第九章参数方程、极坐标与向量值函数（BC） · AP微积分讲义

9.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 9? / 第九单元学什么？

前八章的曲线都写成 \(y=f(x)\)，每个 \(x\) 只对应一个 \(y\)。但有些曲线不是函数图像，例如摩天轮上一点的轨迹是一个圆；有些曲线虽然是函数图像，例如网球的飞行轨迹，\(y=f(x)\) 却不能说明球在什么时刻到达什么位置。本章介绍两种新的描述方法：

Parametric equations: describe a curve by a parameter \(t\) (often time); \(x\) and \(y\) are both functions of \(t\). 参数方程：用参数 \(t\)（常表示时间）描述曲线，\(x\)、\(y\) 都是 \(t\) 的函数。
Polar coordinates: describe position by angle and distance, which simplifies circles and cardioids. 极坐标：用角度和距离确定点的位置，圆、心形线等曲线的方程更简单。
Slope, arc length, and area each get a formula in both settings. 斜率、弧长、面积在参数方程和极坐标中各有相应的计算公式。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

Work with parametric curves: eliminate the parameter, indicate orientation.
消参、标注运动方向。
Compute \(\dfrac{dy}{dx}\) and \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) for parametric curves; find tangent lines.
求参数曲线的一阶、二阶导数与切线（含水平/垂直切线）。
Compute speed, distance traveled, and arc length.
求速率、路程与弧长。
Analyze motion with vector-valued functions (position, velocity, acceleration).
用向量值函数分析平面运动。
Convert between polar and rectangular coordinates.
极坐标与直角坐标互化。
Find slopes and areas for polar curves.
求极坐标曲线的斜率与所围面积。

9.2参数方程基础Parametric Basics

把曲线看成质点的运动轨迹：时刻 \(t\) 时质点在哪里？

\[ x = x(t), \qquad y = y(t). \]

参数方程给出 \(y=f(x)\) 没有的两项信息：方向（\(t\) 增大时点向哪里移动）和时间（何时到达何处）。

Example 1 / 例题 1（消参与定向）

例 9.2.1

Sketch the curve

\[ x = t+1, \qquad y = t^2 , \]

eliminate the parameter, and indicate the orientation.

解 Solution

消参：由 \(x = t+1\) 得 \(t = x-1\)，代入 \(y\)：

\[ y = (x-1)^2 . \]

是一条抛物线。

定向：取几个时刻—— \(t=-1\to(0,1)\)，\(t=0\to(1,0)\)，\(t=1\to(2,1)\)：点沿左半支下降到顶点 \((1,0)\)，再沿右半支上升。

图 1 消参得抛物线；箭头标出 t 增大的行进方向 — 图 1 消参得抛物线；箭头标出 \(t\) 增大的行进方向

答：\(y=(x-1)^2\)，沿箭头方向（自左向右）行进。消参后还要画出方向箭头：\(y=(x-1)^2\) 本身不含方向信息。

Example 2 / 例题 2（圆的参数化）

例 9.2.2

What curve is traced by

\[ x = 3\cos t, \qquad y = 3\sin t, \qquad 0\le t\le 2\pi\ ? \]

解 Solution

用 \(\cos^2 t+\sin^2 t = 1\) 消参：

\[ x^2 + y^2 = 9\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9 . \]

是半径 3 的圆。

定向：\(t=0\) 时在 \((3,0)\)，\(t=\frac{\pi}{2}\) 时在 \((0,3)\)，\(t=\pi\) 时在 \((-3,0)\)。点从 \(x\) 轴正方向转到 \(y\) 轴正方向，再转到 \(x\) 轴负方向，所以从 \((3,0)\) 出发逆时针转动；\(t=2\pi\) 时回到 \((3,0)\)，正好转一整圈。

答：圆 \(x^2+y^2=9\)（逆时针）。\(x\)、\(y\) 分别含 \(\cos t\)、\(\sin t\) 时，常用 \(\cos^2t+\sin^2t=1\) 消参。

Orientation and Parameter Range / 运动方向与参数范围

同一条曲线可以有不同的参数方程，运动方向也可能不同。例如

\[ x = 3\cos t, \qquad y = -3\sin t, \qquad 0\le t\le 2\pi \]

消参后同样得到 \(x^2+y^2=9\)；但 \(t=0\) 时在 \((3,0)\)，\(t=\frac{\pi}{2}\) 时在 \((0,-3)\)，点先向下转，所以是顺时针。消参只能确定曲线的形状，方向要代入几个 \(t\) 值才能确定。

\(t\) 的范围决定画出曲线的哪一部分。例题 2 中若只取 \(0\le t\le\pi\)，则 \(y=3\sin t\ge0\)，点从 \((3,0)\) 逆时针转到 \((-3,0)\)，只画出上半圆。

Practice / 随堂练习

\(x = 2\cos t\)，\(y = 2\sin t\)（\(0\le t\le \pi\)）画出什么图形？起点、终点各在何处？
核对答案
上半圆 \(x^2+y^2=4\)（\(y\ge0\)）；起点 \((2,0)\)，终点 \((-2,0)\)，逆时针
True or False: 消参后得到同一条曲线的两组参数方程，运动方向也一定相同。
核对答案
False（方向取决于参数化，如 \(t\to -t\) 会反向）

9.3参数曲线的导数Parametric Derivatives

质点沿曲线 \(x=x(t)\)、\(y=y(t)\) 运动时，\(\dfrac{dx}{dt}\) 是水平方向的速度（\(x\) 坐标每单位时间的变化）， \(\dfrac{dy}{dt}\) 是竖直方向的速度（\(y\) 坐标每单位时间的变化）。曲线的斜率 \(\dfrac{dy}{dx}\) 是 \(y\) 相对于 \(x\) 的变化率。本节用这两个速度求斜率。

Where the Slope Formula Comes From / 斜率公式的来由

在 \(\dfrac{dx}{dt}\ne0\) 的一小段时间内，\(x\) 随 \(t\) 只增或只减，每个 \(x\) 只对应曲线上的一个点，所以这一小段曲线可以看成 \(y\) 是 \(x\) 的函数，而 \(x\) 又是 \(t\) 的函数。由链式法则（第三章）：

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} . \]

两边除以 \(\dfrac{dx}{dt}\)，得到

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} , \]

即斜率 = 竖直速度 ÷ 水平速度。从图上看，速度箭头沿曲线的切线方向，它的水平分量是 \(\frac{dx}{dt}\)、竖直分量是 \(\frac{dy}{dt}\)，竖直分量除以水平分量正是切线的斜率（图 2 中的 \(P\) 点）。

