这部分需要会什么？
- 根据直线关系区分唯一解、无解与无穷多解
- 通过消元求使解的个数变化的参数
- 检查系数为零等退化情形
核心概念与公式
对于 \(a_1x+b_1y=c_1\) 和 \(a_2x+b_2y=c_2\)，若 \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\)，就有唯一解。若该值为零，应继续消元：得到假等式则无解；得到恒等式且剩余约束相容，则有无穷多解。
两个方程确实都表示直线时：相交对应唯一解，平行且不重合对应无解，重合对应无穷多解。判断重合时，变量系数和常数必须按同一个倍数变化。
做题时怎样使用
- 先检查方程是否能表示直线，留意两个变量系数同时为零的情况
- 用倍乘消元比较常数，避免对可能为零的系数直接作比
- 求出参数后代回原方程，确认得到的是平行、重合还是相交
容易混淆的地方
系数成比例只能说明没有唯一交点；常数是否同倍变化决定无解还是无穷多解。\(0x+0y=0\) 不代表一条直线。
用一个例题串起方法
知识点教学例题方程组 \(2x+3y=7\)，\(4x+ky=15\) 在什么 \(k\) 值下无解？
展开解题思路 ＋
把第一式乘 2 得 \(4x+6y=14\)。当 \(k=6\) 时，同一左边同时等于 14 和 15，矛盾，所以无解；当 \(k\ne6\) 时，可消元解出唯一的 \(y\) 和 \(x\)。答案为 6。
本知识点题库
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方程组与方程解的个数进阶
At how many points do the graphs of the equations y = x + 20 and y = 8x intersect in the xy-plane?
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方程组与方程解的个数挑战
How many solutions does the equation 10(15x -9)=-15(6-10x) have?
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方程组与方程解的个数挑战
66x = 66x
How many solutions does the given equation have?
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方程组与方程解的个数进阶
y = 2x + 10
y = 2x - 1
At how many points do the graphs of the given equations intersect in the xy-plane?
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方程组与方程解的个数挑战
4x - 9y= 9y + 5
hy = 2 + 4x
In the given system of equations, h is a constant. If the system has no solution, what is the value of h?
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方程组与方程解的个数进阶
Which of the following systems of linear equations has no solution?
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方程组与方程解的个数挑战
In the given equation, k and n are constants and n > 1. The equation has no solution. What is the value of k?
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方程组与方程解的个数挑战
How many solutions does the equation 12(x-3)=-3(x+ 12) have?
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方程组与方程解的个数挑战
6+ 7r =pw
7r-5w=5w+11
In the given system of equations, p is a constant, If the system has no solution, what is the value of p?
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方程组与方程解的个数挑战
\( y=18 \)
\( y=-3\left(x-18\right)^2+15 \)
If the given equations are graphed in the xy-plane, at how many points do the graphs of the equations intersect?
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方程组与方程解的个数挑战
-49x=-98x
How many solutions does the given equation have?
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方程组与方程解的个数基础
\( y=6x+3 \)
One of the two equations in a system of linear equations is given. The system has infinitely many solutions. Which equation could be the second equation in this system?
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