无穷级数（BC）

10.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 10? / 第十单元学什么？

无穷多个数相加，结果可能是一个有限的数。本章从这一事实出发，最后把 \(e^x\)、\(\sin x\) 等函数写成无穷多项式。本章分三部分：

1. When does an infinite sum converge to a number?  无穷和何时“收敛”？（各种判别法）
2. Power series: infinite polynomials that converge on an interval.  幂级数：在某个区间上收敛的无穷多项式。
3. Taylor series: representing functions by their derivatives, with error bounds.  Taylor 级数：用导数表示函数，并用 Lagrange 误差界估计误差。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Distinguish sequences from series; define convergence via partial sums.
   区分数列与级数；用部分和定义收敛。
2. Apply the nth-term, geometric, \(p\)-series, integral, comparison, alternating, and ratio tests.
   使用各判别法：通项、几何、\(p\)-级数、积分、比较、交错、比值。
3. Estimate alternating series with the error bound.
   用交错级数误差界做估计。
4. Find the radius and interval of convergence of a power series.
   求幂级数的收敛半径与收敛区间（含端点检查）。
5. Build Taylor polynomials and use common Maclaurin series.
   构造 Taylor 多项式；熟用常见 Maclaurin 级数及其变形。
6. Bound truncation error with the Lagrange error bound.
   用 Lagrange 误差界控制截断误差。

10.2引入：无穷个数加得完吗Can Infinitely Many Numbers Add Up?

Scene: Filling a Square / 场景：填满一个正方形

取一个面积为 1 的正方形：先涂一半，再涂剩下的一半，再涂剩下的一半……

涂色部分始终在正方形内，并且越来越接近涂满。因此：

但 \(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots\)（调和级数）形式相似，部分和却会超过任何给定的数。 何时收敛、何时发散——这就是本章前半部分的全部内容。

Sequence, Partial Sums, Series / 数列、部分和与级数

按顺序排成一列的数 \(a_1,a_2,a_3,\dots\) 叫数列，记作 \(\{a_n\}\)；把数列的各项依次相加，\(a_1+a_2+a_3+\cdots\)，叫级数，记作 \(\sum a_n\)。以图 1 中 \(a_n=\frac1{2^n}\) 的级数为例，要分清三样东西：

\(a_n\to0\) 说的是每次加上的数越来越小；\(S_N\to S\) 说的是加到第 \(N\) 项为止的总和越来越接近一个固定的数。“级数收敛”指的是后者。部分和 \(S_1,S_2,S_3,\dots\) 本身也是一个数列，级数收敛就是部分和数列有极限。

为什么成立。第 \(N\) 项是相邻两个部分和之差：\(a_N=S_N-S_{N-1}\)。如果级数收敛于 \(S\)，那么 \(N\to\infty\) 时 \(S_N\to S\)，\(S_{N-1}\to S\)，所以

也就是说，收敛的级数，通项一定趋于 \(0\)；通项不趋于 \(0\) 时，级数就不可能收敛。反过来不成立：\(a_n\to0\) 只说明每次加上的数越来越小，加起来的总和仍可能无限增大。

Example 1 / 例题 1

10.3几何级数Geometric Series

几何级数不但能判断敛散，收敛时还能求出和：

Where the Formula Comes From / 求和公式的来历

前 \(N\) 项的部分和是 \(S_N=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{N-1}\)。两边乘公比 \(r\)，得 \(rS_N=ar+ar^2+\cdots+ar^{N-1}+ar^N\)。两式相减，\(ar\) 到 \(ar^{N-1}\) 各项都抵消，只剩 \(S_N-rS_N=a-ar^N\)，所以

• \(|r|<1\)：\(r^N\to0\)（例如 \(\left(\frac12\right)^N\) 每次减半），所以 \(S_N\to\dfrac{a}{1-r}\)。图 1 中 \(a=\frac12\)、\(r=\frac12\)，\(S_N=1-\frac1{2^N}\)，和为 \(\dfrac{1/2}{1-1/2}=1\)，与涂色的结果一致。
• \(|r|\ge1\)（\(a\ne0\)）：通项 \(ar^n\) 的绝对值 \(|a|\,|r|^n\ge|a|\)，不趋于 \(0\)，由 10.2 节的通项判别法发散。

