极限与连续

1.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 1? / 第一单元学什么？

微积分研究“变化”，而研究变化的第一个工具叫极限。本章回答三个问题：

1. What does it mean for \(f(x)\) to approach a value?  “\(f(x)\) 趋近于某个值”到底是什么意思？
2. How do we compute limits—from graphs, tables, and algebra?  怎样用图像、表格和代数方法求极限？
3. What does it mean for a function to be continuous, and what types of discontinuity are there?  函数“连续”是什么意思？间断点分为哪几类？

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Explain the idea of a limit and its notation.
   理解极限思想并正确使用极限记号。
2. Evaluate one-sided limits and decide whether a limit exists.
   求单侧极限，并判断极限是否存在。
3. Estimate limits from graphs and tables.
   从图像和表格估计极限。
4. Apply limit laws and algebraic techniques (factoring, rationalizing, combining fractions).
   使用极限运算法则与代数技巧（因式分解、有理化、通分）求极限。
5. Apply the Squeeze Theorem.
   使用夹逼定理。
6. Analyze infinite limits, limits at infinity, and asymptotes.
   分析无穷极限、无穷远处的极限与渐近线。
7. Determine continuity and classify discontinuities.
   判断连续性并区分间断点类型。
8. Apply the Intermediate Value Theorem.
   使用介值定理。

1.2引入：极限是什么The Idea of a Limit

Scene 1: The Speedometer Paradox / 场景一：测速仪悖论

A speed camera says you passed it at exactly \(t=3\) seconds, and your speed at that instant was 30 m/s. But speed is

and “one instant” has zero time and zero distance. \(\frac{0}{0}\) is meaningless. So what does “speed at \(t=3\)” mean?

测速仪说你在 \(t=3\) 这一瞬间的速度是 30 m/s。可是速度 \(=\) 距离 \(\div\) 时间，而“一瞬间”的时间是 0、距离也是 0，\(\frac{0}{0}\) 没有意义。那“\(t=3\) 时的速度”到底指什么？

解决办法是：不问“那一瞬间”，改问“那一瞬间附近”。设 \(t\) 秒时的位置为 \(s(t)=5t^2\)（米），算 \(t=3\) 到 \(t=3+h\) 的平均速度。 这里 \(h\) 是时间段的长度（\(h\ne0\)）：这段时间内位置变化了 \(s(3+h)-s(3)\) 米，用时 \(h\) 秒，所以

例如时间段 \([3,\,3.1]\)，\(h=0.1\)：\(s(3)=5\cdot3^2=45\)，\(s(3.1)=5\cdot3.1^2=48.05\)，

\(h\) 取 \(0.01\)、\(0.001\) 时同样计算，得到下表：

对一般的 \(h\) 也可以算出来：展开 \(s(3+h)=5(9+6h+h^2)=45+30h+5h^2\)，所以

表中的三个数正是 \(h=0.1,\ 0.01,\ 0.001\) 时 \(30+5h\) 的值。\(h\) 越接近 \(0\)，\(30+5h\) 越接近 \(30\)。 \(h\) 不能等于 \(0\)（分母不能为 \(0\)），但可以任意接近 \(0\)，下面所说的“极限”描述的就是这种情形。章末练习 Part E 第 5 题用的是同样的方法。

The average speeds approach \(30\). We call \(30\) the limit of the average speeds—and that is what “speed at an instant” means.

时间段越缩越短，平均速度越来越趋近 30。我们把 30 叫做这些平均速度的极限——“瞬时速度”指的就是它。（这个想法在第二章会发展为“导数”。）

Scene 2: The Hole in the Graph / 场景二：图上的洞

Consider

At \(x=1\) the function is undefined (\(\tfrac{0}{0}\)). But for every other \(x\),

函数在 \(x=1\) 处没有定义，但在其它任何地方它就是直线 \(y=x+1\)——图像是一条挖了一个洞的直线：

As \(x\) gets closer and closer to \(1\) (from either side), \(f(x)\) gets closer and closer to \(2\). The function is undefined at \(x=1\), but the trend is clear.

