导数的应用 I：运动、相关变化率与近似

4.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 4? / 第四单元学什么？

第二、三章学习了求导的方法，本章学习导数在四个方面的应用：

1. Motion: not just velocity, but speed, and speeding up vs. slowing down.  运动分析：不只求速度，还要判断加速还是减速。
2. Related rates: when two changing quantities are linked by an equation.  相关变化率：两个随时间变化的量由一个方程联系起来。
3. Linearization: using the tangent line to approximate values.  线性近似：用切线代替曲线做估算。
4. L'Hospital's Rule: using derivatives to evaluate \(\frac{0}{0}\) limits.  洛必达法则：用导数求未定式极限。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Analyze straight-line motion: velocity, speed, acceleration, direction.
   完整分析直线运动：速度、速率、加速度与方向。
2. Determine when a particle is speeding up or slowing down.
   判断质点加速还是减速。
3. Interpret derivatives in context with correct units.
   在情境中带单位解释导数。
4. Set up and solve related-rates problems.
   建立并求解相关变化率问题。
5. Use linearization and differentials to approximate.
   用线性近似与微分做估算。
6. Apply L'Hospital's Rule to indeterminate limits.
   对未定式极限使用洛必达法则。

4.2运动进阶：速率与加减速Motion Revisited: Speed

第二章建立了 \(s\to v\to a\) 的关系，本节补充速率（speed）的概念。“越来越快”指速率变大，而不是速度变大；速度为负时，两者的变化方向相反。

Example 1 / 例题 1（完整运动分析）

Example 2 / 例题 2（快速判断）

4.3情境中的变化率Rates in Context

The derivative measures rates far beyond motion—water volume, population, temperature, cost. AP asks for two things: the units and the sentence. Template: “At (time) \(a\), the (quantity) is increasing/decreasing at a rate of \(|f'(a)|\) (units).”
导数作为变化率，应用不限于运动。AP 考两件事：单位和句子 （沿用 2.6 节的三要素句式：时刻、速率带单位、方向）。

Example 3 / 例题 3

The Second Derivative in Context / 二阶导数在情境中的含义

例题 3 中“\(R'\) 在 \(t=3\) 附近减小”，用二阶导数写就是 \(R''(3)<0\)。\(R''(t)\) 是 \(R'(t)\) 的导数，含义是进水速率本身的变化率。它的单位是 \(R'\) 的单位再除以时间的单位：

例如，若 \(R''(3)=-4\)，含义是：凌晨 3 点时，进水速率正以每小时 \(4\) 升/小时的速率减小。

\(f'\) 和 \(f''\) 回答的是两个不同的问题：\(f'\) 的正负说明量 \(f\) 在增加还是减少；\(f''\) 的正负说明变化率 \(f'\) 本身在增大还是减小。两者合起来，就能说出量的增减是在变快还是变慢：

规律是：\(f'\) 与 \(f''\) 同号时，\(|f'|\) 增大，增减在变快；异号时，\(|f'|\) 减小，增减在变慢。这与 4.2 节用 \(v\)、\(a\) 同号或异号判断加速、减速是同一个规律（\(v=s'\)，\(a=s''\)，速率 \(|v|\) 就是 \(|s'|\)）。

4.4相关变化率：方法Related Rates: The Method

第三章的吹气球问题已经说明：变化率会沿着复合关系传递。相关变化率问题是这类问题的一般形式——两个量由一个方程联系，都随时间变化；已知其中一个的变化率，求另一个。

Why Step 3 Uses the Chain Rule / 第三步为什么要用链式法则

相关变化率问题中的量（半径 \(r\)、体积 \(V\)、距离 \(x\)、\(y\) 等）都随时间变化，每一个都是时间 \(t\) 的函数，例如 \(r=r(t)\)。题目给出的和要求的变化率，就是这些函数对 \(t\) 的导数 \(\dfrac{dr}{dt}\)、\(\dfrac{dV}{dt}\) 等。 因此 \(r^2\) 是复合函数：外层 \(u^2\)，内层 \(u=r(t)\)。由链式法则，

