume of sand to the volume of cement is 7 to 3. If $s$ represents the volume, in cm³, of sand and $c$ represents the volume, in cm³, of cement, which system of equations represents this situation?

A) $s=c$，$7s+3c=4{,}880$
B) $s=c$，$3s+7c=4{,}880$
C) $7s=3c$，$s+c=4{,}880$
D) $3s=7c$，$s+c=4{,}880$

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答案：D　$3s=7c$，$s+c=4{,}880$

总量：$s+c=4{,}880$。
比 $s:c=7:3$ ⇒ $\dfrac{s}{c}=\dfrac73$，交叉相乘：$3s=7c$。

易错点：C（$7s=3c$）是把比的数字原位照抄——交叉相乘后数字要换边。验证：沙多水泥少，$3s=7c$ ⇒ $s=\frac73c>c$ ✓；而 $7s=3c$ 会让沙更少 ✗。

题型 1C

比例尺缩放（反向变化）

模板 MT029 · 5 次重复出现全 Hard

例 1C-1Hard2024年8月A卷 · 正确率 70%

A square map has a side length of 30 inches, and 1 inch on the map represents an actual distance of 13 miles. A smaller version of the same map is printed as a square with the side length 85% shorter than the side length of the previous map. On the smaller map, which of the following is closest to the actual distance, in miles, represented by 1 inch?

A) $1.95$
B) $7.03$
C) $25.50$
D) $86.67$

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答案：D　$86.67$

"85% shorter" ⇒ 新图边长是原来的 $15\%=0.15$ 倍。
地图缩小了，但实际土地没变——同一块地被压进更小的纸里，所以每 1 英寸代表的实际距离变大。
新比例 $=\dfrac{13}{0.15}\approx86.67$ 英里/英寸。

易错点：A（$13\times0.15$）方向反了。判断口诀：图变小 → 每英寸管的实际距离变大 → 除以缩放系数。题面的"30 inches"是干扰信息，全程用不到。

题型 1D

单位率的函数建模（乘还是除）

全库单位率 84 题（H39）· 新增题型

例 1D-1Hard机考OG1 · 正确率 61%

For a training program, Juan rides his bike at an average rate of 5.7 minutes per mile. Which function $m$ models the number of minutes it will take Juan to ride $x$ miles at this rate?

A) $m(x)=\dfrac{x}{5.7}$
B) $m(x)=x+5.7$
C) $m(x)=x-5.7$
D) $m(x)=5.7x$

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答案：D　$m(x)=5.7x$

率的单位是"分钟每英里"，要求的输出是分钟、输入是英里。
单位相乘检验：$5.7\ \dfrac{\text{分钟}}{\text{英里}}\times x\ \text{英里}=\text{分钟}$ ✓，所以是乘法。

易错点：近四成考生选 A（除以 5.7）——那是把率当成了"英里每分钟"。乘还是除，一次单位检验立判，别靠感觉。

题型 1E

单价比较：盈亏平衡最小次数

新增题型

例 1E-1HardCollege Board 题库 · 正确率 69% · 填空题

A local transit company sells a monthly pass for $95 that allows an unlimited number of trips of any length. Tickets for individual trips cost $1.50, $2.50, or $3.50, depending on the length of the trip. What is the minimum number of trips per month for which a monthly pass could cost less than purchasing individual tickets for trips?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$28$

关键词是 "could"：要让月票在尽可能少的次数下就划算，应该和最贵的单次票 $3.50 比。
列不等式：$95<3.50n$，即 $n>\dfrac{95}{3.50}\approx27.14$。
最小整数 $n=28$。

易错点：用 $1.50 算（得 64）——那是"保证划算"的次数，题目问的是"有可能划算"的最少次数。could/must 一字之差决定和哪个价格比。

练习组

独立完成 · 1 题

例 1C-1 的方向反转变体

练 1.1（例 1C-1 反向版）Hard2024年11月C卷 · 正确率 74%

A square map has a side length of 55 inches, and 1 inch on the map represents an actual distance of 13 miles. A larger version of the same map is printed as a square with the side length 90% longer than the side length of the previous map. On the larger map, which of the following is closest to the actual distance, in miles, represented by 1 inch?

A) $1.30$
B) $6.84$
C) $24.70$
D) $49.50$

答案与提示

答案：B　$6.84$

提示：这次是放大——纸变大，1 英寸管得少。新边长 = 原来的 1.9 倍，所以每英寸代表 $\dfrac{13}{1.9}\approx6.84$ 英里。与例 1C-1（缩小 ⇒ 除以 0.15 变大）方向正好相反，先判方向再动笔。

2. 单位换算与复合率

Unit Conversion & Compound Rates

题库约 340 题（Hard 168）｜ Hard 集中在"面积要平方、时间平方要平方"两个坑

从零开始 · 讲解

换算的底层原理只有一条：乘 1 不改变任何东西。而"1 mile = 1,609 m"可以写成分数 $\dfrac{1\ \text{mile}}{1609\ \text{m}}=1$——所以换算就是连乘一串等于 1 的分数，摆放方向以"旧单位上下约掉"为准。

链式换算：$ 5.7\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\times\dfrac{1\ \text{mile}}{1609\ \text{m}}\times\dfrac{3600\ \text{s}^2}{1\ \text{min}^2} $ —— 每个分数都 = 1，旧单位一路约掉

为什么面积要平方：1 m = 100 cm 说的是长度。一块 1 m × 1 m 的正方形换成厘米是 100 × 100 = 10,000 cm²——面积是两个长度相乘，所以换算系数也要乘两次（平方）；体积同理立方。
微型算例：3 m² = 3×10,000 = 30,000 cm²（不是 300）。

时间的平方同样要平方：加速度单位里的 s² 换成 min² 时，1 min² = 60² s² = 3600 s²。"per second squared"里的平方作用在时间单位上——只乘 60 是这类题唯一且致命的坑。

复合率（both 上下都要换）：如 cm²/hour → m²/min，分子（面积）和分母（时间）分开各换各的：面积除以 10,000，时间除以 60。一步一步写，别心算合并。

常见误区：①面积/体积换算忘平方/立方；②时间平方只乘 60；③换算方向反（该除的乘了）——用"量该变大还是变小"做常识检验。

题型 2A

面积换算：换算系数要平方

例 2A-1Hard2023年11月A卷 · 正确率 56% · 填空题

An area of 56.00 square nautical miles is equivalent to $k$ square kilometers. To the nearest tenth, what is the value of $k$? (1 nautical mile = 1.852 kilometers)

Grid-in 填空题

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答案：$192.1$

长度关系平方得到面积关系：1 海里² $=(1.852)^2=3.4299$ km²。
$k=56.00\times3.4299\approx192.07$，保留一位小数 $192.1$。

易错点：直接乘 1.852（不平方）得 103.7——这是本题型唯一且致命的坑。看到 square/cubic 字样，换算系数先平方/立方。

题型 2B

加速度换算：时间平方

模板 MT015 · 6 次重复全 Hard

例 2B-1Hard2024年11月B卷 · 正确率 60% · 填空题

An object's speed is increasing at a rate of 5.70 meters per second squared. What is this rate, in miles per minute squared, rounded to the nearest tenth? (Use 1 mile = 1,609 meters.)

