导数的定义与基本法则

2.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 2? / 第二单元学什么？

第一章学习了极限，这一章用极限定义微积分的第一个核心概念：导数。本章回答三个问题：

1. What exactly is an instantaneous rate of change?  “瞬时变化率”到底是什么？（第一章测速仪悖论的正式答案）
2. How do we compute derivatives quickly, without limits every time?  怎样不必每次用极限，而用法则快速求导？
3. When does a derivative fail to exist?  在什么样的点上导数不存在？

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Define the derivative as a limit and compute it from the definition.
   用极限定义导数，并能从定义出发求导。
2. Use derivative notation and higher-order derivatives.
   正确使用导数记号与高阶导数。
3. Interpret the derivative as slope and as a rate of change (with units).
   把导数解释为切线斜率与变化率（带单位）。
4. Estimate derivatives from tables.
   从表格估计导数。
5. Determine where a function is differentiable.
   判断函数在哪些点可导。
6. Differentiate polynomials and powers using basic rules.
   用幂法则与线性法则对多项式与幂函数求导。
7. Differentiate \(\sin x\), \(\cos x\), \(e^x\), \(\ln x\).
   求 \(\sin x\)、\(\cos x\)、\(e^x\)、\(\ln x\) 的导数。
8. Apply the Product Rule and Quotient Rule.
   使用积法则与商法则。
9. Differentiate all six trigonometric functions.
   求全部六个三角函数的导数。

2.2引入：从平均到瞬时From Average to Instantaneous

第一章章末最后一题算过：质点位置 \(s(t)=t^2\)，\([2,\,2+h]\) 上的平均速度化简后是 \(4+h\)，\(h\to 0\) 时趋向 \(4\)。现在把这件事画出来。

平均速度是割线的斜率：连接曲线上两点 \((2,\,4)\) 与 \((2+h,\,(2+h)^2)\) 的直线。\(h\) 缩小，第二个点沿着曲线滑向第一个点，割线绕着 \((2,4)\) 旋转，最终趋近一条确定的直线：曲线在 \((2,4)\) 处的切线。

2.3导数的定义The Definition of the Derivative

What \(x\) and \(h\) Mean / \(x\) 和 \(h\) 在图上的含义

在曲线 \(y=f(x)\) 上取两个点（图 2）：

1. \(P\bigl(x,\,f(x)\bigr)\)：\(x\) 是要求切线斜率的那个点的横坐标；
2. \(Q\bigl(x+h,\,f(x+h)\bigr)\)：横坐标比 \(P\) 多 \(h\)。\(h\) 可正可负（\(h<0\) 时 \(Q\) 在 \(P\) 的左边），但不能等于 \(0\)，否则两点重合，差商的分母为 \(0\)。

从 \(P\) 到 \(Q\)，水平方向走了 \((x+h)-x=h\)，竖直方向变化了 \(f(x+h)-f(x)\)。所以差商

就是割线 \(PQ\) 的斜率。\(h\to0\) 时，\(Q\) 沿曲线滑向 \(P\)，割线的斜率趋于 \(P\) 处切线的斜率，这个极限就是 \(f'(x)\)。

Where the Two-Point Form Comes From / 两点式的来由

求某一个固定点 \(x=a\) 处的导数时，把定义中的 \(x\) 换成 \(a\)：

这里第二个点的横坐标是 \(a+h\)。把它另记作 \(x\)，即令 \(x=a+h\)，则 \(h=x-a\)；并且 \(h\to0\) 与 \(x\to a\) 说的是同一件事。代入上式，就得到定义框里的两点式

两种写法算的是同一条割线（过点 \(\bigl(a,f(a)\bigr)\) 和第二个点）的斜率，只是第二个点的横坐标一个写成 \(a+h\)，一个写成 \(x\)。 注意 \(x\) 在两种写法中的含义不同：在 \(h\) 的写法中，\(x\) 是切点的横坐标；在两点式中，切点是 \(a\)，\(x\) 是第二个点的横坐标。

\(f'(x)\) Versus \(f'(a)\) / \(f'(x)\) 是函数，\(f'(a)\) 是数

\(f'(x)\) 是一个函数：每给一个 \(x\)，它给出曲线在这一点的切线斜率。例如下面例题 1 求出 \(f(x)=x^2\) 的导数 \(f'(x)=2x\)。 \(f'(a)\) 是一个数：把 \(x=a\) 代入 \(f'(x)\) 所得的值，即曲线在 \(x=a\) 这一点的切线斜率，例如 \(f'(2)=2\cdot2=4\)。 只求一个点的导数时，也可以不先求 \(f'(x)\)，直接用 \(f(a+h)\) 的写法或两点式在 \(a\) 处计算，结果相同。