这与第三章 3.7 节隐函数求导的 \(\dfrac{d}{dx}\bigl[y^2\bigr]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}\) 是同一个式子：那里 \(y\) 是 \(x\) 的函数，对 \(x\) 求导；这里 \(r\) 是 \(t\) 的函数，对 \(t\) 求导。 方程中每个随时间变化的量，求导后都带上自己的变化率，于是已知的变化率和要求的变化率出现在同一个方程里，可以解出要求的那一个。不随时间变化的量（如梯子的长度）是常数，导数为 \(0\)。

Signs of the Rates / 变化率的正负号

\(\dfrac{dx}{dt}\) 是 \(x\) 每单位时间的变化量：\(x\) 增加时它是正数，\(x\) 减少时它是负数。题目通常只说变化有多快（一个正数），要根据这个量在增加还是减少写上正负号。例如：

• “水以 \(2\) m\(^3\)/min 的速率从水箱流出”：水的体积 \(V\) 在减少，写成 \(\dfrac{dV}{dt}=-2\)；
• “梯脚以 \(1\) ft/s 的速率滑离墙”：梯脚到墙的距离 \(x\) 在增加，写成 \(\dfrac{dx}{dt}=1\)。

反过来，解出的变化率是负数，说明这个量在减少（例题 5 中的 \(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac34\)）。

Example 4 / 例题 4（气球问题）

Example 5 / 例题 5（梯子问题）

Why Substitute Only After Differentiating / 为什么先求导、后代入

梯子滑动时，\(x\)、\(y\) 都随时间变化：\(x=x(t)\)，\(y=y(t)\)。梯子长度不变，所以方程

在每一个时刻都成立，可以两边对 \(t\) 求导，得到例题 5 中的求导式。而 \(x=6\) 只在某一个时刻成立。

如果先代入 \(x=6\)，方程变成 \(36+y^2=100\)，解出 \(y=8\)：\(y\) 成了常数，对 \(t\) 求导只能得到

即梯顶不动。这个结果显然不对：梯脚在滑离墙，梯顶一定在下滑。 错误在于 \(36+y^2=100\) 只在 \(x=6\) 的那一个时刻成立，前后的时刻 \(x\ne6\)，它就不成立了，所以不能对它求导。 这和第二章求导数时的情形相同：\(f(x)=x^2\) 在 \(x=3\) 处 \(f(3)=9\)，对常数 \(9\) 求导得 \(0\)，但 \(f'(3)=6\)。导数描述的是附近的变化，要先对一般的 \(x\) 求出导数，再代入具体的值。

4.5相关变化率：经典模型Related Rates: Classic Setups

AP 的相关变化率题主要用到三类关系：勾股定理（梯子、两车远离）、相似三角形（圆锥水箱、影子）、几何量公式（面积体积）。

Similar Triangles in a Cone / 圆锥水箱中的相似三角形

倒立的圆锥水箱（尖端朝下）里的水，也是一个倒立的圆锥。设水箱高 \(H\)、顶部半径 \(R\)，这两个数由水箱决定，不变；某一时刻水深 \(h\)、水面半径 \(r\)，这两个量随注水而变。 沿中轴把水箱竖直切开，得到图 1 的截面。

图中有两个直角三角形，直角都在中轴上：小三角形由尖端、水面中心、水面边缘组成，竖直边 \(h\)、水平边 \(r\)；大三角形由尖端、顶面中心、顶面边缘组成，竖直边 \(H\)、水平边 \(R\)。 两个三角形在尖端处的角是同一个角，又都有一个直角，所以相似，对应边成比例：

\(\dfrac RH\) 是常数，所以不论水深多少，水面半径与水深之比都不变。例如水箱高 \(10\) m、顶部半径 \(4\) m，则 \(r=\dfrac{4}{10}h=\dfrac25h\)。如果题目给的是顶部直径，要先除以 \(2\) 得到 \(R\)。

用这个关系把 \(r\) 换成 \(h\)，水的体积就只含一个变量：

如果不消去 \(r\)，\(V=\frac13\pi r^2h\) 中 \(r\) 和 \(h\) 都在变，求导后会同时出现 \(\dfrac{dr}{dt}\) 和 \(\dfrac{dh}{dt}\) 两个未知的变化率，仍然要用 \(r\) 与 \(h\) 的关系才能解出 \(\dfrac{dh}{dt}\)，所以先消去 \(r\) 更简便。

Example 6 / 例题 6（圆锥水箱）

Example 7 / 例题 7（两车远离）

例 4.5.2

Two cars leave the same intersection at the same time, one going north at \(60\) km/h and one going east at \(80\) km/h. How fast is the distance between them increasing one hour later?