由这个式子可以直接读出两种特殊的切线：

分子 \(\frac{dy}{dt}=0\) 而 \(\frac{dx}{dt}\ne0\)：质点这一时刻只沿水平方向运动，斜率为 \(0\)，切线水平；
分母 \(\frac{dx}{dt}=0\) 而 \(\frac{dy}{dt}\ne0\)：质点这一时刻只沿竖直方向运动，斜率不存在，切线垂直。

两个速度同时为 \(0\) 时，质点在这一时刻停住，速度箭头缩成一点，不能用这个式子判断切线方向。

图 2 曲线 x=t^2，y=t^3-3t（例题 3、4）。t=2 时质点在 P(4,2)，速度箭头（按比例缩小）的水平分量 \frac{dx}{dt}=4、竖直分量 \frac{dy}{dt}=9，沿切线方向，斜率 \frac94；橙色短线是 t=\pm1 处的水平切线和 t=0 处的垂直切线 — 图 2 曲线 \(x=t^2\)，\(y=t^3-3t\)（例题 3、4）。\(t=2\) 时质点在 \(P(4,2)\)，速度箭头（按比例缩小）的水平分量 \(\frac{dx}{dt}=4\)、竖直分量 \(\frac{dy}{dt}=9\)，沿切线方向，斜率 \(\frac94\)；橙色短线是 \(t=\pm1\) 处的水平切线和 \(t=0\) 处的垂直切线

定理 9.3.1Parametric Slope and Second Derivative / 参数求导公式

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \qquad\left(\frac{dx}{dt}\ne 0\right); \qquad\qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{dy}{dx}\right]}{dx/dt} . \]

斜率 = 竖直速度 ÷ 水平速度（由链式法则得出）。 水平切线：\(\dfrac{dy}{dt}=0\)（且 \(\frac{dx}{dt}\ne0\)）； 垂直切线：\(\dfrac{dx}{dt}=0\)（且 \(\frac{dy}{dt}\ne0\)）。求二阶导数时要再除以一次 \(\frac{dx}{dt}\)，这是本章最常见的失分点。

Example 3 / 例题 3（切线）

例 9.3.1

For the curve

\[ x = t^2, \qquad y = t^3-3t , \]

find the equation of the tangent line at \(t = 2\).

解 Solution

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-3}{2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}\Bigr|_{t=2} = \frac{12-3}{4} = \frac94 . \]

切点：\(x(2)=4\)，\(y(2)=8-6=2\)，即 \((4,2)\)。

\[ y - 2 = \frac94\,(x-4) . \]

答：\(y-2=\frac94(x-4)\)。参数题中“在 \(t=2\) 处”已确定了切点：先算出切点坐标，再求斜率。

Example 4 / 例题 4（水平与垂直切线）

例 9.3.2

For the same curve (\(x=t^2\), \(y=t^3-3t\)), find all points with horizontal or vertical tangent lines.

解 Solution

水平：\(\dfrac{dy}{dt} = 3t^2-3 = 0 \Rightarrow t=\pm1\)（此时 \(\frac{dx}{dt}=\pm2\ne0\) ✓）：

\[ t=1:\ (1,\,-2); \qquad t=-1:\ (1,\,2). \]

垂直：\(\dfrac{dx}{dt} = 2t = 0 \Rightarrow t=0\)（此时 \(\frac{dy}{dt}=-3\ne0\) ✓）：点 \((0,0)\)。

答：水平切线于 \((1,-2)\) 与 \((1,2)\)；垂直切线于 \((0,0)\)。 分子为零对应水平切线，分母为零对应垂直切线；两者同时为零时需另行分析（本章不考）。

拖动 \(t\)：斜率 \(\frac{dy}{dx}\) 就是速度箭头的竖直分量 \(\frac{dy}{dt}\) 除以水平分量 \(\frac{dx}{dt}\)；\(t=\pm1\) 处水平切线，\(t=0\) 处垂直切线

The Second Derivative / 二阶导数

\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) 表示斜率 \(\dfrac{dy}{dx}\) 随 \(x\) 的变化率，即 \(\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{dy}{dx}\right]\)，它的正负决定曲线的凹凸（第五章）。在参数曲线上，求出的 \(\dfrac{dy}{dx}\) 是 \(t\) 的函数，记作 \(m(t)\)。求 \(m\) 对 \(x\) 的导数，用的仍是上面的斜率公式，只是把 \(y\) 换成 \(m\)：

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dm}{dx} = \frac{dm/dt}{dx/dt} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{dy}{dx}\right]}{dx/dt} . \]

所以分两步：先把 \(\dfrac{dy}{dx}\) 对 \(t\) 求导，再除以 \(\dfrac{dx}{dt}\)。求一阶导数时已经除过一次 \(\frac{dx}{dt}\)，这里是第二次。注意二阶导数不是两个二阶导数相除：

\[ \frac{d^2y}{dx^2} \ne \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} . \]

例如例题 5 的曲线在 \(t=2\) 处，\(\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}=\dfrac{6t}{2}\Big|_{t=2}=6\)，而正确值是 \(\dfrac{15}{32}\)。

Example 5 / 例题 5（二阶导数）

例 9.3.3

For \(x=t^2\), \(y=t^3-3t\), find \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) at \(t=2\). Is the curve concave up or down there?

解 Solution

把一阶导数看作 \(t\) 的函数：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-3}{2t} . \]

对 \(t\) 求导（商法则）：

\[ \frac{d}{dt}\left[\frac{3t^2-3}{2t}\right] = \frac{(6t)(2t)-(3t^2-3)(2)}{4t^2} = \frac{6t^2+6}{4t^2} = \frac{3t^2+3}{2t^2} . \]

再除以 \(\dfrac{dx}{dt} = 2t\)：

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3t^2+3}{4t^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2y}{dx^2}\Bigr|_{t=2} = \frac{15}{32} > 0 . \]

答：\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\Big|_{t=2}=\dfrac{15}{32}>0\)，所以曲线在 \(t=2\) 处上凹。整个过程共除以两次 \(\frac{dx}{dt}\)；少除一次得到的 \(\frac{3t^2+3}{2t^2}\) 是 AP 选择题中常见的错误选项。

9.4速率、路程与弧长Speed, Distance, Arc Length

质点沿平面曲线运动，位置是 \(x=x(t)\)、\(y=y(t)\)，\(t\) 通常表示时间。本节回答两个问题：某一时刻质点运动得多快（速率）？一段时间内一共走了多远（路程）？