\(x\) 从两边越来越靠近 1 时，\(f(x)\) 越来越靠近 2。函数在 \(x=1\) 处无定义，但趋势很明确。

1.3极限的概念与记号Limit Notation and Basic Idea

极限与函数值是两回事，四种组合都可能发生：极限存在而函数值不存在（图上的洞）、两者都存在但不相等、两者相等（这就是第 1.11 节的“连续”）、极限不存在。

Example 1 / 例题 1

Example 2 / 例题 2

1.4单侧极限与极限存在性One-Sided Limits

有的函数在一点左右两侧趋于不同的值，这时要分别求左右极限。

Example 3 / 例题 3

Example 4 / 例题 4

1.5从图像与表格估计极限Limits from Graphs and Tables

AP 考试中有一类极限题不给公式，只给图或表。读图求极限的方法：沿曲线从左右两侧趋近该 \(x\) 值，看 \(y\) 值趋于多少。空心圈、实心点只影响函数值，不影响极限。

Example 5 / 例题 5

Example 6 / 例题 6（表格）

1.6极限运算法则Limit Laws

图像和表格是“看”，从这一节开始“算”。计算的依据是：极限运算与四则运算兼容。

What the Laws Say / 法则的含义

\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L\) 的意思是：\(x\) 靠近 \(a\) 时，\(f(x)\) 靠近 \(L\)。法则说的是：两个分别靠近 \(L\)、\(M\) 的数，相加、相减、相乘、相除之后，结果靠近 \(L+M\)、\(L-M\)、\(LM\)、\(\frac{L}{M}\)（相除时要求 \(M\ne0\)）。 例如 \(L=5\)、\(M=-2\)：\(f(x)\) 在 \(5\) 附近时，\(2f(x)\) 在 \(10\) 附近；\(g(x)\) 在 \(-2\) 附近时，\(3g(x)\) 在 \(-6\) 附近；所以 \(2f(x)-3g(x)\) 在 \(10-(-6)=16\) 附近。 \(f(x)\) 与 \(5\) 的差、\(g(x)\) 与 \(-2\) 的差都可以任意小，\(2f(x)-3g(x)\) 与 \(16\) 的差也就可以任意小，即 \(\displaystyle\lim_{x\to a}[2f(x)-3g(x)]=16\)。乘积、商、乘方的法则是同样的道理。

使用前提：拆开后的每个极限都必须存在。法则的条件是 \(L\)、\(M\) 都是确定的数。只要有一个极限不存在，就不能拆。 例如 1.8 节例题 12 的 \(x^2\sin\frac{1}{x}\)：\(x\to 0\) 时 \(\sin\frac{1}{x}\) 没有极限，不能用乘积法则拆成 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cdot\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}\)。 但不能拆不等于极限不存在：这个极限存在（等于 \(0\)），要改用夹逼定理来求。

商法则在 \(M=0\) 时不能用。这时要看分子的极限：

1. 分子的极限也是 \(0\)：代入得 \(\frac{0}{0}\)，是不定式，要先做代数变形（因式分解、有理化、通分）再求，见 1.7 节。例题 1 就是这种情形。
2. 分子的极限不是 \(0\)：代入得 \(\frac{\text{非零数}}{0}\)，函数值的绝对值无限增大，极限不存在（趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)），见 1.9 节。

Example 7 / 例题 7

Polynomials and Rational Functions / 多项式与有理函数：直接代入

先看两个最简单的极限：

第一个：常数函数的值总是 \(c\)，\(x\) 靠近哪里都一样；第二个：函数值就是 \(x\) 本身，\(x\) 靠近 \(a\)，函数值就靠近 \(a\)。 从这两个极限出发，反复使用和差、常数倍、乘方（乘积）法则，可以把多项式逐项拆开。以 \(p(x)=x^3-2x+1\) 为例：

每一步拆开的极限都存在，所以每一步都合法。结果正是把 \(x=a\) 代入 \(p(x)\) 所得的值。任何多项式都可以这样逐项拆开，所以多项式求极限可以直接代入。 有理函数 \(\frac{p(x)}{q(x)}\) 是两个多项式相除：分子、分母的极限分别是 \(p(a)\)、\(q(a)\)，只要 \(q(a)\ne0\)，就可以用商法则：