解 Solution

设北向距离 \(y\)、东向 \(x\)、两车距离 \(z\)：\(z^2 = x^2 + y^2\)。

例题 5 中梯子长 \(10\) ft 不变，三角形只有两条直角边在变；这里两车都在离开路口，两条直角边 \(x\)、\(y\) 和斜边 \(z\) 都随时间变化（图 2），所以 \(z^2\) 求导时也要乘 \(\dfrac{dz}{dt}\)。

对 \(t\) 求导：

\[ 2z\,\frac{dz}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{x\,\frac{dx}{dt} + y\,\frac{dy}{dt}}{z} . \]

一小时后 \(x=80\)，\(y=60\)，\(z = \sqrt{80^2+60^2} = 100\)：

\[ \frac{dz}{dt} = \frac{80(80) + 60(60)}{100} = \frac{6400+3600}{100} = 100\ \text{km/h} . \]

答：\(100\) km/h。

Shadow Problems / 影子问题

影子问题也用相似三角形。下面完整做一道，并分清两个不同的变化率：影长的变化率和影子顶端的速度。

路灯高 \(4.5\) m，身高 \(1.5\) m 的人以 \(1\) m/s 的速度沿直线走离路灯。人离灯柱 \(6\) m 时：(1) 影长增加多快？(2) 影子顶端移动多快？

第一步（画图、设变量）：设人到灯柱底部的距离为 \(x\)，影长（人脚到影子顶端的距离）为 \(s\)，则影子顶端到灯柱底部的距离是 \(x+s\)（图 3）。人在走远，\(x\) 增大，所以 \(\dfrac{dx}{dt}=1\)。

第二步（用相似三角形列方程）：图 3 中有两个直角三角形，直角都在地面上：小三角形由人和影子组成，竖直边 \(1.5\)、水平边 \(s\)；大三角形由灯柱和地面组成，竖直边 \(4.5\)、水平边 \(x+s\)。 两者在影子顶端处的角是同一个角，所以相似：

两边乘 \(4.5\)，得 \(3s=x+s\)，即

第三步（对 \(t\) 求导，求影长的变化率）：

结果中没有 \(x\)：不论人离灯柱多远，影长都以 \(0.5\) m/s 增加，题中的“离灯柱 \(6\) m”不影响答案。

第四步（求影子顶端的速度）：影子顶端的位置用它到灯柱底部（一个固定点）的距离 \(x+s\) 表示，所以它的速度是

这里不能只算 \(\dfrac{ds}{dt}\)。\(s\) 是影子顶端到人的距离，而人本身也在以 \(1\) m/s 前进；\(\dfrac{ds}{dt}\) 只是影子顶端比人多走的那一部分。求一个点移动的速度，要用它到固定点的距离对 \(t\) 求导。

答：(1) 影长以 \(0.5\) m/s 的速率增加；(2) 影子顶端以 \(1.5\) m/s 的速度离开路灯。读题时要看清问的是影长还是影子顶端。

4.6线性近似Linearization

在切点附近，切线和曲线几乎重合，所以可以用切线（一次函数，容易计算）来近似曲线（难以计算）。这种近似方法叫做线性近似（linearization）：

Overestimate or Underestimate? / 估计值偏大还是偏小

图 4 中，切线 \(L\) 在曲线 \(y=\sqrt x\) 的上方，所以用 \(L\) 算出的值比真值大，例如 \(L(9.6)=3.1\)，而 \(\sqrt{9.6}=3.0983\ldots\)。切线在曲线上方还是下方，由曲线弯曲的方向决定：

• 曲线开口向下（下凹，如 \(\sqrt x\)、\(\ln x\)）时，切线在曲线上方，\(L(x)\ge f(x)\)，估计值偏大；
• 曲线开口向上（上凹，如 \(x^2\)、\(e^x\)）时，切线在曲线下方，\(L(x)\le f(x)\)，估计值偏小。例如 \(e^x\) 在 \(a=0\) 处的线性近似是 \(L(x)=1+x\)，\(L(0.1)=1.1\)，而 \(e^{0.1}=1.1051\ldots\)，估计值偏小。

