链式法则、隐函数与反函数求导

3.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 3? / 第三单元学什么？

第二章的法则能处理函数的和、差、积、商，但不能直接处理 \(\sin(x^2)\)、\(e^{3x}\)、\(\sqrt{x^2+1}\) 这类复合函数。本章学习三种新的求导方法：

1. The Chain Rule—differentiating composite functions.  链式法则：复合函数怎么求导？（本章的核心内容）
2. Implicit differentiation—when \(y\) is not given explicitly.  隐函数求导：方程解不出 \(y\) 时怎么办？
3. Derivatives of inverse functions, including inverse trig.  反函数与反三角函数的导数。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Decompose a composite function into inside and outside parts.
   把复合函数拆成内层与外层。
2. Apply the Chain Rule, including with the Power Rule and multiple layers.
   使用链式法则，包括幂形式与多层嵌套。
3. Differentiate \(a^x\) and \(\log_a x\).
   求一般指数函数与对数函数的导数。
4. Use implicit differentiation and find tangent lines to implicit curves.
   隐函数求导，并求隐函数曲线的切线。
5. Find second derivatives implicitly.
   隐函数求二阶导数。
6. Differentiate inverse functions using the inverse relationship.
   用反函数关系求反函数的导数。
7. Differentiate inverse trigonometric functions.
   求反三角函数的导数。

3.2引入：变化率会传导Why We Need a New Rule

Scene: Inflating a Balloon / 场景：吹气球

你在吹一个球形气球：半径以每秒 \(2\) cm 的速度变大。问：此刻体积的变化率是多少？

体积不直接依赖时间——它依赖半径，而半径依赖时间：

\(V=\frac43\pi r^3\)，故 \(\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2\)。在 \(r=10\) cm 这一刻：

半径增加一个很小的量 \(\Delta r\) 时，体积约增加 \(4\pi r^2\,\Delta r\)；时间经过一个很小的量 \(\Delta t\) 时，半径约增加 \(2\,\Delta t\)——两个变化率相乘，就是体积对时间的变化率。这就是链式法则的基本思想：复合函数的导数 = 外层导数 \(\times\) 内层导数。

3.3链式法则The Chain Rule

What \(f\), \(g\), and \(f'(g(x))\) Mean / 公式中各符号的含义

公式中的 \(g\) 是 3.2 节说的内层（代入数值时先算的部分），\(f\) 是外层。对回气球：内层是半径关于时间的函数 \(r(t)\)，外层是体积关于半径的函数 \(V(r)=\frac43\pi r^3\)，体积关于时间的函数是复合函数 \(V\bigl(r(t)\bigr)\)。公式写成

就是图 1 中的 \(\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}\)（这里的自变量是 \(t\)）。莱布尼茨记号中，\(\dfrac{dy}{du}\) 就是 \(f'(u)\)，\(\dfrac{du}{dx}\) 就是 \(g'(x)\)。

\(f'\bigl(g(x)\bigr)\) 的含义是：先把 \(u\) 当作自变量求出 \(f'(u)\)，再把 \(u\) 换回 \(g(x)\)。它不是 \(f'(x)\)。例如 \(y=(3x+1)^2\)：外层 \(f(u)=u^2\)，内层 \(g(x)=3x+1\)，\(f'(u)=2u\)，所以 \(f'\bigl(g(x)\bigr)=2(3x+1)\)，再乘 \(g'(x)=3\)：

这个函数可以展开验证：\((3x+1)^2=9x^2+6x+1\)，导数是 \(18x+6\)，结果相同。如果误写成 \(f'(x)\cdot g'(x)=2x\cdot3=6x\)，就和展开的结果不符。

Example 1 / 例题 1

Example 2 / 例题 2

3.4幂形式的链式法则Chain Rule with the Power Rule

最常见的外层是幂：\(y = [u(x)]^n\)。链式法则给出广义幂法则：

Radicals and reciprocals: rewrite as powers first (as in 2.9), then apply.
根号和分母与 2.9 节一样先重写成幂，再用广义幂法则。

Example 3 / 例题 3

Example 4 / 例题 4

3.5指数与对数的链式法则Chain Rule with Exponentials and Logarithms

链式法则版本的四条常用公式（\(u=u(x)\)）：

这四条都是第二章 2.10 节的基本导数再乘内层导数 \(u'\)：外层分别是 \(e^u\)、\(\ln u\)、\(\sin u\)、\(\cos u\)，外层导数分别是 \(e^u\)、\(\dfrac1u\)、\(\cos u\)、\(-\sin u\)。例如