公比为负时，各项正负交替，部分和来回摆动，但只要 \(|r|<1\) 仍然收敛。例如 \(1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots\)（\(a=1\)，\(r=-\frac12\)）：部分和依次是 \(1,\ \frac12,\ \frac34,\ \frac58,\ \frac{11}{16},\ \dots\)，一次在 \(\frac23\) 上方、一次在下方，与 \(\frac23\) 的距离每次减半；和为 \(\dfrac{1}{1-(-\frac12)}=\dfrac23\)。

Example 2 / 例题 2

10.4p-级数与积分判别法p-Series and the Integral Test

第六章反常积分中 \(p\)-积分的结论，在级数中有对应的版本：

Comparing a Series with an Integral / 级数与积分的比较

把每一项 \(a_n=f(n)\) 看成一个宽 \(1\)、高 \(f(n)\) 的矩形的面积，部分和就是这些矩形的面积之和，可以和曲线 \(y=f(x)\) 下的面积（积分）比较。图 2 以 \(f(x)=\frac1x\) 为例，把矩形放在两种位置：

矩形在曲线上方（图 2 左）。在 \([n,\,n+1]\) 上放高 \(a_n=f(n)\) 的矩形，也就是用区间左端的函数值作高。\(f\) 递减，这一段上的曲线不高于 \(f(n)\)，所以矩形盖住了曲线下的那一块：\(a_n\ge\int_n^{n+1}f(x)\,dx\)。把 \(n=1,2,\dots,N\) 的这些不等式加起来：

矩形在曲线下方（图 2 右）。在 \([n-1,\,n]\) 上放同样高 \(a_n=f(n)\) 的矩形，也就是用区间右端的函数值作高。这一段上的曲线不低于 \(f(n)\)，所以矩形在曲线下方：\(a_n\le\int_{n-1}^{n}f(x)\,dx\)。把 \(n=2,3,\dots,N\) 的这些不等式加起来：

调和级数发散。这就是 10.2 节例题 1 所说的证明。取 \(f(x)=\frac1x\)，由第一个不等式，

\(N\to\infty\) 时 \(\ln(N+1)\to\infty\)，部分和会超过任何给定的数，所以调和级数发散。不过它增长得很慢：由第二个不等式，\(S_N\le1+\ln N\)，前一万项的和约为 \(9.79\)。

\(\sum\frac1{n^2}\) 收敛。取 \(f(x)=\frac1{x^2}\)，由第二个不等式，

所以对每个 \(N\)，\(S_N=1+\left(\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{N^2}\right)<2\)。各项为正，部分和随 \(N\) 增大而增大，又始终小于 \(2\)，只能越来越接近某个不超过 \(2\) 的数（和图 1 中涂色部分始终在正方形内是同一个道理），所以级数收敛。

级数的和不等于积分值。矩形与曲线之间有空隙（图 2 中矩形顶部与曲线之间的小块），所以矩形面积之和与曲线下的面积不相等。例如 \(\sum\frac1{n^2}\) 的和大于第一项 \(1\)、小于 \(2\)（实际是 \(\frac{\pi^2}{6}\approx1.645\)），而 \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=1\)。积分判别法只判断敛散，不给出级数的和。

一般情形。积分发散时，由第一个不等式，部分和没有上界，级数发散；积分收敛时，由第二个不等式，\(S_N\le a_1+\int_1^\infty f(x)\,dx\)，部分和递增且有上界，级数收敛。这就是定理中的“同敛同散”。

三个条件的作用。递减保证 \(f(n)\) 是 \(f\) 在 \([n,\,n+1]\) 上的最大值（图 2 左）、在 \([n-1,\,n]\) 上的最小值（图 2 右），矩形才完全在曲线上方或完全在曲线下方，两个不等式才成立；如果 \(f\) 时升时降，曲线会在某些段上穿过矩形的顶边，就无法比较。正保证各项和积分都表示面积，部分和随 \(N\) 增大而增大。连续保证曲线下的面积（积分）有意义。