从定义求导数的步骤是固定的：写出差商 → 化简分子（展开、有理化或通分）→ 约去 \(h\) → 令 \(h\to 0\)。对本节的多项式、根式、分式函数，分子总能提出因子 \(h\)。这三种代数方法都来自第一章 1.7 节。

Example 1 / 例题 1（展开化简）

Example 2 / 例题 2（有理化）

Example 3 / 例题 3（通分）

Recognizing a Derivative in a Limit / 从极限认出导数

AP 选择题常把导数写成极限的形式，要求认出“哪个函数、在哪一点”，再用求导的结果算出极限的值。做法是把所给的极限与定义的两种写法对照：

例如

第一步：找点。第一项 \((3+h)^2\) 中，\(h\) 加在 \(3\) 上，所以 \(a=3\)。

第二步：找函数。\(f(3+h)=(3+h)^2\)，所以 \(f(x)=x^2\)。再检查被减去的 \(9\) 是否等于 \(f(3)\)：\(3^2=9\)。✓

第三步：求值。这个极限是 \(f(x)=x^2\) 在 \(x=3\) 处的导数。由例题 1，\(f'(x)=2x\)，所以极限 \(=f'(3)=6\)。

两点式的读法相同。例如

\(x\to4\)，所以 \(a=4\)；分子是 \(\sqrt{x}-2\)，所以 \(f(x)=\sqrt{x}\)，并且 \(f(4)=\sqrt4=2\)。✓ 由例题 2，极限 \(=f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt4}=\dfrac14\)。

同一个极限有时可以有别的读法，例如第一个极限也可以看成 \(g(x)=(3+x)^2\) 在 \(x=0\) 处的导数。这只是同一个极限的另一种读法，值仍是 \(6\)；作答时写出一种正确的读法即可。

2.4记号与高阶导数Notation and Higher-Order Derivatives

同一个导数有四种常用写法，AP 考题会交替使用，都要认识：

1. \(f'(x)\) 读作 “\(f\) prime of \(x\)”；函数写成 \(y=f(x)\) 时，也简写为 \(y'\)。

2. \(\dfrac{dy}{dx}\) 读作 “dy dx”，意思是 “\(y\) 对 \(x\) 的导数”。它来自差商的另一种写法：把 \(x\) 的改变量 \(h\) 记作 \(\Delta x\)，\(y\) 相应的改变量记作 \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)，差商就是 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。 \(\Delta x\to0\) 时的极限，记号上把 \(\Delta\) 换成 \(d\)：

   \[ \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} . \]

   现阶段把 \(\dfrac{dy}{dx}\) 看作表示这个极限的整体记号（第四章 4.7 节会给 \(dx\)、\(dy\) 单独的含义）。

3. \(\dfrac{d}{dx}\bigl[\ \cdots\ \bigr]\) 表示对 \(x\) 求导这个操作，方括号里是要求导的式子，例如 \(\dfrac{d}{dx}\bigl[x^2\bigr]=2x\)。函数没有单独命名、只给出式子时，用这种写法最方便。

在具体一点 \(x=a\) 处的值写作 \(f'(a)\) 或 \(\dfrac{dy}{dx}\Bigr|_{x=a}\)（竖线表示在 \(x=a\) 处取值）。

导数本身还是函数，可以继续求导：二阶导数 \(f''(x)=\dfrac{d^2y}{dx^2}\)（第五章用它研究凹凸性），再往上是 \(f'''\)、\(f^{(4)}\) 等高阶导数。 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) 的写法来自“对 \(\dfrac{dy}{dx}\) 再求一次导”，即 \(\dfrac{d}{dx}\Bigl[\dfrac{dy}{dx}\Bigr]\)：两个 \(d\) 合写成 \(d^2\)，两个 \(dx\) 合写成 \(dx^2\)，读作 “\(y\) 对 \(x\) 的二阶导数”。 \(f'(x)\) 是切线的斜率，\(f''(x)\) 是 \(f'(x)\) 的导数，所以 \(f''\) 是斜率的变化率。在运动问题中，位置的导数是速度，速度的导数是加速度，所以加速度就是位置的二阶导数（2.6 节）。

Example 4 / 例题 4

2.5切线Tangent Lines

导数的第一个应用：切线斜率。切线方程就是点斜式：

需要两个量：切点 \((a, f(a))\) 和斜率 \(f'(a)\)，缺一不可。

Differentiating Polynomials for Now / 先使用的求导法则

本节和下一节的例题要对多项式求导。每次都用定义太慢，这里先使用 2.9 节的三条法则（推导见 2.9 节）：

1. 幂法则 \(\left(x^n\right)'=nx^{n-1}\)：指数乘到前面，指数减一。例如 \(\left(x^3\right)'=3x^2\)，\(\left(x^2\right)'=2x\)，\(\left(x\right)'=1\cdot x^0=1\)。
2. 常数倍保留，常数的导数为 \(0\)：例如 \(\left(3x\right)'=3\cdot1=3\)，\(\left(5\right)'=0\)。
3. 和、差逐项求导。