Grid-in 填空题（允许使用计算器）

查看解答

答案：$12.8$

链式写出，分子分母各换各的：$5.70\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\times\dfrac{1\ \text{mile}}{1609\ \text{m}}\times\dfrac{3600\ \text{s}^2}{1\ \text{min}^2}$。
关键：1 min² $=60^2$ s² $=3600$ s²，时间在平方位置就乘 $60^2$。
$=\dfrac{5.70\times3600}{1609}=\dfrac{20520}{1609}\approx12.75\to12.8$。

易错点：只乘 60 得 0.21——per second squared 里的平方作用于时间单位。此模板已考 6 次（数值 5.70/7.3/12.60 等），流程完全一样。

题型 2C

复合率：面积与时间同时换

模板 MT010 变体

例 2C-1Hard2023年5月练习卷 · 正确率 62% · 填空题

How many square meters per minute is equivalent to a rate of 1800 square centimeters per hour? (Note: 1 meter = 100 centimeters)

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$0.003$

面积：1 m² $=100^2=10{,}000$ cm²，所以 1800 cm² $=0.18$ m²。
时间：每小时 0.18 m² ⇒ 每分钟 $\dfrac{0.18}{60}=0.003$ m²。

易错点：两个坑叠加——面积除以 10,000（不是 100），时间除以 60（方向别反：小时变分钟，量变小）。

练习组

独立完成 · 2 题

例 2B / 2C 的原题变体

练 2.1（例 2B-1 变体）Hard2026年3月国际C卷 · 正确率 72% · 填空题

An object's speed is increasing at a rate of 12.60 meters per second squared. What is this rate, in miles per minute squared, rounded to the nearest tenth? (Use 1 mile = 1,609 meters.)

Grid-in 填空题（允许使用计算器）

答案与提示

答案：$28.2$

提示：同例 2B-1 换数字：$\dfrac{12.60\times3600}{1609}\approx28.2$。时间在平方位置乘 $60^2$。

练 2.2（例 2C-1 变体）Hard2024年8月北美A卷 · 正确率 64% · 填空题

The area of a rectangular region is increasing at a rate of 1,560 square centimeters per hour. What is this rate, in square meters per minute? (1 meter = 100 centimeters)

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$0.0026$

提示：面积 $1560\div10000=0.156$ m²/小时；时间 $0.156\div60=0.0026$ m²/分钟。分子分母各换各的。

3. 百分数八大题型

Percentages

全库归类：百分数共 317 题（Hard 168）——数据分析板块 Hard 题的最大来源；含佣金/利息子类 16 题（H10）

从零开始 · 讲解

percent 就是"每一百"：$35\%$ 的本义是 $\dfrac{35}{100}=0.35$。所以百分数的一切运算只有一条入口规则——除以 100 转成小数再参与计算；算完要报百分数就乘回 100。极端数字照章办事：$0.001\%=0.00001$、$2{,}241\%=22.41$，别被大小吓到。
微型算例：140 克的 0.001% = $140\times0.00001=0.0014$ 克。

"of" 就是乘号："a is 468% of b" 翻译成 $a=4.68b$。反过来问"a 是 b 的百分之几"就是求 $\dfrac{a}{b}\times100\%$。把每句话都翻成倍数等式，多句连环（百分比链）就逐条代入消元。

涨跌幅的分母永远是原值：从 18 涨到 21，涨幅 $=\dfrac{21-18}{18}\times100\%$——除以"出发点"，不是终点。连续涨跌用倍率相乘：先涨 11% 再涨 6% 是 $\times1.11\times1.06=\times1.1766$，绝不是 +17%（第二次的 6% 是在涨过的基数上算的）。

折扣的方向词："290% of" = 乘 2.9；"80% off" = 打掉 80%、只付 20%，乘 0.2。一字之差，先圈出来。

混合浓度守恒：两杯盐水倒在一起，盐的总量不变：$c_1V_1+c_2V_2=c_{\text{混}}(V_1+V_2)$。浓度本身不能直接平均（除非体积相同）。

常见误区：①百分数忘除 100；②涨幅分母用了新值；③连续涨跌相加；④"off"当"of"；⑤倍数忘转回百分数（49.41 倍 = 4,941%）。

题型 3A

极小百分数转换

本册实考正确率最低（42%）

例 3A-1HardCollege Board 题库 · 正确率 42% · 填空题

According to a set of standards, a certain type of substance can contain a maximum of 0.001% phosphorus by mass. If a sample of this substance has a mass of 140 grams, what is the maximum mass, in grams, of phosphorus the sample can contain to meet these standards?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$0.0014$

百分数转小数：$0.001\%=\dfrac{0.001}{100}=0.00001$。
最大磷含量 $=140\times0.00001=0.0014$ 克。

易错点：近六成考生错在把 $0.001\%$ 当成 $0.001$（漏除 100，答案差一百倍）。规则不变：任何百分数转小数都除以 100，不管它看起来多小。

题型 3B

反求涨幅 $p\%$

例 3B-1Hard2025年10月国际C卷 · 正确率 53% · 填空题

The price of an item increased by $p\%$ from $18 to $21. What is the value of $p$?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$16.66$ 或 $16.67$

变化量 $=21-18=3$。
$p=\dfrac{3}{18}\times100=16.\overline{6}$，填 16.66 或 16.67。

易错点：分母用 21（新值）得 14.3 ✗——涨幅的基准永远是原值 18。同模板已考 90→93（答 10/3）等版本。

题型 3C

连续涨跌与倍率相乘

例 3C-1Hard2025年11月国际B卷 · 正确率 52%

In 2013, Chloe earned 11% more than in 2012, and in 2014 Chloe earned 6% more than in 2013. If Chloe earned $y$ times as much in 2012 as in 2014, which of the following is closest to the value of $y$?

A) $0.5455$
B) $0.6600$
C) $0.8499$
D) $1.1766$

查看解答

答案：C　$0.8499$

设 2012 年收入为 $E$：2013 年 $=1.11E$，2014 年 $=1.06\times1.11E=1.1766E$。
"2012 是 2014 的 $y$ 倍"：$y=\dfrac{E}{1.1766E}=\dfrac{1}{1.1766}\approx0.8499$。

易错点：D 是 2012→2014 的倍率，方向反了——题目问的是"往回看"，要取倒数。两次涨幅 11%+6% 也绝不等于 17%。

题型 3D

百分比链："a 是 b 的百分之几"

模板 MT019 · 6 次重复（2,241%/2,024%/2,136% 版本）

例 3D-1HardBluebook 试题6 · 正确率 64%

The positive number $a$ is 2,241% of the sum of the positive numbers $b$ and $c$, and $b$ is 83% of $c$. What percent of $b$ is $a$?