From the \(p\)-Integral to the \(p\)-Series / 由 \(p\)-积分得到 \(p\)-级数

第六章 6.16 节推导过：\(\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}\) 在 \(p>1\) 时收敛（值为 \(\frac{1}{p-1}\)），在 \(p\le1\) 时发散。\(p>0\) 时 \(f(x)=\frac1{x^p}\) 在 \([1,\infty)\) 上为正、连续、递减，由积分判别法，\(\sum\frac1{n^p}\) 与这个积分同敛同散：\(p>1\) 时收敛，\(0<p\le1\) 时发散。\(p\le0\) 时 \(\frac1{n^p}=n^{-p}\ge1\)，通项不趋于 \(0\)，由通项判别法发散。合起来就是定理中的 \(p\)-级数结论。

Example 3 / 例题 3

10.5比较判别法Comparison Tests

敛散未知的级数，可以与已知的级数（几何、\(p\)-级数）作比较：

When Direct Comparison Tells Nothing / 直接比较何时得不出结论

\(\frac1{n^2}\) 和 \(\frac1{2n}\) 都不超过发散的调和级数的对应项 \(\frac1n\)，但 \(\sum\frac1{n^2}\) 收敛（\(p=2\)），而 \(\sum\frac1{2n}\) 的每个部分和都是调和级数部分和的一半，仍然无限增大，发散。比发散级数小的级数，收敛、发散都有可能，所以得不出结论。同理，比收敛级数大也得不出结论：\(\frac{2}{n^2}\) 和 \(\frac1n\) 都不小于 \(\frac1{n^2}\)，前者收敛、后者发散。

Why Limit Comparison Works / 极限比较为什么成立

\(\lim\frac{a_n}{b_n}=c\) 说明 \(n\) 很大时 \(a_n\approx c\,b_n\)，两个级数后面的项只差一个常数倍。例如例题 4(b) 中 \(\frac{1}{2n-1}\approx\frac12\cdot\frac1n\)。写成不等式：\(n\) 足够大以后，\(\frac{a_n}{b_n}\) 在 \(\frac c2\) 与 \(2c\) 之间，即 \(\frac c2\,b_n<a_n<2c\,b_n\)。

• 若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum 2c\,b_n\) 也收敛（每个部分和都乘 \(2c\)），由右边的不等式和直接比较，\(\sum a_n\) 收敛；
• 若 \(\sum b_n\) 发散，则 \(\sum \frac c2\,b_n\) 也发散，由左边的不等式和直接比较，\(\sum a_n\) 发散。

不等式只在 \(n\) 足够大以后成立，这不影响结论：去掉前面有限项，只改变级数的和，不改变敛散。\(c=0\) 或 \(c=\infty\) 时只剩一边的不等式，不能保证同敛同散，所以要求 \(0<c<\infty\)。

Example 4 / 例题 4

10.6交错级数Alternating Series

Why It Converges / 为什么收敛

以交错调和级数 \(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots\)（\(b_n=\frac1n\)）为例，部分和依次是

图 3 把它们每行一个画在数轴上：

• 加、减交替进行，部分和一次向右移动、一次向左移动，每次移动的距离就是这一步加上或减去的 \(b_n\)；
• \(b_n\) 递减，后一次移动的距离不超过前一次，所以往回移动时不会越过上一次的位置：右边的点 \(S_1\)、\(S_3\)、\(S_5\)、……越来越靠左，左边的点 \(S_2\)、\(S_4\)、\(S_6\)、……越来越靠右，并且右边的点始终在左边的点右侧；
• \(b_n\to0\)，相邻两点的距离趋于 \(0\)，两组点从左右两侧夹向同一个数 \(S\)（可以证明 \(S=\ln2\approx0.693\)），所以级数收敛。

\(b_n\to0\) 这个条件不能少：\(1-1+1-1+\cdots\) 的部分和在 \(1\) 和 \(0\) 之间来回变化，每次移动的距离始终是 \(1\)，不趋于任何数。

Why the Error Is at Most the Next Term / 为什么误差不超过下一项

由图 3，\(S\) 总在相邻的两个部分和 \(S_N\) 与 \(S_{N+1}\) 之间，而 \(S_{N+1}\) 与 \(S_N\) 只差一项：\(S_{N+1}=S_N\pm b_{N+1}\)。\(S\) 到 \(S_N\) 的距离不超过 \(S_N\) 到 \(S_{N+1}\) 的距离，所以