例如 \(\left(x^2-3x\right)'=2x-3\cdot1=2x-3\)，\(\left(x^3-3x\right)'=3x^2-3\)。

Example 5 / 例题 5

Example 6 / 例题 6（水平切线）

图 4 是 \(y=x^3-3x\) 的图像。在 \((-1,2)\) 和 \((1,-2)\) 两点，切线是水平线 \(y=2\) 和 \(y=-2\)；前一点是附近最高的点，后一点是附近最低的点（第五章研究这类点）。

2.6变化率与运动Rates of Change and Motion

导数的第二个应用：变化率。最重要的例子是直线运动：

What \(v\) and \(a\) Mean / 速度与加速度的含义

质点沿一条数轴运动，\(s(t)\) 是时刻 \(t\) 质点在数轴上的坐标（位置）。

1. 速度 \(v(t)=s'(t)\) 是位置的瞬时变化率，它的正负表示方向： \(v>0\) 时 \(s\) 在增大，质点向正方向（通常是向右）运动； \(v<0\) 时 \(s\) 在减小，质点向负方向（向左）运动； \(v=0\) 时质点在这一时刻静止。 速度的绝对值只表示快慢，叫速率，第四章 4.2 节再讲。
2. 加速度 \(a(t)=v'(t)\) 是速度的瞬时变化率，表示速度每单位时间改变多少。 位置以米（m）、时间以秒（s）计时，\(v\) 的单位是 m/s，\(a\) 的单位是 (m/s)/s，记作 m/s\(^2\)。 例如 \(a=2\) m/s\(^2\) 表示速度每秒增加 \(2\) m/s。

导数的单位来自差商 \(\Delta f/\Delta x\)：分子是 \(f\) 的改变量，单位与 \(f\) 相同；分母是 \(x\) 的改变量，单位与 \(x\) 相同。取极限不改变单位，所以有下面的规则。

Example 7 / 例题 7

图 5 画出例题 7 的 \(s\)–\(t\) 图像和质点在数轴上的运动。由 \(v(t)=3(t-1)(t-3)\)：

1. \(0<t<1\) 时 \(v>0\)，质点从 \(s(0)=0\) 向右运动到 \(s(1)=4\)；
2. \(1<t<3\) 时 \(v<0\)，质点向左运动，回到 \(s(3)=0\)；
3. \(t>3\) 时 \(v>0\)，质点又向右运动，例如 \(s(4)=4\)。

在 \(t=1\)、\(t=3\) 两个时刻 \(v=0\)，\(s\)–\(t\) 图像在这两点的切线水平，质点在这两个时刻掉头。

Example 8 / 例题 8（单位解释）

2.7从表格估计导数Estimating Derivatives from Tables

FRQ 常给一张表格就让你“估计 \(f'(a)\)”。没有公式时，只能用差商估计导数：取 \(a\) 两侧最近的两个点算斜率（对称差商），它通常比只用一侧的差商更准确。

Why the Symmetric Quotient Is More Accurate / 为什么对称差商更准

设表中 \(a\) 两侧的点是 \(a-d\) 和 \(a+d\)。可以用三种差商估计 \(f'(a)\)：

它们分别是三条割线的斜率。图 6 以 \(f(x)=0.08x^3+0.3\)、\(a=2\)、\(d=1\) 为例，真实值是 \(f'(2)=0.96\)：

1. 左割线的斜率是 \(\dfrac{0.94-0.38}{1}=0.56\)，偏小；右割线的斜率是 \(\dfrac{2.46-0.94}{1}=1.52\)，偏大。曲线越往右越陡：\(a\) 左边的一段比 \(a\) 处平，右边的一段比 \(a\) 处陡。
2. 对称割线的斜率是 \(\dfrac{2.46-0.38}{2}=1.04\)，与 \(0.96\) 很接近，图中它与切线几乎平行。

原因是：两侧间距相等时，对称差商正好是左、右两个差商的平均值，

一个偏小、一个偏大，平均以后误差大部分抵消。

Example 9 / 例题 9

At an End or Between Values / \(a\) 在表的端点或两个表值之间

例题 9 的 \(x=3\) 两侧都有数据。另外两种情形如下（仍用例题 9 的表）：

1. \(a\) 是表的端点：只有一侧有数据，只能用单侧差商，取 \(a\) 和离它最近的点。例如估计 \(f'(3.5)\)：\(3.5\) 右边没有数据，取 \(3\) 与 \(3.5\)，
   \[ f'(3.5)\approx\frac{f(3.5)-f(3)}{3.5-3}=\frac{12.9-11.6}{0.5}=2.6 . \]
2. \(a\) 不在表中，落在两个相邻表值之间：用夹住 \(a\) 的这两个点。例如估计 \(f'(2.8)\)：\(2.8\) 在 \(2.5\) 与 \(3\) 之间，
   \[ f'(2.8)\approx\frac{f(3)-f(2.5)}{3-2.5}=\frac{11.6-10.1}{0.5}=3 . \]