Example 5 / 例题 5

Example 6 / 例题 6（\(a^x\) 的导数）

3.6多层嵌套Multiple Layers

三层及以上同样处理：每一层求一次导数并相乘，不能漏掉任何一层。 这样做的理由是链式法则可以连续使用：先把里面的几层合起来看作一个内层，用一次链式法则；这个内层的导数又是复合函数的导数，再用一次链式法则。例题 7 把这个过程写了出来。

Example 7 / 例题 7

Example 8 / 例题 8

3.7隐函数求导Implicit Differentiation

圆 \(x^2+y^2=25\) 上也有切线，但方程解出 \(y\) 要开根号、分正负，比较繁琐。隐函数求导的思路：不解出 \(y\)，把 \(y\) 看作 \(x\) 的函数 \(y(x)\)，直接对方程两边求导。

Why \(y^2\) Picks Up \(\frac{dy}{dx}\) / 为什么 \(y^2\) 求导要乘 \(\frac{dy}{dx}\)

“把 \(y\) 看作 \(x\) 的函数”的意思是：在曲线的一段上，每个 \(x\) 只对应一个 \(y\)，这个对应关系记作 \(y(x)\)，只是没有写出它的公式。例如圆 \(x^2+y^2=25\) 的上半部分就是 \(y=\sqrt{25-x^2}\)。 因此 \(x^2\) 和 \(y^2\) 的求导方式不同：

\(x^2\) 中的 \(x\) 就是求导的变量，用幂法则直接得到 \(2x\)。\(y^2\) 是复合函数：外层 \(u^2\)，内层 \(u=y(x)\)。由链式法则，外层导数 \(2u=2y\)（内层不变）再乘内层导数 \(\frac{dy}{dx}\)。 （也可以说 \(x^2\) 的导数同样乘了内层导数，只是它的内层是 \(x\) 本身，\(\frac{dx}{dx}=1\)。）

用一个能写出公式的函数验证：取 \(y=x^3\)，则 \(y^2=x^6\)，直接求导得 \(\left(y^2\right)'=6x^5\)；按上面的式子，

两者相同。如果漏掉 \(\frac{dy}{dx}\)，只写 \(2y=2x^3\)，结果就不对。其他含 \(y\) 的项也一样，例如 \(\frac{d}{dx}[\sin y]=\cos y\cdot\frac{dy}{dx}\)（3.10 节会用到）。

Example 9 / 例题 9

Why the Answer Contains \(y\) / 为什么答案里有 \(y\)

先用显式求导验证例题 9 的结果。上半圆是 \(y=\sqrt{25-x^2}=(25-x^2)^{1/2}\)，用 3.4 节的广义幂法则：

与隐函数求导的结果相同。下半圆是 \(y=-\sqrt{25-x^2}\)，这时 \(\sqrt{25-x^2}=-y\)，同样求导得

可见 \(-\dfrac{x}{y}\) 这一个式子同时给出上、下两个半圆的斜率。

答案必须含 \(y\)，原因是圆上同一个 \(x\) 对应两个点。例如 \(x=3\) 时，\(9+y^2=25\)，\(y=\pm4\)，得到点 \((3,4)\) 和 \((3,-4)\)（图 3）。两点处的斜率分别是

一条切线向右下倾斜，另一条向右上倾斜。只给出 \(x=3\)，不知道是哪一个点，也就无法确定斜率，必须同时知道 \(y\)。 这也说明整个圆不是 \(x\) 的函数；分成上、下两个半圆后，每一个才是 \(x\) 的函数。

Example 10 / 例题 10

3.8隐函数的二阶导数Second Derivatives Implicitly

对 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式再求一次导（表达式中的 \(y\) 同样要用链式法则），最后把已知的 \(\frac{dy}{dx}\) 代回去。

Example 11 / 例题 11

3.9反函数的导数Derivatives of Inverse Functions

设 \(g=f^{-1}\) 是 \(f\) 的反函数。\(f(a)=b\) 与 \(g(b)=a\) 说的是同一件事，所以点 \((a,b)\) 在 \(f\) 的图像上，当且仅当点 \((b,a)\) 在 \(g\) 的图像上。交换横、纵坐标就是关于直线 \(y=x\) 作对称（第二章 2.10 节）。

\(f\) 与 \(f^{-1}\) 的图像关于 \(y=x\) 对称——对应的切线也对称，斜率互为倒数。需要注意的是：在哪一点取倒数。

What \(b\) and \(g(b)\) Stand For / 公式中的 \(b\) 与 \(g(b)\)