\(q(a)=0\) 时不能直接代入，按上面“商法则在 \(M=0\) 时不能用”的两种情形处理。

Example 8 / 例题 8

1.7代数求极限Algebraic Techniques

代入得到 \(\frac{0}{0}\) 时还不能下结论：\(\frac{0}{0}\) 是不定式。对有理式和根式，通常先做代数变形、约去公因式，再代入。常用三种方法：

Example 9 / 例题 9（因式分解）

Example 10 / 例题 10（有理化）

Example 11 / 例题 11（通分）

1.8夹逼定理The Squeeze Theorem

有些函数在某点附近振荡（如 \(\sin\frac{1}{x}\) 在 \(0\) 附近没有极限），但被两个函数上下夹住。若这两个函数的极限相同，中间的函数也有同一极限。

Example 12 / 例题 12

Why \(\frac{\sin x}{x}\to 1\) / 为什么 \(\frac{\sin x}{x}\to 1\)

1.5 节用表格估计出 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，但表格只能估计。下面用夹逼定理证明它：找两个极限都是 \(1\) 的函数，把 \(\frac{\sin x}{x}\) 夹在中间。 这两个函数是 \(\cos x\) 和 \(1\)，所需的不等式来自单位圆里三块面积的比较。

第一步：画图。先设 \(0<x<\frac{\pi}{2}\)。单位圆的圆心是 \(O\)、半径是 \(1\)。取圆上的点 \(A(1,0)\)，从 \(OA\) 逆时针转过圆心角 \(x\)（弧度），得到圆上的点 \(P(\cos x,\sin x)\)。 过 \(A\) 作圆的切线（竖直线 \(x=1\)），延长 \(OP\)，与切线交于点 \(T\)（图 5）。

第二步：算三块面积。

1. 三角形 \(OAP\)：以 \(OA=1\) 为底，高是 \(P\) 到 \(x\) 轴的距离，也就是 \(P\) 的纵坐标 \(\sin x\)。面积 \(=\frac12\cdot1\cdot\sin x=\frac12\sin x\)。
2. 扇形 \(OAP\)：半径 \(1\)、圆心角 \(x\)。整个圆的圆心角是 \(2\pi\)，扇形占整个圆的 \(\frac{x}{2\pi}\)，面积 \(=\pi\cdot1^2\cdot\frac{x}{2\pi}=\frac12x\)。 （一般地，半径 \(r\)、圆心角 \(\theta\) 的扇形面积是 \(\frac12r^2\theta\)。）
3. 三角形 \(OAT\)：切线与半径垂直，所以 \(A\) 处是直角，底 \(OA=1\)。在直角三角形 \(OAT\) 中，\(\tan x=\dfrac{AT}{OA}=AT\)，所以高 \(AT=\tan x\)。面积 \(=\frac12\cdot1\cdot\tan x=\frac12\tan x\)。

第三步：比较面积。从图 5 看，三角形 \(OAP\) 在扇形里面（弦 \(AP\) 在弧 \(AP\) 的内侧），扇形又在三角形 \(OAT\) 里面（弧 \(AP\) 在切线段 \(AT\) 的左侧）。所以

第四步：变形成夹逼的形式。各边乘以 \(2\)，得 \(\sin x\le x\le\tan x\)。两个不等号分开处理：

1. \(\sin x\le x\)：两边除以 \(x\)（\(x>0\)，不等号方向不变），得 \(\dfrac{\sin x}{x}\le 1\)。
2. \(x\le\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)：两边乘以 \(\cos x\)（\(0<x<\frac{\pi}{2}\) 时 \(\cos x>0\)），得 \(x\cos x\le\sin x\)；再除以 \(x\)，得 \(\cos x\le\dfrac{\sin x}{x}\)。

合起来：

第五步：\(x<0\) 的情形。把 \(x\) 换成 \(-x\)：\(\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{-\sin x}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}\)，\(\cos(-x)=\cos x\)。 即 \(\frac{\sin x}{x}\) 和 \(\cos x\) 都是偶函数，\(x\) 与 \(-x\) 处的值相同，所以 \(-\frac{\pi}{2}<x<0\) 时同一个不等式也成立。

第六步：用夹逼定理。\(x\to 0\) 时，圆上的点 \(P\) 趋于 \(A(1,0)\)，它的横坐标 \(\cos x\to 1\)；常数函数 \(1\) 的极限也是 \(1\)。 上下两个函数的极限都是 \(1\)，由夹逼定理，