两种情形同样要写出差商的算式，答案用 \(\approx\)。

2.8可导性Differentiability

导数是极限，而极限可能不存在。哪些点上导数不存在？

Why Differentiable Implies Continuous / 为什么可导必连续

设 \(f\) 在 \(x=a\) 可导，即极限 \(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 存在，是一个确定的数。对 \(h\ne0\)，函数值的改变量可以写成“差商乘以 \(h\)”：

\(h\to0\) 时，右边第一个因子趋于 \(f'(a)\)，第二个因子趋于 \(0\)。两个极限都存在，由 1.6 节的乘积法则，

即 \(\displaystyle\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)\)，也就是 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)：\(f\) 在 \(x=a\) 处连续。 推理中用到了 \(f'(a)\) 是一个有限的数，这正是“可导”的要求。

Why These Four Cases Fail / 四种情形为什么不可导

\(f'(a)\) 存在，要求差商 \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)（从 \(\bigl(a,f(a)\bigr)\) 出发的割线的斜率）在 \(h\to0^+\) 和 \(h\to0^-\) 时趋于同一个有限的数。图 7 的四种情形各有一处不满足：

1. 尖角（\(y=|x|\)，\(x=0\)）：右侧的割线斜率都是 \(1\)，左侧的都是 \(-1\)（例题 10 中计算）。左右两侧各有一条“切线”，但不是同一条直线，左右极限不相等，导数不存在。
2. 尖点（\(y=x^{2/3}\)，\(x=0\)）：差商是 \(\dfrac{h^{2/3}-0}{h}\)，\(h\to0^+\) 时趋于 \(+\infty\)，\(h\to0^-\) 时趋于 \(-\infty\)。曲线两侧越靠近原点越陡，斜率不趋于一个有限的数。
3. 垂直切线（\(y=x^{1/3}\)，\(x=0\)）：差商是 \(\dfrac{h^{1/3}-0}{h}\)，从两侧都趋于 \(+\infty\)。曲线在原点有切线，就是竖直的 \(y\) 轴；但竖直线上两点的水平距离为 \(0\)，斜率没有定义，所以 \(f'(0)\) 不存在。 可见“有切线”不等于“可导”：可导要求切线存在，而且不是竖直线。
4. 间断：由上面的定理，不连续的点一定不可导。直接看差商也可以：在跳跃处，从 \(\bigl(a,f(a)\bigr)\) 连到另一段上的点，竖直差趋于跳跃的高度（不是 \(0\)），水平距离趋于 \(0\)，割线斜率趋于无穷。

Zooming In / 放大后像直线

可导还有一个直观的说法：在可导的点附近把图像不断放大，看到的曲线越来越接近一条直线，这条直线就是切线。 图 8 上排是 \(y=x^2\) 在 \((1,1)\) 附近，每次把横、纵两个方向都放大 \(5\) 倍：第一幅还能看出弯曲，第三幅已经和切线（虚线，斜率 \(2\)）几乎重合。 下排是 \(y=|x|\) 在 \((0,0)\) 附近：无论放大多少倍，看到的都是同样的尖角，永远不会变成一条直线，所以它在 \(x=0\) 处不可导。 同样，尖点放大后两侧越来越陡；垂直切线的情形放大后越来越接近一条竖直线，它是直线，但没有斜率。

Example 10 / 例题 10

Example 11 / 例题 11（分段函数的可导性）

Why Check Continuity First / 为什么要先查连续

例题 11 的第二步只比较了两段各自的导数。只做这一步是不够的，看下面的函数：

1. 只比较两段的导数：左段 \((x^2)'=2x\to2\)，右段 \((2x)'=2\)。两段的导数在 \(x=1\) 附近都趋于 \(2\)。
2. 但函数不连续：\(f(1)=1^2=1\)，而 \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=2\)，函数在 \(x=1\) 处跳跃。由定理，\(f\) 在 \(x=1\) 处不可导。
3. 直接看定义：右侧差商是
   \[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2(1+h)-1}{h}=\frac{1+2h}{h}=\frac1h+2\ \to\ +\infty\qquad(h\to0^+) . \]

   右段的导数 \(2\) 是右段那条直线自身的斜率；而导数的定义要求割线从点 \(\bigl(1,f(1)\bigr)=(1,1)\) 出发，这个点不在右段的直线上（图 9）。

所以第一步必须先查连续。函数在分段点连续时，两段在这里接上，比较两段导数的极限才能判断是否可导（这一结论的证明要用第五章的中值定理，AP 考试直接使用这两步检查）。