Speed / 速率

质点同时在两个方向上运动：\(\dfrac{dx}{dt}\) 是水平方向的速度，\(\dfrac{dy}{dt}\) 是竖直方向的速度。两者互相垂直，是一个直角三角形的两条直角边（图 3 左）；由勾股定理，斜边就是质点实际运动的快慢：

\[ \text{speed} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} . \]

注意区分：速度（velocity）有方向，两个分量可正可负（9.5 节把它写成向量 \(\langle x'(t),\,y'(t)\rangle\)）；速率（speed）只表示快慢，总是 \(\ge 0\)。

图 3 左：P 点的速度分成水平速度 \frac{dx}{dt} 与竖直速度 \frac{dy}{dt}，斜边就是速率；右：很短的一段曲线近似直角三角形的斜边 — 图 3 左：\(P\) 点的速度分成水平速度 \(\frac{dx}{dt}\) 与竖直速度 \(\frac{dy}{dt}\)，斜边就是速率；右：很短的一段曲线近似直角三角形的斜边

Distance and Arc Length / 路程与弧长

在很短的时间 \(dt\) 内，质点走过的一小段曲线近似一个直角三角形的斜边（图 3 右），长度约为速率 \(\times\,dt\)。把从 \(t=a\) 到 \(t=b\) 的这些小段加起来（积分），就得到这段时间内走过的总路程：

定理 9.4.1Parametric Arc Length and Speed / 参数弧长与速率

\[ \text{speed} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}; \qquad L = \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt . \]

每一小段位移的长度是 \(\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)，即速率 \(\times\,dt\)。所以路程（distance traveled）= 速率的积分。

要点Connections / 与前面内容的联系

直线运动（第四、六章）：路程 \(=\displaystyle\int_a^b|v(t)|\,dt\)。直线上速率是 \(|v|\)，平面上速率是 \(\sqrt{(x')^2+(y')^2}\)，两个公式的结构相同。
\(y=f(x)\) 的弧长（第八章）：令 \(x=t\)、\(y=f(t)\)，则 \(\dfrac{dx}{dt}=1\)、\(\dfrac{dy}{dt}=f'(t)\)，代入即得 \(L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)。它是参数弧长公式的特例。
路程与曲线长度：若在 \(a\le t\le b\) 内质点不沿原路返回（曲线只被描一遍），路程就等于这段曲线的长度；若有往返，路程大于曲线长度。例如 \(x=\cos t\)、\(y=\sin t\)（\(0\le t\le 4\pi\)）：路程 \(4\pi\)，而单位圆的周长是 \(2\pi\)。

Example 6 / 例题 6

例 9.4.1

Find the length of the curve

\[ x = 3t^2, \qquad y = 2t^3, \qquad 0\le t\le 1 . \]

解 Solution

第一步：分别求导。\(\dfrac{dx}{dt} = 6t\)，\(\dfrac{dy}{dt} = 6t^2\)。

第二步：代入弧长公式。

\[ L = \int_0^1\sqrt{(6t)^2+(6t^2)^2}\,dt = \int_0^1\sqrt{36t^2+36t^4}\,dt . \]

第三步：化简被积函数。提出公因式 \(36t^2\) 后开方：\(\sqrt{36t^2(1+t^2)}=6|t|\sqrt{1+t^2}\)。因为 \(0\le t\le1\)，\(|t|=t\)：

\[ L = \int_0^1 6t\sqrt{1+t^2}\,dt . \]

第四步：换元积分。令 \(u = 1+t^2\)，\(du = 2t\,dt\)，即 \(6t\,dt=3\,du\)；\(t=0\) 时 \(u=1\)，\(t=1\) 时 \(u=2\)：

\[ L = 3\int_1^2 \sqrt u\,du = 3\cdot\frac23\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_1^2 = 2\left(2\sqrt2-1\right) = 4\sqrt2-2 \approx 3.657 . \]

答：\(L=4\sqrt2-2\approx 3.657\)。

Practice / 随堂练习

求 \(x=\cos t\)，\(y=\sin t\)（\(0\le t\le \pi\)）的弧长，并用几何常识核对。
核对答案
\(\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}\,dt = \pi\)（半径 1 的半圆弧长 ✓）
质点 \(x=t^2\)，\(y=t^3\)：求 \(t=1\) 时的速率。
核对答案
\(\sqrt{4+9} = \sqrt{13}\)
Set up（不求值）：\(x=t\)，\(y=t^2\)（\(0\le t\le 2\)）的弧长。
核对答案
\(\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+4t^2}\,dt\)

9.5向量值函数与平面运动Vector-Valued Motion

Vector Notation / 向量记号

记号 \(\langle a,\,b\rangle\) 表示一个平面向量：水平分量是 \(a\)，竖直分量是 \(b\)。它可以画成一个箭头：从起点向右走 \(a\)、向上走 \(b\)（\(a\)、\(b\) 为负时向左、向下）。两个分量是直角三角形的两条直角边，箭头是斜边，所以向量的长度由勾股定理得出：

\[ \bigl|\langle a,\,b\rangle\bigr| = \sqrt{a^2+b^2} . \]

例如 \(\bigl|\langle 3,\,-4\rangle\bigr| = \sqrt{9+16} = 5\)。

Position, Velocity, Acceleration / 位置、速度与加速度

把 \(x(t)\)、\(y(t)\) 合写成位置向量，就可以用向量描述平面运动：

\[ \mathbf r(t) = \langle x(t),\,y(t)\rangle \;\xrightarrow{\text{求导}}\; \mathbf v(t) = \langle x'(t),\,y'(t)\rangle \;\xrightarrow{\text{求导}}\; \mathbf a(t) = \langle x''(t),\,y''(t)\rangle . \]

速率 \(=|\mathbf v|\)（标量），路程 \(=\displaystyle\int|\mathbf v|\,dt\)；由速度求位置：位置 \(=\) 初始位置 \(+\displaystyle\int\mathbf v\)（逐分量积分）。下面逐项说明。

位置向量 \(\mathbf r(t)\) 是从原点指向质点所在点 \(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)\) 的箭头。
速度向量 \(\mathbf v(t)\) 的两个分量就是 9.3 节的水平速度 \(x'(t)\) 和竖直速度 \(y'(t)\)。把它画在质点所在的点上，它沿曲线的切线方向，指向质点运动的方向（图 4）。它的长度
\[ |\mathbf v(t)|=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} \]
正是 9.4 节的速率公式：速率是速度向量的长度，是一个数（标量）。
加速度向量 \(\mathbf a(t)\) 是速度向量的变化率，两个分量分别是水平速度和竖直速度的导数。

图 4 位置向量 \mathbf r(t) 从原点指向质点所在的点 P；速度向量 \mathbf v(t) 画在 P 点，沿切线方向，指向运动方向（橙色箭头） — 图 4 位置向量 \(\mathbf r(t)\) 从原点指向质点所在的点 \(P\)；速度向量 \(\mathbf v(t)\) 画在 \(P\) 点，沿切线方向，指向运动方向（橙色箭头）

Example 7 / 例题 7

例 9.5.1

A particle's position is

\[ \mathbf r(t) = \langle t^2,\; t^3\rangle . \]

Find \(\mathbf v(1)\), \(\mathbf a(1)\), and the speed at \(t=1\).