A) $23.24\%$
B) $49.41\%$
C) $2{,}324\%$
D) $4{,}941\%$

查看解答

答案：D　$4{,}941\%$

全部转倍数：$a=22.41(b+c)$；$b=0.83c\Rightarrow c=\dfrac{b}{0.83}=\dfrac{100}{83}b$。
代入：$b+c=b+\dfrac{100}{83}b=\dfrac{183}{83}b$。
$a=22.41\times\dfrac{183}{83}b=\dfrac{2241}{83}\times\dfrac{183}{100}b=27\times1.83b=49.41b$。
"a 是 b 的百分之几"：$49.41\times100\%=4{,}941\%$。

易错点：B 是倍数 49.41 忘了转回百分数（×100）。出题人特意把 2241 设计成 83 的倍数（$2241=83\times27$），发现这一点计算瞬间干净。

题型 3E

双百分比关联求第三方

姊妹题 468%/0.780% 版本也考过

例 3E-1Hard2024年6月A卷 · 正确率 57% · 填空题

The mass of object A is 438% of the mass of object B, and the mass of object A is 0.073% of the mass of object C. If the mass of object C is $p\%$ of the mass of object B, what is the value of $\dfrac{p}{1000}$?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$600$

转倍数：$A=4.38B$；$A=0.00073C$。
消去 $A$：$4.38B=0.00073C$，$\dfrac{C}{B}=\dfrac{4.38}{0.00073}=6000$。
"C 是 B 的 $p\%$"：$\dfrac{p}{100}=6000$，$p=600{,}000$。
$\dfrac{p}{1000}=600$。

易错点：最后两步的换算（$p$ 本身是 600,000，题目问的是 $p/1000$）。这类题小数点极易滑走，建议用分数 $\frac{438}{0.073}=6000$ 硬算一次核对。

题型 3F

混合浓度（溶液配比）

例 3F-1HardCollege Board 题库 · 正确率 75% · 填空题

How many liters of a 25% saline solution must be added to 3 liters of a 10% saline solution to obtain a 15% saline solution?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$1.5$（或 3/2）

设加入 $x$ 升 25% 溶液。盐量守恒：$0.25x+0.10(3)=0.15(x+3)$。
$0.25x+0.30=0.15x+0.45$。
$0.10x=0.15$，$x=1.5$。

要点：浓度不能直接平均——守恒的是纯盐的量。等式两边都是"盐的升数"，这是所有混合题的唯一正确框架。

题型 3G

佣金与底薪（百分比 + 复合不等式）

本册最难 · 实考正确率 50% · 新增题型

例 3G-1HardCollege Board 题库 · 正确率 50%

A salesperson's total earnings consist of a base salary of $x$ dollars per year, plus commission earnings of 11% of the total sales the salesperson makes during the year. This year, the salesperson has a goal for the total earnings to be at least 3 times and at most 4 times the base salary. Which of the following inequalities represents all possible values of total sales $s$, in dollars, the salesperson can make this year in order to meet that goal?

A) $2x\le s\le3x$
B) $\dfrac{2}{0.11}x\le s\le\dfrac{3}{0.11}x$
C) $3x\le s\le4x$
D) $\dfrac{3}{0.11}x\le s\le\dfrac{4}{0.11}x$

查看解答

答案：B　$\dfrac{2}{0.11}x\le s\le\dfrac{3}{0.11}x$

总收入 = 底薪 + 佣金 $=x+0.11s$。
目标："底薪的 3~4 倍"：$3x\le x+0.11s\le4x$。
三段同时减 $x$：$2x\le0.11s\le3x$。
三段同时除以 0.11：$\dfrac{2}{0.11}x\le s\le\dfrac{3}{0.11}x$。

易错点：D 忘了总收入里已经包含一份底薪 $x$——"3 倍底薪"里有一倍是底薪自己，佣金只需补足 2 倍。这一步漏掉的考生恰好一半，是本册最狠的陷阱。

题型 3H

进价 · 加价 · 清仓折扣链

新增题型

例 3H-1HardBluebook 试题4 Module 3 · 正确率 60% · 填空题

A gift shop buys souvenirs at a wholesale price of 7.00 dollars each and resells them each at a retail price that is 290% of the wholesale price. At the end of the season, any remaining souvenirs are marked at a discounted price that is 80% off the retail price. What is the discounted price of each remaining souvenir, in dollars?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$4.06$

零售价 = 批发价的 290%：$2.90\times7.00=20.30$ 美元。
"80% off" = 打 2 折（付 20%）：$0.20\times20.30=4.06$ 美元。

易错点：两处方向词：①"290% of" 是乘 2.9（不是加 29%）；②"80% off" 是乘 0.2（不是乘 0.8）。链式百分比一步一换算，别心算连跳。

练习组

独立完成 · 3 题

例 3B / 3D / 3E 的原题变体

练 3.1（例 3B-1 变体）Hard2026年3月国际A卷 Module 3 · 正确率 57% · 填空题

The price of an item increased by $p\%$ from $90 to $93. What is the value of $p$?

Grid-in 填空题（答案可以是分数）

答案与提示

答案：$\dfrac{10}{3}$（3.333）

提示：$p=\dfrac{93-90}{90}\times100=\dfrac{10}{3}$。分母是原值 90。答案是分数也照填。

练 3.2（例 3E-1 变体）HardBluebook 试题11 Module 3 · 正确率 58% · 填空题

The weight of sample A is 468% of the weight of sample B, and the weight of sample A is 0.780% of the weight of sample C. If the weight of sample C is $p\%$ of the weight of sample B, what is the value of $p$?

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$60{,}000$

提示：$A=4.68B$ 且 $A=0.0078C\Rightarrow \dfrac{C}{B}=\dfrac{4.68}{0.0078}=600\Rightarrow p=600\times100=60{,}000$。这次直接问 $p$，倍数转百分数别忘乘 100。

练 3.3（例 3D-1 变体）Hard2024年10月A卷 · 正确率 80%

The positive number $a$ is 2,024% of the sum of the positive numbers $b$ and $c$, and $b$ is 88% of $c$. What percent of $b$ is $a$?

A) $4{,}324\%$
B) $2{,}112\%$
C) $43.24\%$
D) $21.12\%$

答案与提示

答案：A　$4{,}324\%$

提示：$a=20.24(b+c)$；$c=\dfrac{b}{0.88}=\dfrac{25b}{22}$；$b+c=\dfrac{47b}{22}$；$a=20.24\times\dfrac{47}{22}b=43.24b=4{,}324\%$。C 是忘了倍数转百分数。

4. 单变量统计：均值/中位数/标准差

Center & Spread

题库约 130 题（Hard 65）｜ Hard 主力："变换数据后统计量怎么变"判断题 + 频数表比标准差（鸟巢蛋数原题近两年 3 次重考）

从零开始 · 讲解

三个统计量分两类，别混：均值和中位数是"中心在哪"（数据大概多大），标准差和极差是"散布多宽"（数据挤还是摊）。

均值（mean）= 总和 ÷ 个数。它对每个数都敏感——加进一个极端值会被拽着跑；
中位数（median）= 排好序后正中间那个（$n$ 为奇取第 $\frac{n+1}{2}$ 个；偶取中间两个的平均）。它只看位置不看大小，极端值几乎拽不动它；
标准差（standard deviation）= 数据离均值的平均散开程度。SAT 从不让你算它，只让你比较——看"挤在一起还是摊开"。