2.9幂法则与线性法则Basic Differentiation Rules

从定义求导太慢。以下法则（都可以由定义证明）适用于全部多项式与幂函数。

Why the Rules Hold / 法则的来由

常数：\(y=c\) 的图像是水平线，每一点的切线就是它本身，斜率为 \(0\)。用定义也一样：差商 \((c-c)/h=0\)，极限为 \(0\)。

幂法则（\(n\) 为正整数）：关键是 \((x+h)^n\) 的展开。例如

一般地，\((x+h)^n\) 是 \(n\) 个因子 \((x+h)\) 相乘，展开时每个因子取 \(x\) 或 \(h\)：\(n\) 个因子都取 \(x\)，得 \(x^n\)；恰好一个因子取 \(h\)，有 \(n\) 种取法，每种得 \(x^{n-1}h\)，合计 \(nx^{n-1}h\)；其余各项至少取两个 \(h\)，都含 \(h^2\)。所以

代入差商，\(x^n\) 抵消，再除以 \(h\)：

\(h\to0\) 时含 \(h\) 的项都趋于 \(0\)，只剩 \(nx^{n-1}\)。例题 1 和 2.3 节随堂练习 2 就是 \(n=2\)、\(n=3\) 的情形。 \(n\) 为负整数时，可以把 \(x^{n}\) 写成 \(1/x^{-n}\)（\(-n\) 是正整数），用 2.12 节的商法则推出同样的公式；分数指数的一般证明要用第三章的隐函数求导，这里不展开（例题 2、3 已经用定义验证了 \(n=\frac12\) 和 \(n=-1\)）。

常数倍与和差：由 1.6 节的极限法则直接得到：

第一式用常数倍法则，第二式用和差法则（两个极限都存在）。

幂法则只用于 \(x^n\)。\(x^n\) 的底数是变量 \(x\)，指数是常数 \(n\)，例如 \(x^2\)、\(x^{-1}\)、\(x^{1/2}\)。指数函数 \(a^x\) 正好相反：底数是常数，指数是变量，例如 \(2^x\)、\(e^x\)。 幂法则不能用于指数函数，\(\left(2^x\right)'\) 不等于 \(x\cdot2^{x-1}\)。\(e^x\) 的导数见 2.10 节，一般的 \(a^x\) 见第三章。

Example 12 / 例题 12

Example 13 / 例题 13（先重写，再求导）

2.10四个基本函数的导数Derivatives of Sine, Cosine, \(e^x\), and \(\ln x\)

Slopes on the Sine Curve / 从图像看 \((\sin x)'=\cos x\)

图 10 在 \(y=\sin x\) 上取四个点画切线：

1. \(x=0\)：曲线从原点向上穿过，切线斜率是 \(1\)（下面会看到，这个斜率就是 \(\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1\)）；
2. \(x=\frac{\pi}{2}\)：\(\sin x\) 取最大值 \(1\)，切线水平，斜率是 \(0\)；
3. \(x=\pi\)：曲线向下穿过 \(x\) 轴。正弦曲线关于直线 \(x=\frac{\pi}{2}\) 对称，所以这里的斜率与 \(x=0\) 处相反，是 \(-1\)；
4. \(x=\frac{3\pi}{2}\)：\(\sin x\) 取最小值 \(-1\)，切线水平，斜率是 \(0\)。

四个斜率 \(1,\,0,\,-1,\,0\) 正好是 \(\cos x\) 在这四点的值：\(\cos0=1\)，\(\cos\frac{\pi}{2}=0\)，\(\cos\pi=-1\)，\(\cos\frac{3\pi}{2}=0\)。 两点之间也是这样：例如从 \(x=0\) 到 \(x=\frac{\pi}{2}\)，曲线一直上升，但越来越平，斜率从 \(1\) 减小到 \(0\)；\(\cos x\) 也从 \(1\) 减小到 \(0\)。

Deriving \((\sin x)'\) from the Definition / 用定义推导 \((\sin x)'\)

推导要用到两个极限（\(h\) 用弧度）：

第一个是 1.5 节的极限，1.8 节用单位圆证明过。第二个可以由第一个推出：分子、分母同乘 \(\cos h+1\)，分子用平方差公式和 \(\cos^2h-1=-\sin^2h\)，

\(h\to0\) 时 \(\frac{\sin h}{h}\to1\)，而 \(\sin h\to0\)、\(\cos h+1\to2\)，所以 \(\frac{\sin h}{\cos h+1}\to0\)，极限是 \(-1\cdot0=0\)。 （\(\frac{\cos h-1}{h}\) 正是 \(\cos x\) 在 \(x=0\) 处的差商。这个极限为 \(0\)，说明 \(y=\cos x\) 在最高点 \((0,1)\) 处的切线水平，与图 10 下图一致。）