解 Solution

\[ \mathbf v(t) = \langle 2t,\,3t^2\rangle \Rightarrow \mathbf v(1) = \langle 2,3\rangle; \qquad \mathbf a(t) = \langle 2,\,6t\rangle \Rightarrow \mathbf a(1) = \langle 2,6\rangle . \]

\[ \text{speed} = |\mathbf v(1)| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} . \]

答：\(\mathbf v(1)=\langle2,3\rangle\)，\(\mathbf a(1)=\langle2,6\rangle\)，速率 \(\sqrt{13}\)。速度是向量（带方向），速率是它的长度，作答时注意区分。

Position from Velocity / 由速度求位置

第八章的累积公式：已知变化率和起始值，

\[ x(b) = x(a) + \int_a^b x'(t)\,dt \]

（现在的量 \(=\) 起始的量 \(+\) 变化率的积分）。速度向量的两个分量分别是 \(x\) 和 \(y\) 的变化率，所以对每个分量各用一次：

\[ x(b) = x(a) + \int_a^b x'(t)\,dt, \qquad y(b) = y(a) + \int_a^b y'(t)\,dt , \]

合写成向量形式：

\[ \mathbf r(b) = \mathbf r(a) + \int_a^b \mathbf v(t)\,dt \qquad\text{（逐分量积分）}. \]

Displacement and Distance / 位移与路程

上式中 \(\displaystyle\int_a^b \mathbf v(t)\,dt = \mathbf r(b)-\mathbf r(a)\) 叫做位移（displacement）， \(\displaystyle\int_a^b|\mathbf v(t)|\,dt\) 叫做路程（distance traveled）。两者不同：

位移是一个向量，从起点指向终点，只由起点和终点决定；
路程是一个数，是速率的积分（9.4 节），等于质点实际走过的路径长度。

例如 \(x=\cos t\)、\(y=\sin t\)（\(0\le t\le 2\pi\)）：质点沿单位圆转一圈回到起点，位移是 \(\langle 0,\,0\rangle\)，路程是 \(2\pi\)。这和第六章直线运动中位移 \(\displaystyle\int v\,dt\) 与路程 \(\displaystyle\int|v|\,dt\) 的区别相同。

Example 8 / 例题 8（AP 常考题型：由速度求位置）

例 9.5.2

A particle has velocity

\[ \mathbf v(t) = \langle 2t+1,\; e^t\rangle, \qquad \mathbf r(0) = \langle 3,\,2\rangle . \]

Find its position at \(t=2\).

解 Solution

逐分量用“初始 \(+\) 积分”：

\[ x(2) = 3 + \int_0^2(2t+1)\,dt = 3 + (4+2) = 9; \]

\[ y(2) = 2 + \int_0^2 e^t\,dt = 2 + \left(e^2-1\right) = 1+e^2 . \]

答：\(\mathbf r(2) = \langle 9,\; 1+e^2\rangle\)。由速度求位置是 BC 计算器 FRQ 的常考题型，公式就是第八章的累积公式（向量形式）。

9.6极坐标Polar Coordinates

极坐标用点到原点的距离 \(r\) 和从 \(x\) 轴正方向逆时针转过的角 \(\theta\) 表示点的位置，记作 \((r,\theta)\)。找点 \((r,\theta)\) 的方法：从 \(x\) 轴正方向逆时针转过角 \(\theta\)，再沿这个方向从原点走距离 \(r\)。

Where the Conversion Formulas Come From / 互化公式的来由

设点 \(P\) 的极坐标是 \((r,\theta)\)，直角坐标是 \((x,y)\)。从 \(P\) 向 \(x\) 轴作垂线，得到一个直角三角形（图 5）：斜边 \(OP=r\)，角 \(\theta\) 的邻边长 \(x\)，对边长 \(y\)。由余弦、正弦的定义，\(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\)，\(\sin\theta=\dfrac{y}{r}\)，所以 \(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)；由勾股定理，\(r^2=x^2+y^2\)；对边比邻边，\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)。图中 \(P\) 在第一象限；\(P\) 在其他象限时，\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\) 带有正负号，这些式子仍然成立。

图 5 极坐标 (r,\theta) 与直角坐标 (x,y)：从 P 向 x 轴作垂线，直角三角形的斜边是 r，两条直角边是 x=r\cos\theta 和 y=r\sin\theta — 图 5 极坐标 \((r,\theta)\) 与直角坐标 \((x,y)\)：从 \(P\) 向 \(x\) 轴作垂线，直角三角形的斜边是 \(r\)，两条直角边是 \(x=r\cos\theta\) 和 \(y=r\sin\theta\)

定义 9.6.1Polar–Rectangular Conversion / 互化公式

\[ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta; \qquad\qquad r^2 = x^2+y^2, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} . \]

注意：极坐标表示不唯一——\((r,\theta)\)、\((r,\theta+2\pi)\)、\((-r,\theta+\pi)\) 是同一个点。确定 \(\theta\) 时先看点所在的象限，不能直接取 \(\arctan\frac{y}{x}\) 的值。

Negative \(r\) / \(r\) 为负的含义

极坐标中 \(r\) 可以是负数。\(r<0\) 时，点 \((r,\theta)\) 的找法是：先转到角 \(\theta\) 的方向，再朝相反方向走 \(|r|\)。例如 \(\left(-2,\ \frac{5\pi}{4}\right)\)：\(\frac{5\pi}{4}\) 的方向指向第三象限，它的反方向是 \(\frac{\pi}{4}\) 的方向；朝反方向走 2，到达的点与 \(\left(2,\ \frac{\pi}{4}\right)\) 相同（图 6）。用互化公式验证：

\[ x = -2\cos\frac{5\pi}{4} = \sqrt2, \qquad y = -2\sin\frac{5\pi}{4} = \sqrt2 , \]