微型算例：{2, 3, 4, 5, 26}：均值 = 40÷5 = 8（被 26 拽高），中位数 = 4（纹丝不动）——这就是"极端值敏感度"的差别。

变换判断题（本节 Hard 的全部）背这张表：

对数据的操作	均值	中位数	标准差 / 极差
每个数 +k（整体平移）	+k	+k	不变（间距没变）
每个数 ×k	×k	×k	×\|k\|
加入一个极端值	被拉向极端值	动半格或不动	变大
把远端的数推得更远（对称外推）	可能不变	不变	变大

合并数据集求均值必须加权：$\bar{x}=\dfrac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2}$——先回到"总和"，再除以总人数；两组个数不同时直接平均两个均值是错的。

常见误区：①两均值直接平均；②以为加了数中位数一定变（塞在最前面它只会持平或挪半格）；③"标准差不变"的唯一常见场景是整体平移，认出"每个数 +1"这一结构。

新增 · 区间直方图（分组数据）：如果直方图的每根柱子代表一个区间（如"≥10 且 <20"），我们只知道每个数落在哪个区间，不知道确切值，于是均值只能确定一个范围：最小可能均值 = 每个数都取区间左端点；最大可能均值 = 每个数都取区间里最大的整数（右端点取不到，整数就取右端点减 1）。问"两组均值之差的最小可能值"，就让均值大的那组取最小、小的那组取最大，再相减。

新增 · 箱线图（box plot）：从左到右五个位置：最小值、第一四分位数 Q1、中位数（箱子中间那条线）、Q3、最大值。极差 = 最大 − 最小（两根"须"的端点）；箱子宽度 = Q3 − Q1（中间一半数据）。箱线图看不出均值——凡是问均值的"必真"选项，都不能靠箱线图判断。

题型 4A

加权平均合并数据集

例 4A-1Hard机考OG3 · 正确率 85% · 填空题

Data set A consists of the heights of 75 buildings and has a mean of 32 meters. Data set B consists of the heights of 50 buildings and has a mean of 62 meters. Data set C consists of the heights of the 125 buildings from data sets A and B. What is the mean, in meters, of data set C?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$44$

总和 A：$75\times32=2400$；总和 B：$50\times62=3100$。
合并均值 $=\dfrac{2400+3100}{125}=\dfrac{5500}{125}=44$。

易错点：直接平均 $\frac{32+62}{2}=47$ ✗——两组数量不同必须加权。口诀：先回到总和，再除以总数。

题型 4B

加入极端值：均值/中位数"必真"判断

直方图真题 · 先判断新增值在中心哪一侧

例 4B-1Hard2024年10月北美A卷 Module 2 · 正确率 88.16%

The histogram summarizes a data set of the weights, in pounds, of 14 salmon. If an additional weight of 66 pounds is added to the original data set to create a new data set of 15 weights of salmon, which of the following measures must be greater for the new data set than for the original data set?
I. The median　　II. The mean

A) I only
B) II only
C) I and II
D) Neither I nor II

查看解答

答案：B　II only

新增的 66 磅比直方图中的所有原数据都大，因此也一定大于原均值。
均值：加入一个高于原均值的数，新的均值一定增大，所以 II 必真。
中位数：原来有 14 个值，中位数是第 7、8 个的平均；加入新的最大值后有 15 个值，新中位数是原第 8 个值。
若原第 7、8 个值相等，中位数不变；若不等，中位数才会增大。因此 I 不一定真。选 B。

易错点："新增的是最大值"只能保证均值被拉高，不能保证中位数严格增大。中位数要看中间两个位置是否重复；题目问 must，必须排除可能持平的情况。

题型 4C

对称推移：哪个统计量变了

例 4C-1HardCollege Board 题库 · 正确率 78%

A data set of 27 different numbers has a mean of 33 and a median of 33. A new data set is created by adding 7 to each number in the original data set that is greater than the median and subtracting 7 from each number in the original data set that is less than the median. Which of the following measures does NOT have the same value in both the original and new data sets?

A) Median
B) Mean
C) Sum of the numbers
D) Standard deviation

查看解答

答案：D　Standard deviation

27 个不同的数：13 个在中位数下方、1 个正中、13 个上方。
下方 13 个各减 7、上方 13 个各加 7：总和变化 $=13(7)-13(7)=0$ ⇒ 总和、均值不变。
中间那个数没动，上下两侧仍在两侧 ⇒ 中位数不变。
但所有数都离中心更远了 ⇒ 散开程度变大 ⇒ 标准差变大。选 D。

要点："往两边对称推"是标准差的专属信号——中心类统计量（均值/中位数/总和）全都纹丝不动，只有散布类（标准差/极差）变化。

题型 4D

标准差比较（不计算）

例 4D-1Hard2024年5月A卷 · 正确率 79%

Data set A: 8, 11, 12, 15, 21, 27
Data set B: 9, 12, 13, 16, 22, $h$
Data sets A and B each consist of 6 values as shown, where $h$ is a constant. If the standard deviation of data set A is greater than the standard deviation of data set B, which of the following could be the value of $h$?
I. 23　　II. 28　　III. 29

A) I only
B) II only
C) III only
D) II or III

查看解答

答案：A　I only

观察结构：B 的前五个数恰好 = A 的前五个数各 +1。
若 $h=28$（Ⅱ）：B 的六个数全部 = A+1，整体平移标准差相等，不满足"A 更大"。
若 $h=29$（Ⅲ）：B 的最大值比平移版更远离中心，B 的标准差 ≥ A，不满足。
若 $h=23$（Ⅰ）：B 的最大值(23)比 28 更靠近中心，数据更紧凑 ⇒ B 的标准差更小 ✓。

要点：全程零计算。识别"整体 +1"这一结构是唯一钥匙：平移不改变标准差，于是只需比较 $h$ 与 28 谁更靠近数据中心。

例 4D-2Hard2026年5月国际A卷 · 正确率 71% ｜原题重考：2024年12月北美A · 2026年3月国际B

A zoologist observed the nests of wood ducks in an area. Each year, the zoologist recorded the number of eggs in each of the first 50 nests that were observed and created a frequency table for the data set. Which of the following frequency tables represents the data set with the smallest standard deviation?

Number of eggs	Frequency
11	11
12	10
13	8
14	10
15	11

Number of eggs	Frequency
11	10
12	10
13	10
14	10
15	10

Number of eggs	Frequency
11	2
12	11
13	24
14	11
15	2

Number of eggs	Frequency
11	0
12	5
13	40
14	5
15	0

查看解答

答案：D

四张表都关于 13 对称 ⇒ 均值都是 13。std 比的不是中心，而是数据堆在中心的紧凑程度——不用算，看形状。
A：两端 11、15 的频数反而最高（U 形，两边高中间低）⇒ 离均值远的数最多，最散；
B：五个值各 10 个（均匀分布）⇒ 也比较散；
C：24 个堆在 13，但两端 11、15 还各有 2 个；D：40 个都在 13，其余 10 个只在一步之遥的 12、14，两端频数为 0 ⇒ 最紧凑。
离均值近的数占比最大 ⇒ 标准差最小。选 D。

要点：频数表比 std 的口诀——中间高两边低 ⇒ std 小；两边高中间低（U 形）⇒ std 大；均匀分布介于两者之间。若考反向问 largest，答案就是 U 形那张。此题为近两年高频重考原题：2024年12月北美A（30 巢）、2026年3月国际B（35 巢）、2026年5月国际A（50 巢），只换蛋数和巢数，结构与答案位置完全不变。

例 4D-3Hard2025年3月美国B卷 Module 2 · 正确率 89.01%

The dot plots represent the distributions of values in data sets A and B. Which of the following statements must be true?
I. The median of data set A is equal to the median of data set B.
II. The standard deviation of data set A is equal to the standard deviation of data set B.