有了这两个极限，按定义求 \((\sin x)'\)：

第一步：写出差商。

第二步：用和角公式展开。\(\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h\)，所以分子是

第三步：拆成两项。

第四步：取极限。\(h\to0\) 时 \(x\) 不变，\(\sin x\)、\(\cos x\) 都是常数。由上面两个极限，

\(\cos x\) 的推导完全类似，展开时用 \(\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h\)：

为什么必须用弧度。上面用到的 \(\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1\) 是用扇形面积 \(\frac12r^2\theta\) 证明的（1.8 节），这个面积公式要求角用弧度。 如果 \(x\) 用角度，\(h\) 度等于 \(\frac{\pi h}{180}\) 弧度，\(\frac{\sin(h^\circ)}{h}\) 的极限是 \(\frac{\pi}{180}\) 而不是 \(1\)，求出的导数会多出一个因子 \(\frac{\pi}{180}\)。 所以 \((\sin x)'=\cos x\)、\((\cos x)'=-\sin x\) 只在弧度下成立。

Why \((e^x)'=e^x\) / \(e^x\) 的导数

先看一般的指数函数 \(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\ne1\)）。由 \(a^{x+h}=a^x\cdot a^h\)，差商可以提出因子 \(a^x\)：

\(h\to0\) 时 \(a^x\) 不变，所以

因为 \(a^0=1\)，\(\dfrac{a^h-1}{h}=\dfrac{a^{0+h}-a^0}{h}\) 正是 \(a^x\) 在 \(x=0\) 处的差商，这个极限就是曲线 \(y=a^x\) 在点 \((0,1)\) 处的切线斜率。 结论：\(a^x\) 的导数等于 \(a^x\) 乘以它在 \(x=0\) 处的斜率。

这个斜率与底数 \(a\) 有关。下表是 \(h\) 很小时的差商：

\(2^x\) 在 \(x=0\) 处的斜率约为 \(0.693\)，小于 \(1\)；\(3^x\) 的约为 \(1.099\)，大于 \(1\)。底数从 \(2\) 增大到 \(3\)，这个斜率从小于 \(1\) 变为大于 \(1\)，中间有一个底数使斜率恰好等于 \(1\)，这个底数就是 \(e\approx2.71828\)（表中间一行趋于 \(1\)）。 也就是说，\(e\) 是使 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1\) 的底数。代入上面的结论：

（一般的 \(a^x\)，这个斜率等于 \(\ln a\)，所以 \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a\)，见第三章 3.5 节。\(\ln2\approx0.693\)、\(\ln3\approx1.099\)，与表中的数一致。）

Why \((\ln x)'=\frac1x\) / \(\ln x\) 的导数

\(y=\ln x\) 是 \(y=e^x\) 的反函数：\(\ln x=y\) 与 \(e^y=x\) 说的是同一件事。所以点 \((p,q)\) 在 \(y=e^x\) 上，当且仅当点 \((q,p)\) 在 \(y=\ln x\) 上。交换横、纵坐标就是关于直线 \(y=x\) 作对称，所以两条曲线关于 \(y=x\) 对称（图 11）。

关于 \(y=x\) 作对称时，一条直线的水平变化和竖直变化互换，原来的斜率是“竖直差 \(\div\) 水平距离”，对称后变成“水平距离 \(\div\) 竖直差”，即斜率变为原来的倒数。把这一点用于切线：

1. \(y=e^x\) 上的点 \((t,\,e^t)\) 处的切线斜率是 \(e^t\)（上面刚证明）；
2. 对称点 \((e^t,\,t)\) 在 \(y=\ln x\) 上，那里的切线是对称过来的直线，斜率是 \(\dfrac{1}{e^t}\)；
3. 这个点的横坐标是 \(x=e^t\)，所以斜率 \(=\dfrac1x\)。

即 \(\left(\ln x\right)'=\dfrac1x\)（\(x>0\)）。例如 \(y=e^x\) 在 \(A(1,e)\) 处的斜率是 \(e\)，\(y=\ln x\) 在对称点 \(B(e,1)\) 处的斜率是 \(\frac1e\)。 第三章 3.9 节会把这个做法写成一般的反函数求导公式。

Example 14 / 例题 14

Example 15 / 例题 15

2.11积法则The Product Rule

到目前为止的法则都是“线性”的：加减、数乘可以逐项求导，乘积不可以——先看一个反例。

Why the Product Rule Holds / 积法则的来由

设 \(f\)、\(g\) 都可导。先设它们取正值，把乘积 \(f(x)\,g(x)\) 看成长 \(f\)、宽 \(g\) 的矩形的面积。\(x\) 增加 \(\Delta x\) 时，两条边分别变为 \(f+\Delta f\) 和 \(g+\Delta g\)，其中

新矩形比原来多出三块（图 12）：

两边除以 \(\Delta x\)：

令 \(\Delta x\to0\)：\(\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\to g'\)，\(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\to f'\)。 最后一项中，\(\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\to g'\) 是一个确定的数，而 \(\Delta f\to0\)（\(f\) 可导，所以连续，见 2.8 节），所以最后一项趋于 \(0\cdot g'=0\)。于是