与 \(\left(2,\frac{\pi}{4}\right)\) 的直角坐标 \((\sqrt2,\sqrt2)\) 相同。一般地，\((-r,\ \theta+\pi)\) 与 \((r,\theta)\) 是同一个点。例题 13 中，圆 \(r=4\cos\theta\) 在 \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) 时 \(r<0\)，就要按这个规则描点。

图 6 同一个点的两种写法。左：\left(2,\frac{\pi}{4}\right)，转到 \frac{\pi}{4} 的方向，走 2；右：\left(-2,\frac{5\pi}{4}\right)，转到 \frac{5\pi}{4} 的方向（虚线），再朝反方向走 2 — 图 6 同一个点的两种写法。左：\(\left(2,\frac{\pi}{4}\right)\)，转到 \(\frac{\pi}{4}\) 的方向，走 2；右：\(\left(-2,\frac{5\pi}{4}\right)\)，转到 \(\frac{5\pi}{4}\) 的方向（虚线），再朝反方向走 2

Polar Equations / 极坐标方程

极坐标方程 \(r=f(\theta)\) 的意思是：对每个角 \(\theta\)，在 \(\theta\) 的方向上取到原点距离为 \(f(\theta)\) 的点（\(f(\theta)<0\) 时朝反方向取）； \(\theta\) 连续变化时，这些点连起来就是曲线。例如 \(r=2\) 表示每个方向上都取距离为 2 的点，得到圆心在原点、半径为 2 的圆。 9.7 节用这个方法画心形线和玫瑰线。

Example 9 / 例题 9（点的互化）

例 9.6.1

(a) Convert \(\left(r,\theta\right) = \left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) to rectangular coordinates.
(b) Convert \((x,y) = (-1,\,1)\) to polar coordinates with \(r>0\), \(0\le\theta<2\pi\).

解 Solution

(a)

\[ x = 2\cos\frac{\pi}{3} = 1, \qquad y = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad (1,\ \sqrt3). \]

(b) \(r = \sqrt{1+1} = \sqrt2\)；点在第二象限，\(\tan\theta = -1 \Rightarrow \theta = \dfrac{3\pi}{4}\) （不是 \(-\frac{\pi}{4}\)，因为点在第二象限）：

\[ \left(\sqrt2,\ \frac{3\pi}{4}\right). \]

答：(a) \((1,\sqrt3)\) (b) \(\left(\sqrt2,\frac{3\pi}{4}\right)\)。

Example 10 / 例题 10（方程互化）

例 9.6.2

Convert the polar equation

\[ r = 4\cos\theta \]

to rectangular form and identify the curve.

解 Solution

两边乘 \(r\)（凑出 \(r^2\) 和 \(r\cos\theta\)）：

\[ r^2 = 4r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2 = 4x \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2 + y^2 = 4 . \]

答：圆心 \((2,0)\)、半径 \(2\) 的圆。“两边乘 \(r\)”是 \(r=a\cos\theta\)、\(r=a\sin\theta\) 这类方程互化的常用第一步；这个圆在例题 13 中还会用到。

Practice / 随堂练习

把直角坐标方程 \(x = 3\) 化为极坐标方程（用 \(r,\theta\) 表示 \(r\)）。
核对答案
\(r\cos\theta = 3 \Rightarrow r = \dfrac{3}{\cos\theta} = 3\sec\theta\)

9.7极坐标曲线与斜率Polar Curves and Slopes

极坐标最著名的曲线是心形线（cardioid）：

图 7 心形线：\(\theta\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\)，\(r\) 从 \(2\) 减小到 \(0\) 再增大到 \(2\)

Plotting a Polar Curve / 描点画极坐标曲线

图 7 是按 9.6 节的方法画出来的：在几个方向上算出 \(r=1+\cos\theta\)，再描点。

\(\theta\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)
\(r=1+\cos\theta\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
直角坐标	\((2,0)\)	\((0,1)\)	\((0,0)\)	\((0,-1)\)	\((2,0)\)

\(\theta\) 从 \(0\) 转到 \(\frac{\pi}{2}\)，\(r\) 从 2 减小到 1，点从 \((2,0)\) 移到 \(y\) 轴上的 \((0,1)\)；\(\theta\) 继续转到 \(\pi\)，\(r\) 减小到 \(0\)，曲线回到原点，形成心形线的尖点。 \(\theta\) 从 \(\pi\) 转到 \(2\pi\)，\(r\) 又从 0 增大到 2，画出下半部分。因为 \(\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta\)，角 \(\theta\) 与 \(2\pi-\theta\) 处的 \(r\) 相同，所以下半部分与上半部分关于 \(x\) 轴对称。

Rose Curves / 玫瑰线

\(r=a\sin2\theta\)（\(a>0\)）叫做玫瑰线（rose curve），它有四片花瓣（图 8 取 \(a=3\)）。 \(\theta\) 从 \(0\) 增大到 \(\frac{\pi}{4}\) 时，\(2\theta\) 从 \(0\) 增大到 \(\frac{\pi}{2}\)，\(r\) 从 \(0\) 增大到最大值 \(a\)；\(\theta\) 从 \(\frac{\pi}{4}\) 增大到 \(\frac{\pi}{2}\) 时，\(r\) 又减小到 \(0\)。所以 \(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\) 时，点从原点出发、再回到原点，画出第一象限的一片花瓣，花瓣的顶点在 \(\theta=\frac{\pi}{4}\) 的方向上、距原点 \(a\)。 \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) 时 \(\sin2\theta<0\)，\(r<0\)，点画在反方向，得到第四象限的花瓣；\(\theta\) 转完 \(0\) 到 \(2\pi\)，依次画出第一、四、三、二象限的四片花瓣。一般地，\(r=a\sin n\theta\) 或 \(r=a\cos n\theta\)（\(n\) 为正整数，\(n\ge2\)）：\(n\) 为奇数时有 \(n\) 片花瓣，\(n\) 为偶数时有 \(2n\) 片。

图 8 玫瑰线 r=3\sin2\theta：0\le\theta\le\frac{\pi}{2} 画出第一象限的一片花瓣（阴影），顶点在 \theta=\frac{\pi}{4} 方向、距原点 3；其余三片依次由后面每段长 \frac{\pi}{2} 的 \theta 画出 — 图 8 玫瑰线 \(r=3\sin2\theta\)：\(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\) 画出第一象限的一片花瓣（阴影），顶点在 \(\theta=\frac{\pi}{4}\) 方向、距原点 3；其余三片依次由后面每段长 \(\frac{\pi}{2}\) 的 \(\theta\) 画出