第五章 5.6 节会学到：\(f''<0\) 时曲线下凹，\(f''>0\) 时曲线上凹。所以知道 \(f''\) 在切点附近的正负，就能判断线性近似偏大还是偏小。AP 题常在估算之后问估计值偏大还是偏小，回答时要写出理由（曲线的凹凸或 \(f''\) 的正负）。

Example 8 / 例题 8

Example 9 / 例题 9

4.7微分Differentials

把 \(\dfrac{dy}{dx} = f'(x)\) 写成微分形式：

\(dx\), \(dy\), and \(\Delta y\) / \(dx\)、\(dy\) 与 \(\Delta y\)

在曲线 \(y=f(x)\) 上取点 \(P\bigl(a,f(a)\bigr)\)，让 \(x\) 从 \(a\) 变到 \(a+dx\)（图 5）：

• \(dx\) 是 \(x\) 的变化量，由我们自己选定，它就是 \(\Delta x\)，即 \(dx=\Delta x\)；
• \(\Delta y=f(a+dx)-f(a)\) 是沿曲线的实际升高；
• \(dy=f'(a)\,dx\) 是沿切线的升高：切线的斜率是 \(f'(a)\)，向右走 \(dx\)，升高 \(f'(a)\,dx\)。

定义框中的 \(L(a+dx)-f(a)=dy\) 也由此得出：4.6 节的线性近似 \(L\) 就是这条切线，\(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)，所以

即 \(dy\) 是 \(L\) 从 \(a\) 到 \(a+dx\) 的增量，\(\Delta y\) 是 \(f\) 的增量。在 \(a\) 附近 \(L\approx f\)，所以 \(dy\approx\Delta y\)，\(dy\) 就是 \(\Delta y\) 的切线近似。

以例题 8 为例：\(f(x)=\sqrt x\)，\(a=9\)，\(dx=0.2\)，

\(dy\) 就是例题 8 中的 \(L(9.2)-3\)；\(dy\) 与 \(\Delta y\) 相差约 \(0.0002\)，也就是例题 8 的估计值与真值之差。\(dy\) 只需要一次乘法就能算出，而 \(\Delta y\) 往往不容易直接计算，这正是用 \(dy\) 近似 \(\Delta y\) 的原因。

Example 10 / 例题 10（误差传播）

4.8洛必达法则L'Hospital's Rule

第一章用代数方法（约分、有理化）处理 \(\frac00\) 型。但 \(\dfrac{e^x-1}{x}\) 这种无法约分的 \(\frac00\) 型怎么办？学了导数之后，可以用导数来求这类极限：

Why the Rule Works / 法则的来由

下面用 4.6 节的线性近似说明 \(\frac00\) 型最简单的情形：\(f(a)=g(a)=0\)，\(f\)、\(g\) 在 \(a\) 处可导，且 \(g'(a)\ne0\)。 \(f\) 在 \(a\) 处的线性近似是 \(f(a)+f'(a)(x-a)=f'(a)(x-a)\)，\(g\) 也一样，所以在 \(a\) 附近

两式相除，\(x-a\) 约去：

从图上看（图 6）：两条曲线都经过 \((a,0)\)，把 \(a\) 附近放大，它们几乎是两条过 \((a,0)\) 的直线，斜率分别是 \(f'(a)\) 和 \(g'(a)\)。在同一个 \(x\) 处，两条直线的高度都与 \(x-a\) 成正比，所以高度之比 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 接近斜率之比 \(\dfrac{f'(a)}{g'(a)}\)。

用导数的定义（第二章）可以把“约等于”写成准确的极限。因为 \(f(a)=g(a)=0\)，

当 \(f'\)、\(g'\) 在 \(a\) 处连续时，\(\dfrac{f'(a)}{g'(a)}\) 就等于定理中右边的极限 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。 法则比较的是分子、分母各自在 \(a\) 附近变化的快慢，所以对分子、分母分别求导，而不是对整个分式用商法则。

以上是 \(\frac00\) 型且 \(g'(a)\ne0\) 时的理由。其他情形（\(g'(a)=0\) 时要连续使用，如例题 13；\(\frac{\infty}{\infty}\) 型；\(x\to\pm\infty\)）的证明超出 AP 范围，这里不展开。