角上的小块是两个小量 \(\Delta f\)、\(\Delta g\) 的乘积，除以 \(\Delta x\) 以后仍趋于 \(0\)，所以它不出现在公式里。 上面的代数运算不要求 \(f\)、\(g\) 取正值，矩形只是帮助理解。

Example 16 / 例题 16

Example 17 / 例题 17

2.12商法则The Quotient Rule

Where the Quotient Rule Comes From / 商法则的来由

商法则可以由积法则推出。设 \(q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x)\ne0\)），并且 \(q\) 可导（这一点可以用定义证明，这里不展开）。

第一步：改写成乘积。\(f=q\,g\)。

第二步：两边求导，右边用积法则。\(f'=q'g+q\,g'\)。

第三步：解出 \(q'\)。把 \(q\,g'\) 移到左边，\(q'g=f'-q\,g'\)，所以 \(q'=\dfrac{f'-q\,g'}{g}\)。

第四步：把 \(q=\dfrac{f}{g}\) 代回，化简。分子、分母同乘 \(g\)：

分子中的减号来自第三步把 \(q\,g'\) 移到等号另一边，所以 \(f'g\) 在前、\(fg'\) 在后，顺序不能换。

Example 18 / 例题 18

Example 19 / 例题 19

2.13其余四个三角函数的导数The Other Four Trigonometric Derivatives

Definitions / 四个函数的定义

除了 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)，AP 还用到另外三个三角函数：\(\cot\)（cotangent，余切）、\(\sec\)（secant，正割）、\(\csc\)（cosecant，余割）。国内高中一般不学后三个，它们的定义是：

每个函数在分母为 \(0\) 的点没有定义，例如 \(\sec x\) 在 \(\cos x=0\) 的点（\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，\(k\) 为整数）没有定义。 求值时先求 \(\sin\)、\(\cos\)，再按定义计算，例如

还要用到一个恒等式。把 \(\sin^2x+\cos^2x=1\) 两边除以 \(\cos^2x\)（\(\cos x\ne0\)）：

同样，两边除以 \(\sin^2x\) 得 \(1+\cot^2x=\csc^2x\)。

\(\tan\)、\(\cot\)、\(\sec\)、\(\csc\) 都是 \(\sin\)、\(\cos\) 的商——所以它们的导数都可以用商法则求出。先推导一个：

Example 20 / 例题 20（推导 \(\tan x\) 的导数）

Deriving \((\sec x)'\) / 推导 \((\sec x)'\)

\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\)：分子 \(1\) 的导数是 \(0\)，分母 \(\cos x\) 的导数是 \(-\sin x\)。由商法则，

这个结果是对的，但习惯上写成六个三角函数的形式：把 \(\cos^2x\) 拆成两个 \(\cos x\)，

所以 \((\sec x)'=\sec x\tan x\)。\(\csc x\) 完全类似：

AP 选择题的选项一般写成 \(\sec x\tan x\) 这样的形式，要能认出它和 \(\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\) 是同一个函数。

Example 21 / 例题 21

2.14AP 高频题型AP-Style Problems

Example 22: Tangent Line with the Product Rule / 积法则求切线

Example 23: Motion Analysis / 运动分析

Example 24: Interpreting with Units / 单位解释

2.15章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. 若 \(f\) 在 \(x=a\) 可导，则 \(f\) 在 \(x=a\) 连续。
   TrueFalse
   核对答案

   True（可导必连续）
2. 若 \(f\) 在 \(x=a\) 连续，则 \(f\) 在 \(x=a\) 可导。
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(|x|\) 在 \(0\) 处连续但不可导）
3. \(\dfrac{d}{dx}\left[f(x)\,g(x)\right] = f'(x)\,g'(x)\)。
   TrueFalse
   核对答案

   False（应为 \(f'g+fg'\)；如 \(f=g=x\) 时左边 \(2x\)、右边 \(1\)）
4. 曲线 \(y=e^x\) 上每一点的切线斜率都等于该点的函数值。
   TrueFalse
   核对答案

   True（\((e^x)'=e^x\)）
5. \(f(x)=|x-2|\) 在 \(x=2\) 处可导。
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(x=2\) 处是尖角，左导数 \(-1\)、右导数 \(1\)）

Part B: Definition of the Derivative / 导数定义

1. 用定义求 \(f(x)=x^2-x\) 的导数。
   核对答案

   \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-(x+h)-x^2+x}{h} = \lim_{h\to 0}\,(2x+h-1) = 2x-1\)
2. \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\) 是某函数在某点的导数。指出函数与点，并求值。
   核对答案