分析极坐标曲线还要注意两点：\(r=0\) 的点和斜率。

Points Where \(r=0\) / \(r=0\) 的点

若 \(r(\theta_0)=0\)，曲线在 \(\theta=\theta_0\) 时经过原点。在 \(\theta_0\) 附近，曲线上的点位于角 \(\theta\) 的方向上（\(r<0\) 时在反方向上），而 \(\theta\) 接近 \(\theta_0\)，所以曲线沿射线 \(\theta=\theta_0\) 的方向进入原点：曲线在原点处的切线就是射线 \(\theta=\theta_0\) 所在的直线。例如心形线在 \(\theta=\pi\) 时 \(r=0\)，尖点处的切线是 \(x\) 轴；玫瑰线 \(r=3\sin2\theta\) 在 \(\theta=0\)、\(\frac{\pi}{2}\) 时 \(r=0\)，第一片花瓣在原点处分别与 \(x\) 轴、\(y\) 轴相切。相邻两个 \(r=0\) 之间，曲线从原点出发又回到原点，围成一个封闭部分（例如一片花瓣）；9.8 节求面积时，积分的上下限常常就是这样的两个 \(\theta\) 值。

Slopes / 斜率

求斜率时，把极坐标方程看作参数方程（参数是 \(\theta\)）：

\[ x = r(\theta)\cos\theta,\quad y = r(\theta)\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} . \]

Example 11 / 例题 11（极坐标斜率）

例 9.7.1

Find the slope of the cardioid

\[ r = 1+\cos\theta \]

at \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\).

解 Solution

写成参数式：

\[ x = (1+\cos\theta)\cos\theta = \cos\theta+\cos^2\theta, \qquad y = (1+\cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \sin\theta\cos\theta . \]

求导：\(\cos^2\theta\) 用链式法则，\((\cos^2\theta)'=-2\cos\theta\sin\theta\)；\(\sin\theta\cos\theta\) 用乘积法则，再用倍角公式：

\[ (\sin\theta\cos\theta)' = \cos\theta\cdot\cos\theta + \sin\theta\cdot(-\sin\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta = \cos2\theta . \]

再代 \(\theta=\frac{\pi}{2}\)（\(\sin=1\)，\(\cos=0\)）：

\[ \frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta \;\Big|_{\pi/2} = -1; \qquad \frac{dy}{d\theta} = \cos\theta + \cos2\theta \;\Big|_{\pi/2} = 0 + (-1) = -1 . \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1 . \]

答：\(1\)。极坐标斜率没有新公式：化成参数方程，再用 9.3 节的公式。

Practice / 随堂练习

\(r = 1+\cos\theta\) 在 \(0\le\theta<2\pi\) 内何处 \(r=0\)？
核对答案
\(1+\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi\)
圆 \(r = 2\)（常数）的参数式是什么？它在 \(\theta=\frac{\pi}{4}\) 处的斜率是多少？（提示：先用几何判断，再计算验证。）
核对答案
\(x=2\cos\theta\)，\(y=2\sin\theta\)；\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2\cos\theta}{-2\sin\theta} \Bigr|_{\pi/4} = -1\)（圆在该点切线垂直于半径，与几何判断一致 ✓）

9.8极坐标面积Polar Area

直角坐标把区域分成竖条，极坐标分成扇形薄片：角度增量 \(d\theta\) 对应一片半径 \(r\) 的小扇形，面积 \(\frac12 r^2\,d\theta\)。下面说明这个面积的来由。

Area of a Sector / 扇形面积

半径为 \(r\)、圆心角为 \(\theta\)（弧度）的扇形占整个圆的 \(\dfrac{\theta}{2\pi}\)，所以

\[ \text{扇形面积} = \pi r^2\cdot\frac{\theta}{2\pi} = \frac12 r^2\theta . \]

Slicing into Thin Sectors / 切成细扇形

设区域由曲线 \(r=f(\theta)\) 和两条射线 \(\theta=\alpha\)、\(\theta=\beta\) 围成（图 9 左）。把从 \(\alpha\) 到 \(\beta\) 的角分成许多很小的角 \(d\theta\)，区域就被切成许多细长的薄片。在很小的角度内 \(r\) 几乎不变，每一片近似于半径 \(r=f(\theta)\)、圆心角 \(d\theta\) 的扇形（图 9 右），面积约为 \(\frac12r^2\,d\theta\)。把这些小扇形的面积加起来（积分），就得到下面的面积公式。这和直角坐标中把区域切成面积为 \(f(x)\,dx\) 的竖条、再积分的想法相同。

图 9 左：曲线 r=f(\theta) 与射线 \theta=\alpha、\theta=\beta 围成的区域，切成细扇形；右：其中一片（放大），半径 r、圆心角 d\theta，面积约为 \frac12r^2\,d\theta — 图 9 左：曲线 \(r=f(\theta)\) 与射线 \(\theta=\alpha\)、\(\theta=\beta\) 围成的区域，切成细扇形；右：其中一片（放大），半径 \(r\)、圆心角 \(d\theta\)，面积约为 \(\frac12r^2\,d\theta\)

Between Two Curves / 两条曲线之间

若区域在外圈 \(r=r_{\text{outer}}(\theta)\) 和内圈 \(r=r_{\text{inner}}(\theta)\) 之间，每一片是大扇形减去小扇形：

\[ \frac12 r_{\text{outer}}^2\,d\theta - \frac12 r_{\text{inner}}^2\,d\theta = \frac12\left(r_{\text{outer}}^2 - r_{\text{inner}}^2\right)d\theta . \]

被积函数是平方之差，不是 \(\left(r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}\right)^2\)：面积是两个扇形的面积相减，不能先把半径相减再算一个扇形。

定理 9.8.1Polar Area / 极坐标面积公式

\[ A = \frac12\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta . \]

两条曲线之间（外减内）：

\[ A = \frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left(r_{\text{outer}}^2 - r_{\text{inner}}^2\right)d\theta . \]

注意三点：不要漏掉 \(\frac12\)，\(r\) 要平方；\(\theta\) 范围要让曲线恰好扫过一遍（见例题 13）。常用降幂：\(\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}\)，\(\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}\)。

Example 12 / 例题 12（心形线的面积）

例 9.8.1

Find the area enclosed by the cardioid

\[ r = 1+\cos\theta . \]