例如 \(S_4\approx0.583\)，\(b_5=\frac15\)，所以 \(S\) 在 \(0.583\) 与 \(0.783\) 之间；实际误差 \(|S-S_4|\approx0.110\)，确实不超过 \(0.2\)。从图上还能看出 \(S_N\) 偏大还是偏小：最后计入的一项是减去的（如 \(S_4\)），\(S_N\) 比 \(S\) 小；是加上的（如 \(S_5\)），\(S_N\) 比 \(S\) 大。

Absolute and Conditional Convergence / 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛的级数一定收敛。理由如下。令 \(c_n=a_n+|a_n|\)：\(a_n\ge0\) 时 \(c_n=2|a_n|\)，\(a_n<0\) 时 \(c_n=0\)，所以总有 \(0\le c_n\le 2|a_n|\)。若 \(\sum|a_n|\) 收敛，则 \(\sum 2|a_n|\) 收敛，由 10.5 节的直接比较（各项 \(\ge0\)），\(\sum c_n\) 收敛。而 \(a_n=c_n-|a_n|\)，\(\sum a_n\) 的部分和等于两个收敛级数的部分和之差，也有极限，所以 \(\sum a_n\) 收敛。

这个结论的用处：只要各项取绝对值后的级数收敛，原级数就收敛，不必管各项的正负怎样排列。10.7 节的比值判别法就是对 \(|a_n|\) 作判断，结论是“绝对收敛”，由这里的结论，原级数也收敛。

下面三个级数的正负号都是一正一负交替，结论却各不相同：

Example 5 / 例题 5（交错调和级数）

Example 6 / 例题 6（误差界定项数）

10.7比值判别法The Ratio Test

含 \(n!\)、\(c^n\)、\(n^n\) 的级数，前面的方法通常不方便，可以看相邻两项的比：

Why the Ratio Test Works / 比值判别法为什么成立

\(L\) 是相邻两项之比的极限，所以 \(n\) 很大时 \(|a_{n+1}|\approx L\,|a_n|\)：从某一项起，每一项大约是前一项的 \(L\) 倍，后面的项近似一个公比为 \(L\) 的几何级数（10.3 节）。

• \(L<1\)：近似公比小于 \(1\) 的几何级数。严格地说，取一个在 \(L\) 与 \(1\) 之间的数 \(r\)，\(n\) 足够大（设 \(n\ge N\)）以后 \(|a_{n+1}|\le r\,|a_n|\)，于是后面的项依次不超过 \(|a_N|,\ |a_N|\,r,\ |a_N|\,r^2,\ \dots\)，由直接比较，\(\sum|a_n|\) 收敛，即原级数绝对收敛（由 10.6 节，因此收敛）。
• \(L>1\)：\(n\) 足够大以后，每一项的绝对值都比前一项大，通项不趋于 \(0\)，由通项判别法发散。
• \(L=1\)：比较不出结果。例如 \(\sum\frac1n\) 的比值 \(\frac{n}{n+1}\to1\)，\(\sum\frac1{n^4}\) 的比值 \(\frac{n^4}{(n+1)^4}\to1\)，\(L\) 都是 \(1\)，但前者发散、后者收敛（\(p=4\)）。

Example 7 / 例题 7

10.8幂级数与收敛区间Power Series

把常数项换成 \(x\) 的幂，得到幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n\)，它是 \(x\) 的函数。 它不一定对所有 \(x\) 都收敛——收敛的 \(x\) 组成以 \(a\) 为中心的收敛区间。

Fix \(x\), Get an Ordinary Series / 取定 \(x\)，就是普通级数

\(x\) 取定一个值，幂级数就成了一个普通的数项级数，可以用前面各节的判别法判断。以例题 8 的 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\) 为例：

• \(x=\frac12\)：得到 \(\sum\frac{1}{n\cdot2^n}=\frac12+\frac18+\frac1{24}+\cdots\)。每一项不超过 \(\left(\frac12\right)^n\)，由直接比较（几何级数，\(r=\frac12\)），收敛。
• \(x=2\)：得到 \(\sum\frac{2^n}{n}=2+2+\frac83+4+\cdots\)，通项 \(\frac{2^n}{n}\to\infty\)，由通项判别法，发散。

