这部分需要会什么？
- 用零乘积性质求多项式零点
- 理解因式定理和余式定理
- 根据因式形式识别横截距与重根
核心概念与公式
若多项式 \(P(x)\) 含因式 \((x-r)\)，则 \(P(r)=0\)，\(r\) 是零点；反过来也成立。\(P(x)\) 除以 \((x-r)\) 的余数为 \(P(r)\)。除数是 \((ax-b)\) 且 \(a\ne0\) 时，应代入 \(x=b/a\)。
若 \(y=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots\)，非零常数 \(a\) 不影响零点。图象的横截距为 \((r_i,0)\)。零点重数为奇数时图象穿过横轴，重数为偶数时图象在该处接触横轴而不穿过。
做题时怎样使用
- 求横截距时令 \(y=0\)，观察现成的因式，通常不必展开
- 逐个将一次因式设为零；求余数则直接代入使除数为零的输入
- 读清是要求一个零点、全部零点，还是截距坐标
容易混淆的地方
\((x+5)\) 对应零点 \(-5\)。前面的系数 4 不是横截距；“an x-coordinate”只要求一个符合条件的横坐标。
用一个例题串起方法
知识点教学例题\(y=4(x-13)(x+5)(x+1)\)。图象的横截距的横坐标有哪些？
展开解题思路 ＋
令每个一次因式为零：\(x-13=0\)、\(x+5=0\)、\(x+1=0\)。得到 \(x=13,-5,-1\)。若只要求一个横坐标，填写其中任意一个；若要求所有截距，则为 \((13,0),(-5,0),(-1,0)\)。
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多项式・因式与余式挑战
\( f\left(x\right)=x^2+bx \)
\( g\left(x\right)=9x^2-27x \)
Functions \( f \)and g are given, and in function , b is a constant. If \( f\left(x\right)\ ·\ g\left(x\right)=9x^4-26x^3-3x^2 \), what is the value of b?
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多项式・因式与余式进阶
\( y=2\left(x-d\right)\left(x+d\right)\left(x+g\right)\left(x-d\right) \)
In the given equation, d and g are unique positive constants. When the equation is graphed in the xy-plane, how many distinct x-intercepts does the graph have?
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多项式・因式与余式进阶
\( 3x\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0 \)
What is one of the solutions to the given equation?
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多项式・因式与余式挑战
Which of the following expressions has a factor of \( x+2b \), where b is a positive integer constant?
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多项式・因式与余式挑战
One of the factors of 2x3 + 42x2 +208x is x + b , where b is a positive constant. What is the smallest possible value of b ?
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多项式・因式与余式挑战
(ax + 3)(5x2 - bx + 4) = 20x3 -9x2 -2x + 12
The equation above is true for all x, where a and b are constants. What is the value of ab ?
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多项式・因式与余式挑战
The table above gives selected values of a polynomial function p. Based on the values in the table, which of the following must be a factor of p ?
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多项式・因式与余式挑战
h(x) = x3 + ax2 + bx+c
The function h is defined above, where a, b, and c are integer constants. If the zeros of the function are -5, 6, and 7, what is the value of c ?
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多项式・因式与余式挑战
Which of the following expressions is equivalent to \( 8x^{10}-8x^9+88x \) ?
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多项式・因式与余式挑战
If \( k−x \) is a factor of the expression \( -x^2+\frac{1}{29}nk^2 \), where n and k are constants and \( k>0 \) ,what is the value of n?
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多项式・因式与余式进阶
The graph of y = f(x) is shown, where the function f is defined by f(x) = ax3+ bx2+ cx + d and a, b, c, and d are constants. For how many values of x does f(x)=0?
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is equivalent to (7x3+7x)-(6x3-3x )?
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