公式左边的 \(g'(b)\) 是 \(g\) 的图像在横坐标为 \(b\) 的点处的斜率，这个点是 \((b,a)\)，其中 \(a=g(b)\)。 右边的 \(g(b)=a\) 就是满足 \(f(a)=b\) 的那个数，也就是 \(f\) 的图像上对应点 \((a,b)\) 的横坐标。所以公式也可以写成

即：\(g\) 在点 \((b,a)\) 处的斜率，等于 \(f\) 在对称点 \((a,b)\) 处斜率的倒数（图 4）。\(f'\) 要在 \(a\) 处取值，不是在 \(b\) 处；求 \(a\) 就是解方程 \(f(a)=b\)。

Why the Formula Holds / 公式的来由

从图上看：设 \(f\) 在 \((a,b)\) 处的切线斜率为 \(m=f'(a)\)，即沿切线向右走 \(1\)，上升 \(m\)。关于 \(y=x\) 作对称时，水平变化和竖直变化互换，对称后的直线向右走 \(m\)、上升 \(1\)，斜率为 \(\dfrac1m\)。 这条直线正是 \(g\) 在 \((b,a)\) 处的切线，所以 \(g'(b)=\dfrac1m=\dfrac{1}{f'(a)}\)。

用链式法则：先用 \(g\)、再用 \(f\)，回到原来的数，即

设 \(g\) 可导（\(f'\bigl(g(x)\bigr)\ne0\) 时这一点成立，证明超出 AP 范围，这里不展开），两边对 \(x\) 求导。左边是复合函数，外层 \(f\)、内层 \(g(x)\)；右边 \(x\) 的导数是 \(1\)：

取 \(x=b\)，就是定理中的公式。

第二章 2.10 节求 \((\ln x)'\) 用的就是这个做法：\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=\ln x\)，\(f'\bigl(g(x)\bigr)=e^{\ln x}=x\)，所以 \((\ln x)'=\dfrac1x\)。

Why \(f'(g(b))\ne0\) Is Required / 为什么要求 \(f'(g(b))\ne0\)

若 \(f'(a)=0\)，\(f\) 在 \((a,b)\) 处的切线是水平的；对称过去，\(g\) 在 \((b,a)\) 处的切线是竖直的。竖直线没有斜率，所以 \(g'(b)\) 不存在。 从链式法则的式子也能看出：\(f'\bigl(g(b)\bigr)\cdot g'(b)=1\) 中，如果第一个因子是 \(0\)，左边无论 \(g'(b)\) 是什么数都等于 \(0\)，不可能等于 \(1\)。 例如 \(f(x)=x^3\) 在原点处 \(f'(0)=0\)，切线水平；它的反函数 \(g(x)=x^{1/3}\) 在原点处的切线是竖直的 \(y\) 轴，不可导（第二章 2.8 节图 7 中的“垂直切线”）。

Example 12 / 例题 12

3.10反三角函数的导数Derivatives of Inverse Trig Functions

What \(\arcsin x\) and \(\arctan x\) Mean / \(\arcsin\) 与 \(\arctan\) 的含义

\(\sin\) 不是一对一的：例如 \(\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12\)，只知道 \(\sin y=\frac12\) 不能确定 \(y\)，所以 \(\sin\) 在整个实数轴上没有反函数。 在区间 \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) 上，\(\sin y\) 从 \(-1\) 增大到 \(1\)，\([-1,1]\) 中的每个值恰好取到一次。把 \(y\) 限制在这个区间内，就得到反函数：

例如 \(\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\)，而不是 \(\frac{5\pi}{6}\)。 同样，\(\tan y\) 在 \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) 上从 \(-\infty\) 增大到 \(+\infty\)，每个实数恰好取到一次：

例如 \(\arctan 1=\frac{\pi}{4}\)。这个区间不含端点，因为 \(\tan\) 在 \(\pm\frac{\pi}{2}\) 处没有定义。 \(\arccos x\) 的取值范围是 \([0,\pi]\)（\(\cos\) 在这个区间上从 \(1\) 减小到 \(-1\)）。 AP 试题中 \(\arcsin x\) 也写作 \(\sin^{-1}x\)，\(\arctan x\) 也写作 \(\tan^{-1}x\)；这里的 \(-1\) 表示反函数，不表示倒数，\(\sin^{-1}x\ne\dfrac{1}{\sin x}\)。