对每个 \(x\) 逐个判断太慢。比值判别法可以一次处理所有的 \(x\)：算出的 \(L\) 含 \(x\)（例题 8 中 \(L=|x|\)），由 \(L<1\) 解出收敛的范围。

Radius vs. Interval of Convergence / 收敛半径与收敛区间

比值判别法算出的 \(L\) 通常是 \(|x-a|\) 乘一个常数，\(L<1\) 化为 \(|x-a|<R\)。于是（图 4）：

• \(|x-a|<R\)：\(L<1\)，绝对收敛；
• \(|x-a|>R\)：\(L>1\)，发散；
• \(|x-a|=R\)，即两个端点 \(x=a\pm R\)：\(L=1\)，比值判别法无法判断，要代入后用别的判别法单独检查。

收敛半径是一个数：中心到端点的距离。收敛区间是一个区间：内部由 \(R\) 确定，两个端点是否包含要分别检查后才知道。所以同一个 \(R\) 可能对应 \((a-R,\,a+R)\)、\([a-R,\,a+R)\)、\((a-R,\,a+R]\)、\([a-R,\,a+R]\) 四种区间，例题 8 就是其中的 \([-1,\,1)\)。

还有两种特殊情况。若对每个 \(x\) 都有 \(L=0\)，则 \(L<1\) 对所有 \(x\) 成立，级数对所有实数收敛，记作 \(R=\infty\)，收敛区间是 \((-\infty,\,\infty)\)，没有端点要检查（10.10 节 \(\sin x\) 的级数就是这样）。若对每个 \(x\ne a\) 都有 \(L=\infty\)，则级数只在中心 \(x=a\) 处收敛（这时除第一项外各项都是 \(0\)），记作 \(R=0\)。

Example 8 / 例题 8

例 10.8.1

Find the interval of convergence of

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} . \]

解 Solution

比值：

\[ \left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x|\cdot\frac{n}{n+1} \;\longrightarrow\; |x| . \]

\(|x|<1\) 收敛：半径 \(R=1\)。

端点：\(x=1\)：\(\sum\frac1n\) 调和级数，发散； \(x=-1\)：\(\sum\frac{(-1)^n}{n}\) 交错调和级数，收敛。

答：\([-1,\ 1)\)。两个端点的敛散性不同，所以必须逐个检查。

10.9Taylor 多项式Taylor Polynomials

线性近似（4.6 节）用切线近似曲线；Taylor 多项式把这个思想推广到高阶：让 \(n\) 次多项式在 \(x=a\) 处的函数值及前 \(n\) 阶导数都与 \(f\) 相同。

Why the Coefficients Are \(f^{(k)}(a)/k!\) / 系数为什么是 \(f^{(k)}(a)/k!\)

先看 \(T_2\)。设 \(T_2(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2\)，要求它在 \(x=a\) 处的函数值、一阶导数、二阶导数分别等于 \(f(a)\)、\(f'(a)\)、\(f''(a)\)。逐次求导，再代入 \(x=a\)（含因子 \((x-a)\) 的项都变成 \(0\)）：

二次项系数的分母 \(2\)，来自 \((x-a)^2\) 求两次导数得到的 \(2\cdot1=2!\)。

一般地，\((x-a)^k\) 求 \(k\) 次导数得 \(k(k-1)\cdots2\cdot1=k!\)，例如 \((x-a)^3\to3(x-a)^2\to3\cdot2\,(x-a)\to3\cdot2\cdot1=3!\)。对 \(T_n\) 求 \(k\) 次导数再代入 \(x=a\)：次数低于 \(k\) 的项求导后已经变成 \(0\)；次数高于 \(k\) 的项还含有因子 \((x-a)\)，代入后也是 \(0\)；只剩 \(c_k(x-a)^k\) 这一项，得到 \(k!\,c_k\)。要使 \(T_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)\)，系数只能是

这就是定义框中每一项的形式。如果漏除 \(k!\)，\(T_n\) 在 \(a\) 处的 \(k\) 阶导数会变成 \(f^{(k)}(a)\) 的 \(k!\) 倍，不再与 \(f\) 相同。