解 Solution

整条曲线由 \(0\le\theta\le 2\pi\) 扫出：

\[ A = \frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \frac12\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta . \]

逐项：\(\displaystyle\int_0^{2\pi}1 = 2\pi\)；\(\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta = 0\)； \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^2\theta = \pi\)（降幂后常数项贡献 \(\pi\)）。

\[ A = \frac12\,(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2} . \]

答：\(\dfrac{3\pi}{2}\)。在 \([0,2\pi]\) 上 \(\cos\theta\)、\(\cos2\theta\) 的积分都为 \(0\)，只需计算常数项。

Example 13 / 例题 13（\(\theta\) 的积分范围）

例 9.8.2

Find the area enclosed by the circle

\[ r = 4\cos\theta . \]

解 Solution

由例题 10，它是半径 2 的圆，面积应为 \(4\pi\)，可用来检验结果。

描点：用 \(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\) 算出几个点：

\(\theta\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\pi\)
\(r=4\cos\theta\)	\(4\)	\(2\sqrt2\)	\(0\)	\(-2\sqrt2\)	\(-4\)
直角坐标	\((4,0)\)	\((2,2)\)	\((0,0)\)	\((2,-2)\)	\((4,0)\)

\(\theta\) 从 \(0\) 到 \(\frac{\pi}{2}\)，点沿上半圆从 \((4,0)\) 走到原点。\(\theta\) 超过 \(\frac{\pi}{2}\) 后 \(r<0\)，按 9.6 节的规则，点画在 \(\theta\) 的反方向，又落回同一个圆上： \(\theta=\frac{3\pi}{4}\) 的方向指向第二象限，朝反方向走 \(2\sqrt2\)，到达下半圆上的 \((2,-2)\)（图 10），这也是 \(\theta=-\frac{\pi}{4}\) 时的点。所以 \(\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi\) 画出的是下半圆，与 \(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le0\) 画出的下半圆相同。

图 10 圆 r=4\cos\theta 上的点：0\le\theta\le\frac{\pi}{2} 画出上半圆；\theta=\frac{3\pi}{4} 时 r=-2\sqrt2，点在 \frac{3\pi}{4} 的反方向，落在下半圆上 — 图 10 圆 \(r=4\cos\theta\) 上的点：\(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\) 画出上半圆；\(\theta=\frac{3\pi}{4}\) 时 \(r=-2\sqrt2\)，点在 \(\frac{3\pi}{4}\) 的反方向，落在下半圆上

关键：这个圆在 \(\theta\) 从 \(-\frac{\pi}{2}\) 到 \(\frac{\pi}{2}\) 时已经画完一整圈 （\(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) 时 \(r=0\)）；若积到 \(2\pi\) 会把圆描两遍、面积翻倍。

\[ A = \frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16\cos^2\theta\,d\theta = 8\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta = 4\left[\theta+\frac{\sin2\theta}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4\pi . \]

与几何结果一致 ✓

答：\(4\pi\)。确定 \(\theta\) 范围的方法：取相邻两个 \(r=0\) 之间（或一个周期）；能用几何结果核对时，应先核对。

从 \(\theta=-\frac{\pi}{2}\) 开始扫：扫到 \(\frac{\pi}{2}\) 时圆刚好画完一圈，面积 \(4\pi\)；再往后 \(r<0\)，圆被重描一遍，面积重复计算

9.9AP 高频题型AP-Style Problems

Example 14: Area Between Polar Curves / 极坐标两曲线之间

例 9.9.1

Find the area of the region that lies inside the circle

\[ r = 4\cos\theta \]

and outside the circle

\[ r = 2 . \]

解 Solution

第一步：求交点。\(4\cos\theta = 2 \Rightarrow \cos\theta = \frac12 \Rightarrow \theta = \pm\frac{\pi}{3}\)，交点是 \((1,\pm\sqrt3)\)。

第二步：画图，判断外圈与内圈。圆 \(r=2\) 的圆心在原点；圆 \(r=4\cos\theta\) 的圆心在 \((2,0)\)、半径为 2（例题 10），由 \(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\) 画出一遍（例题 13）。所求区域是图 11 中的月牙形。从原点沿方向 \(\theta\) 作射线：

\(|\theta|<\frac{\pi}{3}\) 时 \(\cos\theta>\frac12\)，\(4\cos\theta>2\)。射线先在距离 2 处穿过圆 \(r=2\)，再在距离 \(4\cos\theta\) 处到达圆 \(r=4\cos\theta\)，两点之间的一段在区域内，所以 \(r=4\cos\theta\) 是外圈，\(r=2\) 是内圈。
\(\frac{\pi}{3}<|\theta|\le\frac{\pi}{2}\) 时 \(4\cos\theta<2\)，这个方向上圆 \(r=4\cos\theta\) 的点在圆 \(r=2\) 之内，射线上没有区域内的点。

所以积分范围是两个交点之间：\(-\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\)。

图 11 阴影是圆 r=4\cos\theta 之内、圆 r=2 之外的月牙形，两圆交于 (1,\pm\sqrt3)，即 \theta=\pm\frac{\pi}{3}。射线 \theta=\frac{\pi}{6} 先在距离 2 处穿过内圈，再在距离 2\sqrt3 处到达外圈，红色一段在区域内 — 图 11 阴影是圆 \(r=4\cos\theta\) 之内、圆 \(r=2\) 之外的月牙形，两圆交于 \((1,\pm\sqrt3)\)，即 \(\theta=\pm\frac{\pi}{3}\)。射线 \(\theta=\frac{\pi}{6}\) 先在距离 2 处穿过内圈，再在距离 \(2\sqrt3\) 处到达外圈，红色一段在区域内

第三步：列积分并计算。区域在 \(-\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\) 内，外圈 \(r=4\cos\theta\)、内圈 \(r=2\)：

\[ A = \frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(16\cos^2\theta - 4\right)d\theta = \frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(4 + 8\cos2\theta\right)d\theta \]

（用了 \(16\cos^2\theta = 8+8\cos2\theta\)）。逐项：

\[ = \frac12\Bigl[4\theta + 4\sin2\theta\Bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \frac12\left(\frac{8\pi}{3} + 8\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt3 . \]

答：\(\dfrac{4\pi}{3}+2\sqrt3\)。步骤与直角坐标相同：由交点定范围，外平方减内平方，再积分。

Example 15: Full Motion FRQ / 平面运动综合题（计算器题型）

例 9.9.2

A particle moves with velocity

\[ \mathbf v(t) = \left\langle e^t,\ 2t+1\right\rangle, \qquad \mathbf r(0) = \langle 0,\,0\rangle . \]

(a) Find the speed at \(t=0\). (b) Find the position at \(t=1\). (c) Set up an integral for the total distance traveled on \(0\le t\le 1\).