   \(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \(x=9\)；值 \(\dfrac{1}{2\sqrt9}=\dfrac16\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^5-32}{x-2}\) 是某函数在某点的导数。指出函数与点，并求值。
   核对答案

   \(f(x)=x^5\) 在 \(x=2\)；值 \(5(2)^4=80\)

Part C: Compute the Derivative / 求导综合

1. \(f(x)=x^6-4x^2+5x\)
   核对答案

   \(6x^5-8x+5\)
2. \(f(x)=\dfrac{2}{x^4}\)
   核对答案

   \(-\dfrac{8}{x^5}\)
3. \(f(x)=x^2\ln x\)
   核对答案

   \(2x\ln x + x\)
4. \(f(x)=e^x\cos x\)
   核对答案

   \(e^x(\cos x-\sin x)\)
5. \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x^2+2}\)
   核对答案

   \(\dfrac{3(x^2+2)-(3x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \dfrac{-3x^2-2x+6}{(x^2+2)^2}\)
6. \(f(x)=x^2\sec x\)
   核对答案

   \(2x\sec x + x^2\sec x\tan x\)
7. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\)（化简你的答案）
   核对答案

   \(\dfrac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{1+\cos x}\)
8. \(f(x)=x^{3/2}-x^{-1/2}\)
   核对答案

   \(\dfrac32 x^{1/2} + \dfrac12 x^{-3/2}\)

Part D: Tangent Lines / 切线

1. 求 \(y=x^3\) 在 \(x=1\) 处的切线方程。
   核对答案

   \(y=3x-2\)
2. 求 \(y=\dfrac{x}{x+2}\) 在 \(x=0\) 处的切线方程。
   核对答案

   斜率 \(\dfrac{2}{(x+2)^2}\Bigr|_{0} = \dfrac12\)，切点 \((0,0)\)：\(y=\dfrac{x}{2}\)
3. 求 \(y=x^4-2x^2\) 所有水平切线的切点。
   核对答案

   \(y'=4x^3-4x=0 \Rightarrow x=0,\pm1\)：\((0,0)\)、\((1,-1)\)、\((-1,-1)\)

Part E: Motion and Units / 运动与单位

1. \(s(t)=2t^3-15t^2+24t\)（\(t\ge 0\)，米，秒）。求质点静止的时刻，以及向左移动的时间区间。
   核对答案

   \(v(t)=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\)：\(t=1\) s、\(t=4\) s 时静止；\(1<t<4\) 时 \(v(t)<0\)，所以在 \((1,4)\) 上向左移动
2. \(s(t)=2t^3-15t^2+24t\)（\(t\ge 0\)，米，秒）。求 \(t=2\) 时的加速度。
   核对答案

   \(a(t)=12t-30\)，\(a(2)=-6\) m/s\(^2\)
3. \(C(t)\) 为咖啡温度（\(^\circ\)C），\(t\) 为分钟。用完整句子解释 \(C'(8)=-3\)。
   核对答案

   第 8 分钟时，咖啡温度正以每分钟 3 摄氏度的速率下降

Part F: Differentiability / 可导性

1. \(f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x\le 1\\ 2x, & x>1\end{cases}\) 在 \(x=1\) 处可导吗？验证两步。
   核对答案

   连续：\(\lim_{x\to1^-}f(x)=2=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)\) ✓；斜率：左 \(2x\to2\)、右 \(2\) ✓。可导，\(f'(1)=2\)
2. \(f(x)=|x+3|\) 在 \(x=-3\) 处可导吗？
   核对答案

   不可导（尖角，左右斜率 \(\mp1\)）
3. 求 \(k\) 与 \(m\)，使 \(f(x)=\begin{cases} kx^2, & x\le 2\\ mx-4, & x>2\end{cases}\) 在 \(x=2\) 处可导。
   核对答案

   连续：\(4k=2m-4\)；斜率：\(4k=m\)。联立得 \(4k=8k-4\)，\(k=1\)，\(m=4\)

2.16本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 导数的定义：\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)——割线斜率的极限。
2. 两种含义：几何上是切线斜率，物理上是瞬时变化率（\(s\to v\to a\)，单位 \(=\frac{f\text{单位}}{x\text{单位}}\)）。
3. 表格估导数：取两侧最近点作差商，答案写 \(\approx\)。
4. 可导 \(\Rightarrow\) 连续；反之不然。四类不可导点：尖角、尖点、垂直切线、间断。 分段函数的分段点：先连续，再左右斜率相等。
5. 幂法则 \(\left(x^n\right)'=nx^{n-1}\) 对一切实数 \(n\)；求导前先把分母、根号重写成幂。
6. 必背导数：\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)，\((e^x)'=e^x\)，\((\ln x)'=\frac1x\)， 以及六个三角函数总表（co 开头带负号）。
7. 积法则 \(\left(fg\right)'=f'g+fg'\)；商法则 \(\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)——分子顺序不可换。