Higher Degree, Wider Fit / 阶数越高，贴合的范围越宽

图 5 把 \(\sin x\) 与它的 Maclaurin 多项式

画在一起（\(\sin x\) 的偶次项系数都是 \(0\)，所以 \(T_2=T_1\)，\(T_4=T_3\)，原因见 10.10 节）。\(x=0\) 附近四条曲线几乎重合；离 \(0\) 越远，阶数低的多项式越早离开 \(\sin x\)。例如 \(\sin2\approx0.909\)，而 \(T_1(2)=2\)，\(T_3(2)\approx0.667\)，\(T_5(2)\approx0.933\)。

Example 9 / 例题 9

Example 10 / 例题 10（AP 常考题型：由导数值写 Taylor 多项式）

10.10常用 Maclaurin 级数与变形Common Maclaurin Series

四条必背级数（\(n\) 无限增大时，Taylor 多项式成为 Taylor 级数）：

Taylor Polynomial vs. Taylor Series / Taylor 多项式与 Taylor 级数

Taylor 多项式 \(T_n\) 只有有限项，对任何 \(x\) 都能算出一个数，它是 \(f(x)\) 的近似值，误差由 10.11 节估计。Taylor 级数 \(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\) 有无穷多项，它的部分和就是 \(T_0,T_1,T_2,\dots\)。它是一个幂级数（10.8 节），只在收敛区间内有和；框中的四个级数在括号所写的范围内，和等于函数值。在这个范围外，级数发散，不等于函数值，即使函数在那里有定义：例如 \(x=2\) 时 \(\frac{1}{1-x}=-1\)，而 \(1+2+4+8+\cdots\) 发散。

Deriving the Series for \(\sin x\) / 推导 \(\sin x\) 的级数

第一步：求各阶导数。\(\sin x\) 的导数按 \(\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x\) 循环，每求 \(4\) 次导数回到 \(\sin x\)。

第二步：代入 \(x=0\)。各阶导数在 \(0\) 处的值依次是 \(0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ \dots\)。

第三步：写出系数 \(f^{(k)}(0)/k!\)。偶数阶导数值都是 \(0\)，偶次项全部消失；奇数阶导数值依次是 \(1,-1,1,\dots\)，所以奇次项正负交替：

第四步：求收敛范围。对 \(a_n=\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 用比值判别法：

对每个 \(x\) 都成立，所以级数对所有 \(x\) 收敛（\(R=\infty\)）。

\(\cos x\) 的导数按同样的方式循环，在 \(0\) 处的值依次是 \(1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \dots\)，所以只有偶次项、正负交替；\(e^x\) 的各阶导数在 \(0\) 处都是 \(1\)，所以系数是 \(\frac1{n!}\)，全为正。这就是框中“规律”的来由。

新级数不必重新求导，可由已知级数通过代入、相乘、逐项求导或逐项积分得到。逐项求导、逐项积分不改变收敛半径，但端点要重新检查；代入后要按新变量重新求收敛范围。

例如相乘：用 \(x\) 乘 \(\cos x\) 的级数，就是每一项都乘 \(x\)：

与 \(\cos x\) 的级数一样对所有 \(x\) 成立。代入和逐项积分见例题 11。

Example 11 / 例题 11（代入与逐项积分）

10.11Lagrange 误差界Lagrange Error Bound

用 \(T_n\) 代替 \(f\)，误差有多大？交错级数看“下一项”；一般情形用 Lagrange 误差界：

Where the Bound Comes From / 误差界从哪里来

\(T_n\) 在 \(x=a\) 处的函数值和前 \(n\) 阶导数都与 \(f\) 相同，两者的差别从第 \(n+1\) 阶开始。如果再多算一项，加上的就是 \(T_{n+1}\) 比 \(T_n\) 多出的那一项 \(\dfrac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\)，所以误差 \(f(x)-T_n(x)\) 大约就是这个被截去的第一项。Lagrange 给出了精确的说法（证明超出 AP 范围）：在 \(a\) 与 \(x\) 之间有某个数 \(c\)，使