A) I and II
B) I only
C) II only
D) Neither I nor II

查看解答

答案：B　I only

两张点图各有 21 个值，中位数都是排序后的第 11 个值；从图上读得两者都为 11，所以 I 真。
标准差看离中心的散开程度。数据集 B 在两端的点更多、中心附近的点更少，分布比 A 更分散。
因此两组标准差不相等，II 假。选 B。

要点：中位数相同不代表标准差相同。点图题先找正中位置判断 median，再看点是否向两端堆积判断 spread。

题型 4E

区间直方图：均值的最小可能差

新增 · 本册最难之一 · 历史 4 次实考正确率 45%–60%

例 4E-1Hard2026年8月国际A卷 Module 2 · 正确率 60%

Two data sets of 14 integers each are summarized in the histograms shown. For each of the histograms, the first interval represents the frequency of integers greater than or equal to 10, but less than 20. The second interval represents the frequency of integers greater than or equal to 20, but less than 30, and so on. What is the smallest possible difference between the mean of data set A and the mean of data set B?

数据集 A 与 B 的直方图：A 在 20–60 区间频数 2,3,4,5；B 在 10–50 区间频数 2,3,4,5

A) $0$
B) $1$
C) $10$
D) $14$

查看解答

答案：B　$1$

读图：A 的区间 $[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)$ 频数为 2、3、4、5；B 是同样的形状整体左移一格：$[10,20),\dots,[40,50)$ 频数 2、3、4、5。所以 A 的均值一定比 B 大。
要让差最小：A 取最小可能均值（每个数取区间左端点 20、30、40、50），B 取最大可能均值（每个数取区间内最大整数 19、29、39、49）。
A 的最小总和 $=2(20)+3(30)+4(40)+5(50)=540$；B 的最大总和 $=2(19)+3(29)+4(39)+5(49)=526$。
均值差最小 $=\dfrac{540-526}{14}=\dfrac{14}{14}=1$。

易错点：选 C（10）是把每个数都当成区间左端点或中点——那只是"一种可能"，题目问的是最小可能。更快的想法：把 A、B 的数一一配对（20 对 19、30 对 29……），每对至少差 1，所以均值至少差 1。

题型 4F

箱线图读图：中位数 / 极差

新增 · 2026年9月国际A卷考过 · 全库 7 题

例 4F-1MediumBluebook 试题3 Module 1 · 正确率 78%

The box plots summarize the masses, in kilograms, of two groups of gazelles. Based on the box plots, which of the following statements must be true?

A) The mean mass of group 1 is greater than the mean mass of group 2.
B) The mean mass of group 1 is less than the mean mass of group 2.
C) The median mass of group 1 is greater than the median mass of group 2.
D) The median mass of group 1 is less than the median mass of group 2.

查看解答

答案：C

箱子中间的竖线是中位数：组 1 的中位数是 25，组 2 的中位数是 24 ⇒ 组 1 的中位数更大，C 必真。
A、B 说的是均值——箱线图只给最小值、Q1、中位数、Q3、最大值五个位置，完全看不出均值，无法判断。

易错点：看到"组 1 的箱子更靠右"就选 A。均值不是箱线图能提供的信息。

练习组

独立完成 · 6 题

中位数热身 + 加入极端值 + 鸭巢标准差原题复现 + 区间直方图 + 箱线图 ×2

练 4.1（热身）Medium2024年8月A卷 · 正确率 96% · 填空题

$ 6,\ 6,\ 12,\ 16,\ 35 $
What is the median of the data set shown?

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$12$

提示：已排好序，5 个数取第 3 个。35 这个大值对中位数毫无影响（对均值就有了——顺手算算均值是 15，体会两者的区别）。

练 4.2（加入极端值）Hard2024年11月B卷 · 正确率 83%

Data set F consists of 55 integers, where the value of each integer is between 150 and 260. Data set G consists of the same 55 integers in data set F as well as the integer 10. Which of the following must be less for data set G than for data set F?
Ⅰ. The mean　　Ⅱ. The median

A) Ⅰ only
B) Ⅱ only
C) Ⅰ and Ⅱ
D) Neither Ⅰ nor Ⅱ

答案与提示

答案：A　Ⅰ only

提示：塞进一个远低于全体的 10，均值必被拉低 ⇒ Ⅰ 必真；中位数窗口只向前挪半格，可能持平 ⇒ Ⅱ 不一定真。仍要抓住题目中的 must。

练 4.3（例 4D-2 原题复现）Hard2026年3月国际B卷 · 正确率 63%

A zoologist observed the nests of wood ducks in an area. Each year, the zoologist recorded the number of eggs in each of the first 35 nests that were observed and created a frequency table for the data set. Which of the following frequency tables represents the data set with the smallest standard deviation?

Number of eggs	Frequency
9	8
10	7
11	5
12	7
13	8

Number of eggs	Frequency
9	7
10	7
11	7
12	7
13	7

Number of eggs	Frequency
9	2
10	8
11	15
12	8
13	2

Number of eggs	Frequency
9	0
10	5
11	25
12	5
13	0

答案与提示

答案：D

提示：与例 4D-2 完全同构（这版中心是 11、共 35 巢）。四张表都关于 11 对称，只比紧凑度：A 是 U 形最散，B 均匀，C 集中但两端还各有 2 个，D 有 25 个在 11、其余只在 10/12、两端为 0 ⇒ 最紧凑，std 最小。实考正确率仅 63%——错的人多数选了 C，注意"两端频数是否为 0"这一决定性差别。

练 4.4（例 4E-1 原题变体）HardBluebook 试题3 Module 3 · 正确率 45%

Two data sets of 23 integers each are summarized in the histograms shown. For each of the histograms, the first interval represents the frequency of integers greater than or equal to 10, but less than 20. The second interval represents the frequency of integers greater than or equal to 20, but less than 30, and so on. What is the smallest possible difference between the mean of data set A and the mean of data set B?

A) $0$
B) $1$
C) $10$
D) $23$

答案与提示

答案：B　$1$

提示：两组形状相同（频数 3、4、7、9，共 23 个），A 比 B 右移一个区间。A 全取左端点、B 全取区间内最大整数，每一对只差 1，总和差 23，均值差 $\dfrac{23}{23}=1$。

练 4.5Easy2026年9月国际A卷 Module 3

The box plot summarizes 15 data values. What is the median of this data set?