下面用隐函数求导的方法推出 \(\arcsin x\) 和 \(\arctan x\) 的导数。

Example 13 / 例题 13（推导 \(\arcsin x\) 的导数）

Deriving \((\arctan x)'\) / 推导 \((\arctan x)'\)

做法与例题 13 相同。设 \(y=\arctan x\)，即 \(\tan y=x\)，\(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\)。两边对 \(x\) 求导，左边用链式法则（\(\tan y\) 对 \(y\) 的导数是 \(\sec^2y\)，第二章 2.13 节）：

再用第二章 2.13 节的恒等式 \(\sec^2y=1+\tan^2y\)，并代入 \(\tan y=x\)：

这里得到的是 \(\sec^2y\) 本身，不需要开平方，所以不用像例题 13 那样判断正负号。\(1+x^2\) 对任何 \(x\) 都不为 \(0\)，所以 \(\arctan x\) 在每一点都可导。

\(\arccos x\) 的导数带负号，是因为 \(\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\)（设 \(\theta=\arcsin x\)，则 \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta=x\)，且 \(\frac{\pi}{2}-\theta\) 在 \([0,\pi]\) 内，所以 \(\frac{\pi}{2}-\theta=\arccos x\)）。 两边求导，常数 \(\frac{\pi}{2}\) 的导数为 \(0\)，得 \((\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。同样，\(\text{arccot}\,x=\frac{\pi}{2}-\arctan x\)，所以 \(\text{arccot}\,x\) 的导数是 \(\arctan x\) 的导数加负号。

Example 14 / 例题 14

3.11对数求导法（选学）Logarithmic Differentiation

底数和指数都带 \(x\) 的函数（如 \(x^x\)），幂法则、指数法则都不适用——先取对数再隐函数求导。BC 偶有涉及，AB 视为拓展。

Example 15 / 例题 15

3.12AP 高频题型AP-Style Problems

Example 16: Chain Rule from a Table / 由表格求复合函数的导数

Example 17: Tangent to an Implicit Curve / 隐函数曲线的切线

Example 18: Inverse Trig with Chain / 反三角复合

3.13章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. \(\dfrac{d}{dx}\,f\bigl(g(x)\bigr) = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\)（设 \(g\) 在 \(x\) 处可导、\(f\) 在 \(g(x)\) 处可导）。
   TrueFalse
   核对答案

   True（外层导数在 \(g(x)\) 处取值，再乘内层导数）
2. \(\dfrac{d}{dx}\,e^{2x} = e^{2x}\)。
   TrueFalse
   核对答案

   False（缺因子 \(2\)）
3. 隐函数求导得到的 \(\dfrac{dy}{dx}\) 可以同时含有 \(x\) 与 \(y\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（如例题 9：\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)）
4. \(\left(f^{-1}\right)'(b) = \dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}\)（设分母非零）。
   TrueFalse
   核对答案

   True（反函数求导公式）
5. 当 \(-1<x<1\) 时，\(\dfrac{d}{dx}\,[\arcsin x + \arccos x] = 0\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（两导数互为相反数，和为常数 \(\frac{\pi}{2}\)）

Part B: Chain Rule / 链式法则

1. \(\dfrac{d}{dx}\,(5x-2)^4\)
   核对答案

   \(20(5x-2)^3\)
2. \(\dfrac{d}{dx}\,\sin(4x)\)
   核对答案

   \(4\cos(4x)\)
3. \(\dfrac{d}{dx}\,e^{x^3}\)
   核对答案

   \(3x^2e^{x^3}\)
4. \(\dfrac{d}{dx}\,\ln(2x+1)\)
   核对答案

   \(\dfrac{2}{2x+1}\)
5. \(\dfrac{d}{dx}\,\sqrt{9-x^2}\)
   核对答案

   \(-\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2}}\)
6. \(\dfrac{d}{dx}\,\cos^3 x\)
   核对答案

   \(-3\cos^2 x\sin x\)

Part C: Mixed Rules / 法则混合

1. \(\dfrac{d}{dx}\,\left[x^2 e^{3x}\right]\)
   核对答案

   \(e^{3x}\left(2x+3x^2\right)\)
2. \(\dfrac{d}{dx}\,\left[\sin(2x)\cos(3x)\right]\)
   核对答案

   \(2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)\)
3. \(\dfrac{d}{dx}\,(\ln x)^3\)
   核对答案

   \(\dfrac{3(\ln x)^2}{x}\)
4. \(\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{e^{2x}}{x+1}\)
   核对答案