它与截去的第一项形式相同，只是导数在 \(c\) 处取值，而不是在 \(a\) 处。\(n=0\) 时它就是第五章 5.2 节的中值定理 \(f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)\)。我们不知道 \(c\) 的具体位置，只知道它在 \(a\) 与 \(x\) 之间，所以用 \(\bigl|f^{(n+1)}\bigr|\) 在这一段上的最大值 \(M\) 代替 \(\bigl|f^{(n+1)}(c)\bigr|\)，就得到定理中的误差界。误差在图上就是 \(x\) 处两条曲线之间的竖直距离（图 6）。

Example 12 / 例题 12

Example 13 / 例题 13（AP 问法：证明误差小于某数）

Finding \(M\) Yourself / 自己求 \(M\)：以 \(e^x\) 为例

\(\sin x\)、\(\cos x\) 可以直接取 \(M=1\)，例题 13 的 \(M\) 由题目给出；其他情况要自己求 \(\bigl|f^{(n+1)}\bigr|\) 在 \(a\) 与 \(x\) 之间的最大值。示范：用 \(e^x\) 在 \(a=0\) 处的 \(T_2(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}\) 近似 \(e^{0.5}\)，求误差界，并与实际误差比较。

第一步：确定要用哪一阶导数。\(n=2\)，要用第 \(3\) 阶导数：\(f'''(x)=e^x\)。

第二步：求 \(M\)。\(e^x\) 递增，在 \([0,\,0.5]\) 上的最大值在右端点取得，是 \(e^{0.5}\)。但 \(e^{0.5}\) 正是要近似的数，不能把它的值当作已知；取一个确定的上界即可：\(e<4\)，所以 \(e^{0.5}=\sqrt e<\sqrt4=2\)，取 \(M=2\)。

第三步：代入误差界。

第四步：与实际误差比较。\(T_2(0.5)=1+0.5+0.125=1.625\)，而 \(e^{0.5}\approx1.6487\)，实际误差约为 \(0.0237\)，确实小于 \(0.0417\)。误差界比实际误差大，是因为用最大值 \(M\) 代替了 \(f'''(c)\)，又把 \(e^{0.5}\) 放大成了 \(2\)；误差界保证的是“误差不会超过这个数”。

Choosing an Error Bound / 两种误差界的选择

两种误差界的适用条件不同：

• 交错级数误差界（10.6 节）要求：代入 \(x\) 后得到的级数正负交替，且各项的绝对值递减、趋于 \(0\)。满足这些条件时，误差不超过第一个未计入的项，不需要求高阶导数，也不需要 \(M\)。
• Lagrange 误差界不要求级数交错，只要能求出（或题目给出）\(\bigl|f^{(n+1)}\bigr|\) 的上界 \(M\)。上面近似 \(e^{0.5}\) 时，\(e^x\) 的级数在 \(x=0.5\) 处是 \(1+0.5+\frac{0.5^2}{2!}+\cdots\)，各项都为正，不是交错级数，只能用 Lagrange 误差界。
• 题目指定用哪一种时，按题目的要求做。

10.12AP 高频题型AP-Style Problems

Example 14: Choosing the Right Test / 判别法选择

Example 15: Interval of Convergence FRQ / 收敛区间全流程

10.13章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. 若 \(a_n\to 0\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(\sum\frac1n\)：\(a_n\to0\) 但发散）
2. \(|r|<1\) 时几何级数收敛于 \(\dfrac{a}{1-r}\)（\(a\) 为首项）。
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(a\) 取实际的第一项）
3. 比值判别法 \(L=1\) 时无结论。
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(\sum\frac1n\) 发散、\(\sum\frac1{n^2}\) 收敛，\(L\) 都是 \(1\)）
4. 幂级数的端点必须单独检查。
   TrueFalse
   核对答案

   True（端点处比值判别法 \(L=1\)）
5. Lagrange 误差界使用第 \(n+1\) 阶导数的上界。
   TrueFalse
   核对答案

   True（误差界 \(\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)）

Part B: Convergence Tests / 敛散判别（写明所用判别法）

1. \(\displaystyle\sum\left(\frac34\right)^n\)
   核对答案

   收敛（几何，\(r=\frac34\)）
2. \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^3}\)
   核对答案