扇形面积 \(\frac12r^2\theta\) 要求角用弧度，所以这个结论也只在 \(x\) 用弧度时成立（1.5 节的表格就是按弧度算的）。 AP 考试中可以直接把这个极限当作已知结论使用；第二章推导 \(\sin x\) 的导数时要用到它。

1.9无穷极限与垂直渐近线Infinite Limits and Vertical Asymptotes

代入时如果出现的是 \(\frac{\text{非零数}}{0}\)（不是 \(\frac{0}{0}\)），函数在这一点附近会趋于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。代入得 \(\frac{0}{0}\) 的情形见本节最后的“找垂直渐近线”。

判断趋于 \(+\infty\) 还是 \(-\infty\)，靠符号分析：看分子的符号、分母趋近 \(0\) 时的符号。

Example 13 / 例题 13

Example 14 / 例题 14（左右方向不同）

Finding Vertical Asymptotes / 找垂直渐近线

有理函数的垂直渐近线只可能出现在分母为零的点，但分母为零的点不一定是垂直渐近线。 如果代入得到 \(\frac{0}{0}\)，说明分子、分母有公因式；约掉公因式以后，这一点可能只是一个洞，例如图 1 中 \(\frac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 处。找垂直渐近线分三步：

1. 找出分母为零的点；
2. 把分子、分母因式分解，约去公因式；
3. 逐个检查这些点：约分后分母仍为零的点是垂直渐近线（约分后分子在这一点不为零，属于 \(\frac{\text{非零数}}{0}\)）； 约分后分母不再为零的点只是一个洞，那里的极限等于约分后的式子在这一点的值。

例如 \(f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}\)。分母 \(x^2-1\) 在 \(x=1\) 和 \(x=-1\) 处为零。因式分解并约分：

在 \(x=1\)：约分后分母 \(1+1=2\ne0\)，极限 \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x}{x+1}=\frac12\)，所以这里是一个洞，位于 \(\left(1,\frac12\right)\)。 在 \(x=-1\)：约分后分母仍为 \(0\)，分子为 \(-1\ne0\)，所以 \(x=-1\) 是垂直渐近线；符号分析：分子趋于 \(-1\)（负数）；\(x\to-1^-\) 时分母 \(x+1\to0^-\)，负数除以负的小数，趋于 \(+\infty\)；\(x\to-1^+\) 时分母 \(x+1\to0^+\)，趋于 \(-\infty\)。 1.12 节把洞称为可去间断点，把垂直渐近线所在的点称为无穷间断点。

1.10无穷远处的极限与水平渐近线Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes

上一节研究 \(x\) 趋近某一点时 \(f(x)\) 无限增大或减小的情形；这一节研究 \(x\to\pm\infty\) 时 \(f(x)\) 趋于哪个值。

Rational Functions: Compare Degrees / 有理函数：比次数

求有理函数在 \(\pm\infty\) 的极限，把分子分母同除以分母的最高次幂，让所有低次项变成 \(\frac{1}{x^n}\to 0\)。结论可总结成三行：

Example 15 / 例题 15

Example 16 / 例题 16

Higher Degree on Top: Which Sign? / 分子次数高：正负号怎么定

分子次数高于分母时，函数值的绝对值无限增大，极限是 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。 \(|x|\) 很大时，分子、分母中的低次项与最高次项相比可以忽略，所以函数值的正负由分子、分母最高次项之比决定。 例如求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3}{1-x}\)：最高次项之比是 \(\dfrac{x^2}{-x}=-x\)，\(x\to\infty\) 时 \(-x\to-\infty\)，所以

也可以按上面的方法同除以 \(x\)（分母的最高次幂）来验证：

\(x\to\infty\) 时分子 \(x+\frac{3}{x}\to+\infty\)，分母 \(\frac{1}{x}-1\to-1\)，很大的正数除以接近 \(-1\) 的数，得到绝对值很大的负数（例如 \(x=100\) 时函数值约为 \(-101\)）。 同一个函数在 \(x\to-\infty\) 时，\(-x\to+\infty\)，极限是 \(+\infty\)。分子次数高时，两端的符号可能不同，要分别判断。