   \(\dfrac{e^{2x}(2x+1)}{(x+1)^2}\)
5. \(\dfrac{d}{dx}\,\tan(x^2+1)\)
   核对答案

   \(2x\sec^2(x^2+1)\)

Part D: Implicit Differentiation / 隐函数求导

1. \(x^2+y^2=36\)：求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，并求点 \((0,\,6)\) 处的切线方程。
   核对答案

   \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\)；在 \((0,6)\) 斜率 \(0\)，切线 \(y=6\)
2. \(xy = 8\)：求点 \((2,\,4)\) 处的切线斜率。
   核对答案

   \(y + x\dfrac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow -\dfrac{y}{x}\Bigr|_{(2,4)} = -2\)
3. （挑战）\(x^3+y^3 = 6xy\)：求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，并求点 \((3,\,3)\) 处的斜率。
   核对答案

   \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y-x^2}{y^2-2x}\)；在 \((3,3)\)：\(\dfrac{6-9}{9-6} = -1\)
4. 求曲线 \(x^2+y^2-6x=0\) 上所有切线水平的点。
   核对答案

   \(\frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{y}\)；分子 \(3-x=0\) 且 \(y\ne0\)，代回原方程得 \(y=\pm3\)：\((3,\,3)\) 与 \((3,\,-3)\)

Part E: Inverse Functions / 反函数

1. \(f(x)=x^3+x\)，\(g=f^{-1}\)。求 \(g'(2)\)。
   核对答案

   \(f(1)=2\Rightarrow g(2)=1\)；\(f'(x)=3x^2+1\)，\(f'(1)=4\)；\(g'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac14\)
2. \(f\) 可逆，已知 \(f(2)=5\)、\(f'(2)=3\)、\(f(5)=11\)、\(f'(5)=7\)。求 \(\left(f^{-1}\right)'(5)\)。
   核对答案

   \(f^{-1}(5)=2\)，\(\left(f^{-1}\right)'(5) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac13\)
3. 求 \(y=\arctan x\) 在 \(x=1\) 处的切线斜率。
   核对答案

   \(\dfrac{1}{1+1} = \dfrac12\)

Part F: AP-Style / AP 风格综合

1. 已知下表，\(h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\)，求 \(h'(1)\)：

   \(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
   \(1\)	\(2\)	\(4\)	\(3\)	\(5\)
   \(3\)	\(-1\)	\(6\)	\(1\)	\(2\)

   核对答案

   \(h'(1) = f'\bigl(g(1)\bigr)\cdot g'(1) = f'(3)\cdot 5 = 6\times5 = 30\)
2. 球形气球半径以 \(2\) cm/s 增大。当 \(r=5\) cm 时，体积的变化率是多少？ （\(V=\frac43\pi r^3\)，即本章开头的气球问题）
   核对答案

   \(\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} = 4\pi(5)^2(2) = 200\pi\)：\(r=5\) cm 时，体积以 \(200\pi\) cm\(^3\)/s 的速率增大
3. 求 \(y=\arctan(2x)\) 在 \(x=0\) 处的切线方程。
   核对答案

   斜率 \(2\)，切点 \((0,0)\)：\(y=2x\)

3.14本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 链式法则：\(\bigl[f(g(x))\bigr]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)——从外到内逐层求导并相乘； 外层求导时内层保持不变，最后乘内层导数。
2. 广义幂法则 \(\left(u^n\right)' = nu^{n-1}u'\)；链式版公式： \(\left(e^u\right)'=e^u u'\)、\(\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}\)、 \(\left(\sin u\right)'=(\cos u)u'\)。
3. \(\left(a^x\right)' = a^x\ln a\)、\(\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x\ln a}\)（把底换成 \(e\) 推出）。
4. 隐函数求导三步：两边求导（含 \(y\) 的项乘 \(\frac{dy}{dx}\)）→ 收拢 → 解出； 二阶导数：再导一次、代回 \(\frac{dy}{dx}\)、用原方程化简。
5. 反函数导数：\(g'(b) = \dfrac{1}{f'\left(g(b)\right)}\)——先解 \(f(a)=b\) 得 \(a=g(b)\)，再取 \(\frac{1}{f'(a)}\)。
6. 反三角导数：\(\arcsin\) 带根号 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)、\(\arctan\) 不带根号 \(\frac{1}{1+x^2}\)、 \(\arccos\)、\(\text{arccot}\) 的导数加负号。
7. 对数求导法（选学）处理 \(x^x\) 型：取 \(\ln\)、隐函数求导、代回。