A) $0$
B) $2$
C) $3$
D) $6$

答案与提示

答案：C　$3$

提示：箱子中间的竖线在 3。0 和 6 是最小、最大值，2 是 Q1。

练 4.6MediumBluebook 试题6 Module 1 · 正确率 71% · 填空题

The two box plots show the distribution of number of books read over the summer by the students in two different English classes. What is the positive difference between the ranges of number of books read over the summer for the two classes?

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$4$

提示：极差 = 最大 − 最小（两根须的端点）。A 班 $5-0=5$，B 班 $10-1=9$，差 $9-5=4$。别拿箱子宽度（四分位距）来算。

5. 双变量数据与线性模型

Two-Variable Data & Scatterplots

题库约 110 题｜带散点图的题需看图（见题库 viewer），纯文字的"线性模型预测"是 Hard 主力

从零开始 · 讲解

散点图是什么：每个点代表一次观察（某天的气温 vs 到访人数）。点大致沿一条直线排布时，画一条"穿过点群中间"的直线做代表——这就是最佳拟合线（line of best fit），它是趋势的平均说法，不要求穿过任何一个点。

拟合线上的三个可考对象：

斜率 = "x 每增加 1，y 平均增加多少"——预测语气（predicted/estimated），不是每个点都如此；
预测值 = 把 x 代入拟合线方程读出的 y（或直接在图上从 x 竖直向上碰线再水平读轴）；
实际 vs 预测：数据点在线上方 ⇒ 实际高于预测，差值 = 点的 y − 线的 y（残差）。"actual − predicted"是散点图带图题的头号考法。

纯文字版"线性模型预测"三步：两个时间点求年变化率 → 乘外推年数 → 加到基准值。
微型算例：1992 年 56 千人、2012 年 218 千人 ⇒ 每年 $\frac{218-56}{20}=8.1$；2016 年 ≈ $218+4\times8.1=250$。

相关方向：整体右上走 = 正相关，右下走 = 负相关；"最合适的模型"选择题先看形状（直线 or 弯曲）再看方向。🖥️ Desmos 快解：给数据点时输入 table，输入候选模型式子直接看哪条线贴合点群。

常见误区：①把斜率说成"每个点都增加这么多"（它是平均趋势）；②"actual"与"predicted"看反（点是实际、线是预测）；③外推时年份差数错。

题型 5A

线性模型两点定率再外推

模板 MT014 · 6 次重复（答案 252/257 版本）

例 5A-1HardPSAT 8/9 P1 · 正确率 56% · 填空题

A linear model estimates the population of a city from 1991 to 2015. The model estimates the population was 57 thousand in 1991, 224 thousand in 2011, and $x$ thousand in 2015. To the nearest whole number, what is the value of $x$?

Grid-in 填空题

查看解答

答案：$257$

年变化率：1991→2011 共 20 年，增加 $224-57=167$ 千人 ⇒ 每年 $\dfrac{167}{20}=8.35$ 千人。
外推：2011→2015 共 4 年，增加 $4\times8.35=33.4$。
$x=224+33.4=257.4\approx257$。

易错点：年份差数错（20 年当 21 年）或从 1991 直接外推到 2015 时用错基准。线性模型 = 恒定速率，先把"每年多少"算干净。

题型 5B

散点图读图：斜率的意义与残差（带图）

新增题型 · 补上此前收不了的带图主力

例 5B-1Hard2025年11月国际A卷 Module 2 · 正确率 93.33%

A group of 10 gardeners recorded data on the germination rates of their tomato crop for one growing season. The scatterplot shows the relationship between the number of tomato seeds planted, $x$, and the number of tomato seeds that germinated, $y$, for each of the gardeners. A line of best fit is also shown. Which of the following is the best interpretation of the slope of the line of best fit in this context?

A) The number of tomato seeds planted is predicted to increase by 60 seeds every 100 days.
B) The number of tomato seeds planted is predicted to increase by 300 seeds every 100 days.
C) The number of tomato seeds that germinate is predicted to increase by 60 seeds for every additional 100 tomato seeds that are planted.
D) The number of tomato seeds that germinate is predicted to increase by 300 seeds for every additional 100 tomato seeds that are planted.

查看解答

答案：C

横轴 $x$ 是 planted seeds，纵轴 $y$ 是 germinated seeds；斜率必须描述“$x$ 增加时，预测的 $y$ 如何变化”。
从拟合线读出：播种数每增加 100，预测发芽数约增加 60。
只有 C 同时说对了变量方向、单位尺度和“predicted”语气。

易错点：A、B 把横纵变量说反且凭空加入 days；D 把竖直变化 60 错读成 300。斜率解释固定句式：x 每增加多少，y 预计变化多少。

练 5.1（带图 · actual vs predicted）Medium2024年8月北美C卷 · 正确率 80%

The scatterplot shows the relationship between two variables, $x$ and $y$. A line of best fit for the data is also shown. At $x=5$, how many units greater is the actual $y$-value of the data point than the $y$-value predicted by the line of best fit?

A) $1$
B) $2$
C) $10$
D) $12$

答案与提示

答案：B　$2$

提示：在 $x=5$ 处，点（实际）读 12，线（预测）读 10，差 2。D 是只读了点、C 是只读了线——actual − predicted 两个都要读。

练习组

独立完成 · 1 题

例 5A-1 原题变体

练 5.2（例 5A-1 变体）Hard2023年12月E卷 · 正确率 69% · 填空题

A linear model estimates the population of a city from 1992 to 2016. The model estimates the population was 56 thousand in 1992, 218 thousand in 2012, and $x$ thousand in 2016. To the nearest whole number, what is the value of $x$?

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$250$

提示：年率 $\dfrac{218-56}{20}=8.1$；$x=218+4\times8.1=250.4\to250$。

6. 概率

Probability

题库约 130 题（多数带双向表，见 viewer）｜纯文字 Hard 题考"概率 = 比例"的反向使用

从零开始 · 讲解

SAT 的概率没有玄学，就是一个分数：从一群对象里随机挑一个，挑中"符合条件的"的概率 = 符合条件的个数 ÷ 总个数。会算比例就会算概率。

$ P=\dfrac{\text{符合条件的数量}}{\text{总数量}} $　⇒ 反向使用：符合条件的数量 $=P\times$ 总数

微型算例：袋里 3 红 7 蓝，抽中红的概率 $=\frac{3}{10}=0.3$；反向：已知 $P=0.43$、总数 97，符合条件的 $=0.43\times97\approx42$。

条件概率 = 换分母："given that the tree is 20 feet or taller"（已知它是高个树）的意思是——假装世界上只剩高个树这一群，在这个小群体里重新数分子和分母。整个动作只有一个：把分母从"全体"换成 given 后面那个群体。

双向表（two-way table）读法：行是一种分类、列是另一种分类，每格是"同时满足行与列"的人数。做题两步：①圈出 given 对应的行或列，把它的合计当分母；②在同一行/列里找目标格子当分子。别越界拿别的行列的数。

常见误区：①条件概率忘换分母（拿全体总数除）；②分母换错对象（换成了"目标类的合计"而不是"given 类的合计"）；③题面给两个时间点的总数时用错（用发生变化之后的那个）。

题型 6A

概率反求数量

例 6A-1Hard2025年3月国际A卷 Module 2 · 正确率 97.8%

At a convention center, there are a total of 225 visitors. Each visitor is located in either room A, room B, or room C. If one of these visitors is selected at random, the probability of selecting a visitor who is located in room A is 0.72, and the probability of selecting a visitor who is located in room B is 0.24. How many visitors are located in room C?

