这部分需要会什么？
- 由标准式读取圆心和半径
- 用配方把一般式改成圆的标准式
- 使用半径与切线垂直及圆周角关系
核心概念与公式
圆的标准式为 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，圆心 \((h,k)\)，半径 \(r>0\)。一般式中若 \(x^2,y^2\) 系数相同且非零，可以先归一化，再分别配方；右边得到正数才表示非退化的实圆。
圆的切线在切点处垂直于半径。从圆外同一点引出的两条切线段长度相等。同弧所对的圆周角为圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角。
做题时怎样使用
- 有方程先化标准式，注意圆心坐标的符号和半径平方
- 有切线先连接圆心与切点，寻找直角三角形
- 有角和弧时明确对应的是同一条弧，再使用角度关系
容易混淆的地方
标准式右边是 \(r^2\)，不是 \(r\)。\((x+2)^2\) 表示圆心横坐标 \(-2\)。单看直线经过圆上一点不能确定它是切线。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) 的圆心与半径。
展开解题思路 ＋
配方得 \((x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25\)。因此圆心为 \((3,-2)\)，半径为 5。
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圆・圆的方程与切线挑战
What is the diameter of the circle in the xy-plane with equation \( \left(x-5\right)^2+\left(y-3\right)^2=16 \) ?
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圆・圆的方程与切线挑战
The equation (x + 6)2 + (y + 3)2 =121 defines a circle in the xy‑plane. What is the radius of the circle?
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圆・圆的方程与切线进阶
A circle has a radius of 43 meters. What is the area, in square meters, of the circle?
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圆・圆的方程与切线进阶
Circle A has a radius of 3n and circle B has a radius of 129n, where n is a positive constant. The area of circle B is how many times the area of circle A?
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圆・圆的方程与切线进阶
A circle in the xy-plane has a diameter with endpoints (2, 4) and (2, 14) . An equation of this circle is (x −2)2+(y −9)2= r2, where r is a positive constant. What is the value of r ?
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圆・圆的方程与切线进阶
The circle shown has center O, circumference 144π, and diameters \( PR \) and \( QS \) . The length of arc PS is twice the length of arc PQ. What is the length of arc QR?
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