A Graph Can Cross Its Horizontal Asymptote / 曲线可以穿过水平渐近线

图 7 是例题 15 的函数 \(f(x)=\dfrac{3x^2+5x}{2x^2-1}\) 的图像。左图是远景：\(x\to+\infty\) 时曲线从上方趋近 \(y=\frac32\)，\(x\to-\infty\) 时从下方趋近 \(y=\frac32\)。 右图是原点附近：分母 \(2x^2-1\) 在 \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\approx\pm0.71\) 处为零，这是两条垂直渐近线；中间的一段曲线在 \(x=-0.3\) 处穿过了 \(y=\frac32\)。 交点可以直接解出：令 \(f(x)=\frac32\)，两边同乘 \(2(2x^2-1)\)，

水平渐近线只描述 \(x\to\pm\infty\) 时曲线的走向，不限制中间有限范围内的图像，所以曲线可以与它相交。 判断水平渐近线只看 \(x\to\pm\infty\) 时的极限，不看曲线与这条直线有没有交点。

The Two Ends Can Differ / 两端的极限可以不同

有理函数在分子次数不高于分母时，\(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 的极限相同，所以上面的表格写 \(x\to\pm\infty\)。含根号的函数两端可能不同。 例如 \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)，先把根号写成

1. \(x\to+\infty\)：\(x>0\)，\(|x|=x\)，\(\dfrac{x}{x\sqrt{1+1/x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+1/x^2}}\to 1\)；
2. \(x\to-\infty\)：\(x<0\)，\(|x|=-x\)，\(\dfrac{x}{-x\sqrt{1+1/x^2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{1+1/x^2}}\to -1\)。

所以这个函数有两条水平渐近线：右端 \(y=1\)，左端 \(y=-1\)。注意 \(x<0\) 时 \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\)，不是 \(x\)。随堂练习第 5 题就是这种情形。

1.11连续性Continuity

直观上，连续函数的图像是一条不断开的曲线；下面用极限给出精确定义。

The Three Conditions on a Graph / 三个条件与图像

图 8 把三个条件和图像对应起来。四格图只在 \(x=a\) 这一点不同（空心圈表示这一点不在图像上，实心点表示函数值 \(f(a)\)）：

1. 第一格（连续）：曲线经过 \(x=a\) 时没有断开，实心点 \((a,f(a))\) 正好在曲线上。
2. 第二格（条件 ①  不成立）：\(x=a\) 处只有空心圈，没有实心点，\(f(a)\) 无定义。两侧的曲线趋于同一高度，极限存在，但图像在这里缺了一个点。
3. 第三格（条件 ②  不成立）：左右两段趋于不同的高度，左右极限不相等，极限不存在。\(f(a)\) 有定义（实心点），但图像在 \(x=a\) 处断成两截。
4. 第四格（条件 ③  不成立）：两侧曲线趋于空心圈的高度，极限存在；\(f(a)\) 也有定义，但实心点不在空心圈的位置，极限 \(\ne f(a)\)。

三个条件都成立，就是说图像在 \(x=a\) 处没有空缺、没有断开，函数值又正好在曲线趋近的位置上。这就是“图像不断开”的准确含义。

Continuity on an Interval / 在区间上连续

在开区间 \((a,b)\) 内每一点都连续，就称 \(f\) 在 \((a,b)\) 上连续。闭区间 \([a,b]\) 多了两个端点。 在左端点 \(a\) 处，\(x\) 只能从区间内部、也就是从右侧趋近 \(a\)：区间左边的点不在考虑范围内，函数在那里甚至可能没有定义。右端点 \(b\) 同理，只能从左侧趋近。所以端点处只看单侧极限：

例如 \(\sqrt{x}\) 的定义域是 \([0,\infty)\)。\(x<0\) 时 \(\sqrt{x}\) 没有定义，\(x\) 只能从右侧趋近 \(0\)，所以在端点 \(x=0\) 处只检查右极限：

\(\sqrt{x}\) 在 \((0,\infty)\) 内每一点都连续，所以 \(\sqrt{x}\) 在 \([0,\infty)\) 上连续（这个区间只有左端点，只需检查这一个端点）。 1.13 节的介值定理要求函数“在 \([a,b]\) 上连续”，指的就是这个意义下的连续。