A) $4$
B) $9$
C) $39$
D) $108$

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答案：B　$9$

三个房间互斥且覆盖全部访客，所以概率和为 1。
$P(C)=1-0.72-0.24=0.04$。
C 房间人数 $=225\times0.04=9$。

易错点：A 只是把 0.04 写成 4%，还没有乘总人数。先求剩余概率，再用“数量 = 概率 × 总数”。

题型 6B

条件概率（文字版双向表）

全库条件概率 22 题（H9）· 新增题型

例 6B-1HardBluebook 试题6 · 正确率 62%

A grove has 6 rows of birch trees and 5 rows of maple trees. Each row of birch trees has 8 trees 20 feet or taller and 6 trees shorter than 20 feet. Each row of maple trees has 9 trees 20 feet or taller and 7 trees shorter than 20 feet. A tree from one of these rows will be selected at random. What is the probability of selecting a maple tree, given that the tree is 20 feet or taller?

A) $\dfrac{9}{164}$
B) $\dfrac{3}{10}$
C) $\dfrac{15}{31}$
D) $\dfrac{9}{17}$

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答案：C　$\dfrac{15}{31}$

把文字翻译成双向表并算总数：高个桦树 $6\times8=48$；高个枫树 $5\times9=45$。
"given that the tree is 20 feet or taller" ⇒ 分母换成"高个树"子群体：$48+45=93$。
$P(\text{枫}\mid\text{高})=\dfrac{45}{93}=\dfrac{15}{31}$。

易错点：B 用了全体树做分母（没条件化）；D 用"枫树的高+矮"做分母（条件化错了对象）。条件概率的唯一动作：把分母换成 given 后面的那个群体，分子取该群体中符合要求的部分。

题型 6C

双向表条件概率（带图）

新增题型 · 概率带图题的主战场

例 6C-1Hard2024年6月A卷 Module 2 · 正确率 68.64%

One of these participants will be selected at random. What is the probability of selecting a participant from group A, given that the participant is at least 10 years of age?

A) $\dfrac{5}{21}$
B) $\dfrac{5}{14}$
C) $\dfrac{17}{35}$
D) $\dfrac{5}{7}$

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答案：B　$\dfrac{5}{14}$

given：至少 10 岁 ⇒ 只保留 10–19 与 20+ 两列，条件总体共有 $35+35=70$ 人。
这 70 人中属于 A 组的有 $17+8=25$ 人。
$P(\text{A组}\mid\text{至少10岁})=\dfrac{25}{70}=\dfrac{5}{14}$。

易错点：A 的 $\frac{25}{105}$ 用了全体 105 人作分母，等于没有条件化；“at least 10”要合并两列。先圈 given 的列，再数同列中的目标格。

练习组

独立完成 · 2 题

百分比双向表 + 多列条件概率

练 6.1（带图 · 百分比双向表 · 压轴）HardCollege Board 题库 · 正确率 49% · 填空题

An alumni association survey asked each high school graduate to select the one activity he or she preferred for the association's next event. Some of the people responded by phone, and the others responded by email. The table above shows the distribution of preferred activity, in percent, for each response type used. For the survey, the number of email responses was two times the number of phone responses. If one survey respondent who selected Picnic is selected at random, what is the probability that the person responded by email?

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$\dfrac{1}{3}$（0.333）

提示：表里是百分比不是人数，且两组基数不同——设电话 $n$ 人、邮件 $2n$ 人。选 Picnic 的：电话 $0.20n$、邮件 $0.05\times2n=0.10n$。条件化到"选 Picnic 的人"：$P(\text{邮件})=\dfrac{0.10n}{0.20n+0.10n}=\dfrac13$。一半人错在直接拿 20% 和 5% 比——百分比表必须先乘回各自的基数。

练 6.2（多列条件概率）Hard2025年9月国际A卷 Module 2 · 正确率 73.1% · 填空题

For 100 neurons, the table summarizes the distribution of classification and cell body diameter. One of these neurons will be selected at random. What is the probability of selecting a neuron with a cell body diameter that is less than or equal to 30 micrometers, given that it is not classified as a motor neuron? (Express your answer as a decimal or fraction, not as a percent.)

Grid-in 填空题

答案与提示

答案：$\dfrac{61}{64}$（可填 0.953 或 0.9531）

提示：given “not a motor neuron” ⇒ 分母只保留 sensory 与 interneuron，共 $25+39=64$。其中直径 $\le30$ 的有 $13+9+10+29=61$，所以概率为 $\frac{61}{64}$。本题需要同时合并两种分类和两档直径，圈表时别漏格。

7. 抽样推断与研究评估

Inference, Margin of Error & Study Design

每卷 1~2 题，不需计算全靠概念｜四个题型分别对应误差、偏差、推广与因果

从零开始 · 讲解（三条铁律 + 为什么）

这节零计算，考的是"统计常识"。背景：想知道全城人的意见，不可能挨个问，只能抽一部分人（样本）来估计全体（总体）。三条铁律全部围绕"这个估计可信吗、能代表谁"：

铁律一 · 误差范围（margin of error）：估计值 ± 误差范围 = 真实值"很可能"所在的区间。为什么样本越大误差越小——问的人越多，偶然凑巧的波动越摊薄。所以"哪个样本误差小"="哪个样本人多"；均值本身的大小与误差范围无关（干扰选项最爱用它）。
铁律二 · 随机抽样决定"推广到谁"：结论只属于被随机抽取的那个池子。从一所中学随机抽 ⇒ 推广到这所中学全体，不能扩到全市（过度），也不必缩到样本本身（过谨）。而在特定地点招人（游乐场问"每户几个孩子"）会系统性排除某类人 ⇒ 选择偏差，样本再大也救不回来。
铁律三 · 随机分组决定"能否说因果"：想说"X 导致 Y"，必须把受试者随机分到处理组/对照组——随机分组把其他差异抹平，剩下的差别才归功于 X。只有观察没有分组 ⇒ 只能说"相关"，不能说"导致"。

答题口诀：问误差 → 看样本量；问推广 → 看抽样池；问因果 → 看有没有随机分组；选项里出现"样本太小所以不能下结论"多半是干扰——偏差问题不是大小问题。

题型 7A

误差范围与样本量

同模板已考 3 次（烤箱/选民版本）

例 7A-1Hard2024年12月B卷 · 正确率 75%

A research manager selected 2 random samples of ovens of a certain type to estimate the average amount of time this type of oven takes to preheat to 325°F. Based on the first sample, the estimated average was 15.2 minutes with an associated margin of error of 1 minute. Based on the second sample, the estimated average was 15.2 minutes with an associated margin of error of 2.2 minutes. Which of the following could explain why the margin of error based on the first sample is less than the margin of error based on the second sample?

A) The first sample contained more ovens than the second sample.
B) The first sample contained fewer ovens than the second sample.
C) The first sample took more time on average to preheat to 325°F than the second sample.
D) The first sample took less time on average to preheat to 325°F than the second sample.