解 Solution

(a) \(|\mathbf v(0)| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2\)。

(b) 逐分量积分：

\[ \mathbf r(1) = \left\langle 0+\int_0^1 e^t\,dt,\ \ 0+\int_0^1(2t+1)\,dt\right\rangle = \left\langle e-1,\ 2\right\rangle . \]

(c)

\[ \text{distance} = \int_0^1\sqrt{e^{2t} + (2t+1)^2}\,dt . \]

答：(a) \(\sqrt2\) (b) \(\langle e-1,\,2\rangle\) (c) \(\approx 2.637\)。考试中 (c) 用计算器求值。

Practice / 随堂练习

质点 \(\mathbf v(t) = \langle 3t^2,\,4t\rangle\)，\(\mathbf r(1) = \langle 2,\,0\rangle\)。求 \(\mathbf r(2)\)。
核对答案
\(\mathbf r(2) = \langle 2+\displaystyle\int_1^2 3t^2,\ 0+\int_1^2 4t\rangle = \langle 2+7,\ 6\rangle = \langle9,\,6\rangle\)
Set up：\(r = 2+\sin\theta\) 所围区域的面积。
核对答案
\(\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2+\sin\theta)^2\,d\theta\)

9.10章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

当 \(\frac{dx}{dt}\ne0\) 时，参数曲线的斜率是 \(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)。
核对答案
True（\(\frac{dx}{dt}\ne0\) 时）
极坐标面积公式是 \(\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)。
核对答案
False（缺 \(\frac12\)）
speed \(= |\mathbf v| = \sqrt{\left(x'\right)^2+\left(y'\right)^2}\)。
核对答案
True（速率是速度向量的长度）
平面上一个点的极坐标表示是唯一的。
核对答案
False（\((r,\theta+2\pi)\) 同点）
\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]}{dx/dt}\)。
核对答案
True（先对 \(t\) 求 \(\frac{dy}{dx}\) 的导数，再除以 \(\frac{dx}{dt}\)）

Part B: Parametric Curves / 参数曲线

消参：\(x = 2t\)，\(y = 4t^2\)。
核对答案
\(y = x^2\)（由 \(t=x/2\)）；沿 \(x\) 增大的方向运动
\(x=t^3\)，\(y=t^2-1\)：求 \(t=1\) 处的斜率。
核对答案
\(\dfrac{2t}{3t^2}\Bigr|_{t=1} = \dfrac23\)
\(x=t^2\)，\(y=t^3-12t\)：求水平、垂直切线对应的所有 \(t\)。
核对答案
水平 \(t=\pm2\)（此时 \(\frac{dx}{dt}=\pm4\ne0\)）；垂直 \(t=0\)（此时 \(\frac{dy}{dt}=-12\ne0\)）
\(x=t^2\)，\(y=t^3\)：求 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)（用 \(t\) 表示），并判断 \(t>0\) 时的凹向。
核对答案
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t}{2}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3/2}{2t} = \dfrac{3}{4t}\)；\(t>0\) 时为正，上凹

Part C: Vector Motion / 向量运动

\(\mathbf r(t) = \langle t^3,\,t^2\rangle\)：求 \(\mathbf v(1)\)、\(\mathbf a(1)\) 与速率。
核对答案
\(\mathbf v(1)=\langle3,2\rangle\)；\(\mathbf a(1)=\langle6,2\rangle\)；速率 \(\sqrt{13}\)
\(\mathbf v(t) = \langle 2t,\,3\rangle\)，\(\mathbf r(0) = \langle1,\,5\rangle\)：求 \(\mathbf r(2)\)。
核对答案
\(\mathbf r(2) = \langle 1+4,\ 5+6\rangle = \langle5,\,11\rangle\)

Part D: Polar / 极坐标

把 \(\left(4,\dfrac{\pi}{6}\right)\) 化为直角坐标。
核对答案
\(\left(2\sqrt3,\,2\right)\)
把 \(r = 6\sin\theta\) 化为直角坐标方程并识别图形。
核对答案
\(x^2+(y-3)^2=9\)，圆心 \((0,3)\)、半径 \(3\) 的圆
求 \(r = 2\cos\theta\) 所围面积。
核对答案
\(\dfrac12\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta = \pi\)（半径 1 的圆 ✓）
求 \(r = 3\sin(2\theta)\) 一片花瓣的面积。
核对答案
\(\dfrac12\displaystyle\int_0^{\pi/2}9\sin^2(2\theta)\,d\theta = \dfrac92\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{9\pi}{8}\)

Part E: AP-Style / 综合

求心形线 \(r=1+\sin\theta\) 所围面积。
核对答案
\(\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(1+\sin\theta)^2\,d\theta=\dfrac12(2\pi+0+\pi)=\dfrac{3\pi}{2}\) （\(1+\sin\theta\) 是 \(1+\cos\theta\) 绕原点旋转 \(\frac{\pi}{2}\) 得到的，面积相同）

9.11本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

参数曲线描述质点的运动：消参确定形状，箭头标出方向。
斜率 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)：\(\frac{dy}{dt}=0\) 且 \(\frac{dx}{dt}\ne0\) \(\to\) 水平切线，\(\frac{dx}{dt}=0\) 且 \(\frac{dy}{dt}\ne0\) \(\to\) 垂直切线；二阶导数要再除以一次 \(\frac{dx}{dt}\)。
速率 \(=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\)；路程/弧长 \(=\displaystyle\int\) 速率；位置 \(=\) 初始 \(+\displaystyle\int\mathbf v\)（逐分量）。
极坐标互化：\(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\)、\(r^2=x^2+y^2\)；方程互化常用“两边乘 \(r\)”凑出 \(r^2\)、\(r\cos\theta\)、\(r\sin\theta\)；确定 \(\theta\) 时先看象限。
极坐标斜率没有新公式：化成参数方程计算。
极坐标面积 \(\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta\)（检查系数 \(\frac12\)、\(r\) 平方、\(\theta\) 范围）；两曲线之间：外平方减内平方；\(\theta\) 范围要让曲线恰好扫过一遍（相邻两个 \(r=0\) 之间，或一个周期），可用几何结果验证。