常见函数——多项式、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(e^x\)——在整条数轴上连续；有理函数、\(\ln x\)、\(\sqrt{x}\) 在各自定义域内连续（定义域的端点按上面的单侧意义理解）。所以判断连续性，主要是找出定义域以外的点，并检查分段函数的分段点。

Example 17 / 例题 17

Example 18 / 例题 18

1.12间断点类型Types of Discontinuities

间断点按左右极限的情况分为三类，AP 中常见的问法是“classify the discontinuity”。

判断方法：先求左右极限。都存在且相等\(\to\)可去；都存在但不等\(\to\)跳跃；有一侧无穷\(\to\)无穷间断。

Example 19 / 例题 19

Example 20 / 例题 20

1.13介值定理Intermediate Value Theorem

连续函数有一个重要性质：在闭区间上，它取到两端函数值之间的每一个值。

IVT 在 AP 里最常见的用法是证明方程有根：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 一正一负，则 \((a,b)\) 内至少有一个零点。

Example 21 / 例题 21

Example 22 / 例题 22（表格型）

1.14AP 高频题型AP-Style Problems

Example 23: Finding a Parameter / 求参数使函数连续

Example 24: Holes vs. Asymptotes / 洞与渐近线

Example 25: Reasoning from a Table / 表格推理单侧极限

1.15章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. If \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) exists, then \(f(a)\) must be defined.
   极限存在则函数值必有定义，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   False（如 \(\frac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 无定义，极限却是 \(2\)）
2. If \(f\) is continuous at \(x=a\), then \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\).
   连续则极限等于函数值，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   True（连续定义第 3 条）
3. If both one-sided limits exist, then \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) exists.
   左右极限都存在则整体极限存在，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   False（还须相等）
4. A zero of the denominator is always a vertical asymptote.
   分母为零的点一定是垂直渐近线，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   False（可能是洞）
5. If \(f\) is continuous on \([1,3]\) and \(f(1)\,f(3)<0\), then \(f\) has a zero in \((1,3)\).
   连续且两端异号则必有零点，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   True（IVT）

Part B: Evaluating Limits / 代数求极限

Evaluate. / 计算下列极限。

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2+2x-15}{x-3}\)
   核对答案

   \(8\)（\((x+5)(x-3)\)）
2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+16}-4}{x}\)
   核对答案

   \(\dfrac{1}{8}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}\)
   核对答案

   \(3\)（\(\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}\to\frac{12}{4}\)）
4. \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{4x^2-x}{2x^2+3}\)
   核对答案

   \(2\)
5. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\ x^2\sin\!\frac{5}{x}\)
   核对答案

   \(0\)（夹逼）
6. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\dfrac{1}{x}-1}{x-1}\)
   核对答案

   \(-1\)（\(\frac{(1-x)/x}{x-1}=-\frac1x\to -1\)）

Part C: One-Sided Limits and Existence / 单侧极限与存在性

1. For \(f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}\), find both one-sided limits at \(x=2\) and decide whether the limit exists.
   求两个单侧极限，并判断整体极限。
   核对答案

   左 \(-1\)、右 \(1\)；极限不存在
2. \(f(x)=\begin{cases} 3x-1, & x<1\\ x^2+1, & x\ge 1\end{cases}\)：Is \(f\) continuous at \(x=1\)? / 判断 \(f\) 在 \(x=1\) 是否连续。
   核对答案

   连续（左 \(2=\) 右 \(2=f(1)\)）
3. \(f(x)=\begin{cases} x+4, & x<0\\ x^2, & x\ge 0\end{cases}\)：Does \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) exist? If so find it, and classify the discontinuity.
   判断极限是否存在并求值；指出间断点类型。
   核对答案

   不存在（左 \(4\)、右 \(0\)）；跳跃间断点
4. \(g(x)=\dfrac{1}{x-4}\)：find \(\displaystyle\lim_{x\to 4^+}g(x)\) and \(\displaystyle\lim_{x\to 4^-}g(x)\).
   求这两个单侧极限。
   核对答案

   \(+\infty\)；\(-\infty\)