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答案：A

同样方法下，样本量越大误差范围越小。
第一个样本误差范围更小（1 < 2.2）⇒ 第一个样本更大。

要点：C、D 用均值解释误差范围是经典干扰——均值大小与误差范围无关。误差范围只与样本量（和数据波动）挂钩。

题型 7B

抽样偏差识别

例 7B-1HardCollege Board 题库 · 正确率 78%

To determine the mean number of children per household in a community, Tabitha surveyed 20 families at a playground. For the 20 families surveyed, the mean number of children per household was 2.4. Which of the following statements must be true?

A) The mean number of children per household in the community is 2.4.
B) A determination about the mean number of children per household in the community should not be made because the sample size is too small.
C) The sampling method is flawed and may produce a biased estimate of the mean number of children per household in the community.
D) The sampling method is not flawed and is likely to produce an unbiased estimate of the mean number of children per household in the community.

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答案：C

在游乐场调查"每户几个孩子"——去游乐场的家庭几乎都有孩子，无孩家庭被系统性排除。
这是抽样地点导致的选择偏差，估计值会偏高。选 C。

易错点：B 把问题归咎于"样本太小"——样本量小影响的是精确度（误差范围），而这里的根本问题是抽样方式有偏，再大的样本也纠正不了。

题型 7C

结论能推广到谁

例 7C-1Hard2025年9月美国B卷 Module 2 · 正确率 70.11%

A science club from a certain high school in Ohio conducted an experiment to study the effects of smell on taste. A sample of 80 students was selected at random from the high school to participate in the experiment. First, the students tasted a pureed food sample while wearing covered goggles and nose plugs. Then, the students tasted the same pureed food sample without nose plugs. 32 students were able to correctly identify the pureed food sample while wearing nose plugs. Which of the following is the largest population to which the results of the experiment can be generalized?

A) All students from high schools in Ohio
B) The 80 students who participated in the experiment
C) All students from the high school
D) The 32 students who were able to correctly identify the pureed food sample while wearing nose plugs

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答案：C　All students from the high school

80 人是从这所高中随机抽取的，因此抽样总体是该校全体学生。
结论可推广到该校全体学生；不能扩到 Ohio 全州高中生，也不必缩到 80 人样本或其中的 32 人。

口诀：从哪个池子里随机捞的，结论就属于那个池子。题面中的 32 只是实验结果，不能改变推广范围。

题型 7D

因果关系：随机抽样 vs 随机分组

例 7D-1Hard2024年11月北美A卷 Module 2 · 正确率 62.61%

For a study, a group of chipmunks will be selected from a habitat consisting of 220 chipmunks, and a group of prairie dogs will be selected from a habitat consisting of 190 prairie dogs. Some of the chipmunks and prairie dogs will be in a treatment group, and some of the chipmunks and prairie dogs will be in a control group. Which of the following is necessary for this study to attempt to establish a cause-and-effect relationship between two variables?

A) The number of chipmunks in the treatment group is equal to the number of prairie dogs in the treatment group, and the number of chipmunks in the control group is equal to the number of prairie dogs in the control group.
B) The chipmunks and the prairie dogs are randomly assigned to the treatment and control groups.
C) The chipmunks and the prairie dogs are randomly selected from their respective habitats.
D) The average age of the chipmunks in the treatment group is equal to the average age of the prairie dogs in the treatment group, and the average age of the chipmunks in the control group is equal to the average age of the prairie dogs in the control group.

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答案：B

题目要建立 cause-and-effect，关键是让处理组和对照组在处理前尽量可比。
把动物随机分配到 treatment/control groups，可以平衡其他潜在差异，因此 B 是必要条件。
随机抽样（C）解决的是样本代表性与推广范围，不足以建立因果；组内数量相等或平均年龄相等也不能替代随机分组。

核心区分：random selection 决定“能推广到谁”；random assignment 决定“能不能说导致”。看到 cause-and-effect，优先找 randomly assigned。

练习组

独立完成 · 1 题

例 7A-1 的方向反转变体

练 7.1（例 7A-1 反向版）Hard2023年12月C卷 · 正确率 75%

A town manager selected 2 random samples of residents in the town to estimate the percentage of all residents that planned to vote in favor of a new business in the downtown area. Based on the first sample, he estimated that 75% of the residents planned to vote in favor, with an associated margin of error of 8.5%. Based on the second sample, he estimated that 75% of the residents planned to vote in favor, with an associated margin of error of 3.2%. Which of the following could explain why the margin of error based on the first sample is greater than the margin of error based on the second sample?

A) The first sample contained more residents than the second sample.
B) The first sample contained fewer residents than the second sample.
C) The first sample contained a higher percentage of residents in favor than the second sample.
D) The first sample contained a lower percentage of residents in favor than the second sample.

答案与提示

答案：B

提示：这次误差更大的一方 ⇒ 样本更少。与例 7A-1（烤箱）方向对调；C/D 仍是"用估计值解释误差"的老干扰。

本讲小结：数据分析板块没有难公式，全是"方向"与"基准"：率的单位方向、缩放的反向、涨幅分母用原值、连乘不相加、加权不直均、平移不改标准差、误差范围看样本量、推广范围看抽样池。注意：本板块另有大量带图表的题（双向表、直方图、散点图）无法收进纯文字讲义，请在题库 viewer 里按 Statistics 标签补练读图题。下一讲（最后一讲）：Part 4 Geometry & Trigonometry。

目录

1. 比例与比率

从零开始 · 讲解

率的方向与配平方程

比转方程组

比例尺缩放（反向变化）

单位率的函数建模（乘还是除）

单价比较：盈亏平衡最小次数

独立完成 · 1 题

2. 单位换算与复合率

从零开始 · 讲解

面积换算：换算系数要平方

加速度换算：时间平方

复合率：面积与时间同时换

独立完成 · 2 题

3. 百分数八大题型

从零开始 · 讲解

极小百分数转换

反求涨幅 \(p\%\)

连续涨跌与倍率相乘

百分比链："a 是 b 的百分之几"

双百分比关联求第三方

混合浓度（溶液配比）

佣金与底薪（百分比 + 复合不等式）

进价 · 加价 · 清仓折扣链

独立完成 · 3 题

4. 单变量统计：均值/中位数/标准差

从零开始 · 讲解

加权平均合并数据集

加入极端值：均值/中位数"必真"判断

对称推移：哪个统计量变了

标准差比较（不计算）

区间直方图：均值的最小可能差

箱线图读图：中位数 / 极差

独立完成 · 6 题

5. 双变量数据与线性模型

从零开始 · 讲解

线性模型两点定率再外推

散点图读图：斜率的意义与残差（带图）

独立完成 · 1 题

6. 概率

从零开始 · 讲解

概率反求数量

条件概率（文字版双向表）

双向表条件概率（带图）

独立完成 · 2 题

7. 抽样推断与研究评估

从零开始 · 讲解（三条铁律 + 为什么）

误差范围与样本量

抽样偏差识别

结论能推广到谁

因果关系：随机抽样 vs 随机分组

独立完成 · 1 题