   收敛（\(p=3>1\)）
3. \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^2+1}\)
   核对答案

   收敛（\(0<\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}\)，\(\sum\frac1{n^2}\) 收敛，直接比较）
4. \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\)
   核对答案

   \(b_n=\frac1{\sqrt n}\) 递减趋于 \(0\)，由 AST 收敛；\(\sum\frac1{\sqrt n}\) 发散（\(p=\frac12\)），条件收敛
5. \(\displaystyle\sum\frac{2^n}{n!}\)
   核对答案

   收敛（比值 \(\frac{2}{n+1}\to0\)）

Part C: Geometric Series / 几何级数求和

1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}4\left(\frac15\right)^n\)
   核对答案

   \(\dfrac{4}{1-\frac15} = 5\)
2. 把 \(0.454545\ldots\) 写成分数。
   核对答案

   \(\dfrac{45/100}{1-1/100} = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}\)

Part D: Power Series / 幂级数

1. 求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot3^n}\) 的收敛区间。
   核对答案

   比值 \(\to\frac{|x|}{3}<1 \Rightarrow |x|<3\)；\(x=3\)：\(\sum\frac1n\)，调和级数发散；\(x=-3\)：\(\sum\frac{(-1)^n}{n}\)，由 AST 收敛。 区间 \([-3,\,3)\)
2. 求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n\) 的收敛半径。
   核对答案

   比值 \(=(n+1)|x|\to\infty\)（除非 \(x=0\)）：\(R=0\)

Part E: Taylor / Taylor 多项式与级数

1. 写出 \(\sin x\) 的三阶 Maclaurin 多项式。
   核对答案

   \(x-\dfrac{x^3}{6}\)
2. 已知 \(f(1)=2\)、\(f'(1)=5\)、\(f''(1)=-6\)：写出 \(T_2\) 并近似 \(f(1.2)\)。
   核对答案

   \(T_2 = 2+5(x-1)-3(x-1)^2\)；\(f(1.2)\approx 2+1-0.12 = 2.88\)
3. 写出 \(x\,e^{x}\) 的 Maclaurin 级数前四项。
   核对答案

   \(x+x^2+\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^4}{6}\)

Part F: Error Bounds / 误差界

1. 用前 4 项近似 \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}\)，误差上界是多少？
   核对答案

   误差 \(\le b_5 = \dfrac{1}{125} = 0.008\)
2. \(T_1(x)=x\) 近似 \(\sin(0.5)\)：给出 Lagrange 误差界。
   核对答案

   \(f''(x)=-\sin x\)，\(|f''(x)|\le1\)，取 \(M=1\)：误差 \(\le \dfrac{1}{2!}(0.5)^2 = 0.125\)
3. \(\bigl|f^{(3)}\bigr|\le 9\) 于 \([2,\,2.4]\)，\(T_2\) 在 \(a=2\) 处近似 \(f(2.4)\)：给出误差上界。
   核对答案

   \(\le\dfrac{9}{3!}(0.4)^3 = \dfrac{9}{6}\cdot 0.064 = 0.096\)

10.14本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 级数收敛 \(=\) 部分和的极限存在；通项不趋零必发散（反向不成立——调和级数）。
2. 几何级数：\(|r|<1\) 时和 \(=\dfrac{\text{首项}}{1-r}\)；\(p\)-级数：\(p>1\) 收敛（源自反常积分）。
3. 判别法的选择：阶乘/指数 \(\to\) 比值；有理式 \(\to\)（极限）比较；交错 \(\to\) AST； 纯幂 \(\to\) \(p\)；通项不趋零 \(\to\) 发散。
4. 交错级数：递减趋零则收敛；误差 \(\le\) 下一项；绝对/条件收敛看取绝对值后是否收敛。
5. 幂级数三步：比值求 \(R\) → 端点逐查 → 写区间；四个常用级数及三种变形 （代入、相乘、逐项求导积分）。
6. Taylor 展开：\(\sum\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)——不要漏除阶乘；已知导数值时直接代入。
7. Lagrange 误差界：\(\dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)，三处全是 \(n+1\)； \(f=\sin x\) 或 \(\cos x\) 时取 \(M=1\)。