Part D: Asymptotes and Continuity / 渐近线与连续

1. Find all holes, vertical asymptotes, and the horizontal asymptote of \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x^2-5x+6}\).
   求它的所有洞、垂直渐近线与水平渐近线。
   核对答案

   洞 \((3,6)\)；垂直渐近线 \(x=2\)；水平渐近线 \(y=1\)
2. On what interval is \(f(x)=\sqrt{x-1}\) continuous?
   它在哪个区间上连续？
   核对答案

   \([1,\infty)\)
3. Classify every discontinuity of \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+x-2}\).
   给它的每个间断点分类。
   核对答案

   \(f(x)=\dfrac{x+2}{(x+2)(x-1)}\)：\(x=-2\) 可去（洞，极限 \(-\frac13\)）、\(x=1\) 无穷
4. Find \(a\) so that \(f(x)=\begin{cases} x^2-a, & x<3\\ 4x+2, & x\ge 3\end{cases}\) is continuous at \(x=3\).
   求使 \(f\) 在 \(x=3\) 连续的 \(a\)。
   核对答案

   \(9-a=14\)，\(a=-5\)
5. Find the horizontal and vertical asymptotes of \(f(x)=\dfrac{5-3x^2}{x^2+2}\).
   求它的水平渐近线与垂直渐近线。
   核对答案

   水平 \(y=-3\)；无垂直渐近线（\(x^2+2\) 恒正）

Part E: AP-Style / AP 风格综合

1. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2+x}}{2x+1} = \) ?
   核对答案

   \(\dfrac{3}{2}\)（\(x>0\) 时分子分母同除以 \(x\)：\(\dfrac{\sqrt{9+1/x}}{2+1/x}\to\dfrac32\)）
2. \(f\) is continuous with \(f(0)=2\), \(f(2)=-3\), \(f(4)=1\). What is the minimum number of solutions of \(f(x)=0\) in \((0,4)\)?
   \(f(x)=0\) 在 \((0,4)\) 内至少有几个解？
   核对答案

   至少 \(2\) 个（\([0,2]\) 与 \([2,4]\) 各变号一次）
3. \(f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne 1\\[6pt] k, & x=1\end{cases}\)： Find the \(k\) that makes \(f\) continuous at \(x=1\). / 求使 \(f\) 在 \(x=1\) 连续的 \(k\)。
   核对答案

   \(k=2\)
4. Given \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x) = 3\), \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x) = 3\), and \(f(2)=1\), which are true: ① the limit exists; ② \(f\) is continuous at \(2\); ③ \(x=2\) is a removable discontinuity?
   三个说法哪些为真？
   核对答案

   ① 真（左右极限都是 \(3\)）、② 假（\(\lim=3\ne f(2)=1\)）、③ 真（极限存在但不等于函数值，是可去间断点）
5. A particle has position \(s(t)=t^2\) meters, where \(t\) is in seconds. Write the average velocity on \([2,\,2+h]\), simplify, find the limit as \(h\to 0\), and interpret it.
   写出平均速度表达式，化简求 \(h\to0\) 的极限，并解释其物理意义。
   核对答案

   平均速度 \(\dfrac{(2+h)^2-4}{h} = \dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h\ (h\ne0)\)，\(h\to 0\) 时极限为 \(4\)。 含义：质点在 \(t=2\) 秒时的瞬时速度为 \(4\) 米/秒。这就是第二章要学的导数。

1.16本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 极限描述趋势：\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) 与 \(f(a)\) 是两回事。
2. 极限存在 \(\iff\) 左右极限存在且相等。
3. 求极限先代入：函数在该点连续时，代入值就是极限；得 \(\frac{0}{0}\) 则因式分解 / 有理化 / 通分后再代入。
4. 夹逼定理处理“有界函数 \(\times\) 趋于 \(0\) 的函数”型极限；\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。
5. \(\frac{\text{非零}}{0}\) \(\to\) 无穷极限与垂直渐近线（先分单侧定符号）； \(x\to\pm\infty\) 比次数定水平渐近线。
6. 连续三条件：有定义、有极限、二者相等；间断分可去、跳跃、无穷三类。
7. IVT：连续函数在闭区间上取遍两端之间的所有值；证明有根分三步：连续、变号、引用定理。