Example 11 / 例题 11

Example 12 / 例题 12（\(\frac{\infty}{\infty}\) 型）

Example 13 / 例题 13（可以连用）

4.9AP 高频题型AP-Style Problems

Example 14: Related Rates in Context / 情境相关变化率

Example 15: When Is It Speeding Up? / 何时加速（MCQ 高频）

Example 16 / 例题 16（洛必达）

4.10章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. 质点加速当且仅当 \(v(t)\cdot a(t) > 0\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(v\)、\(a\) 同号时速率增大）
2. 相关变化率问题中，所有随时间变化的量都必须在求导之后才能代入数值。
   TrueFalse
   核对答案

   True（先代入会把变量当成常数，变化率变成 \(0\)）
3. 线性近似 \(L(x)\) 就是 \(f\) 在 \(x=a\) 处的切线。
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) 正是切线方程）
4. 洛必达法则适用于任何商的极限。
   TrueFalse
   核对答案

   False（只能用于 \(\frac00\)、\(\frac{\infty}{\infty}\) 型）
5. speed \(=|v(t)|\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（速率是速度的绝对值）

Part B: Motion / 运动分析

1. \(s(t)=t^3-3t^2\)（\(t\ge 0\)）。求质点静止的时刻、向左运动的区间，以及加速的区间。
   核对答案

   \(v=3t(t-2)\)：静止 \(t=0,2\)；向左 \((0,2)\)；\(a=6t-6\)：加速 \((0,1)\cup(2,\infty)\) （\((0,1)\)：\(v<0,a<0\)；\((2,\infty)\)：\(v>0,a>0\)）
2. \(v(t)=t^2-9\)（\(t\ge0\)）。质点何时向右运动？求 \(a(2)\)。
   核对答案

   \(t>3\) 向右；\(a(2)=4\)
3. \(v(1)=-6\)，\(a(1)=2\)。求此刻速率，并判断加速还是减速。
   核对答案

   速率 \(6\)；异号，减速
4. \(s(t)=\cos t\)。求 \(t=\dfrac{\pi}{2}\) 时的速度、速率与运动方向。
   核对答案

   \(v=-\sin t\)，\(v\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1\)：速率 \(1\)，向左

Part C: Related Rates / 相关变化率

1. 圆半径以 \(2\) cm/s 增大。\(r=6\) 时面积增长多快？
   核对答案

   \(2\pi(6)(2) = 24\pi\) cm\(^2\)/s
2. 球体积以 \(32\pi\) cm\(^3\)/s 增大。\(r=2\) 时半径增长多快？
   核对答案

   \(32\pi = 4\pi(4)\,r' \Rightarrow r' = 2\) cm/s
3. 13 ft 梯子靠墙，梯脚以 \(3\) ft/s 滑离。梯脚离墙 \(12\) ft 时梯顶下滑多快？
   核对答案

   \(x=12\) 时 \(y=5\)：\(12(3)+5y'=0 \Rightarrow y' = -7.2\) ft/s，梯顶以 \(7.2\) ft/s 的速率下滑
4. 倒圆锥水箱 \(r=\dfrac h2\)，注水 \(5\) m\(^3\)/min。水深 \(2\) m 时水位上升多快？
   核对答案

   \(V=\dfrac{\pi}{12}h^3\)：\(5 = \dfrac{\pi}{4}(4)\,h' \Rightarrow h' = \dfrac{5}{\pi}\) m/min
5. 两船同时同点出发，一船向北 \(12\) km/h，一船向西 \(5\) km/h。1 小时后两船距离增大多快？
   核对答案

   \(z=13\)：\(z' = \dfrac{12(12)+5(5)}{13} = \dfrac{169}{13} = 13\) km/h

Part D: Linearization and Differentials / 线性近似与微分

1. 写出 \(f(x)=\sqrt x\) 在 \(a=25\) 处的线性近似，并估计 \(\sqrt{25.6}\)。
   核对答案

   \(L(x) = 5+\dfrac{x-25}{10}\)；\(\sqrt{25.6}\approx 5.06\)
2. 用线性近似估计 \((0.98)^4\)。
   核对答案

   \(1+4(-0.02) = 0.92\)
3. \(y=\sin x\)。在 \(x=0\)、\(dx=0.2\) 时求 \(dy\)。
   核对答案

   \(dy = \cos(0)\cdot 0.2 = 0.2\)
4. 圆半径测得 \(8\) cm，误差 \(\pm 0.05\) cm。估计面积误差。
   核对答案

   \(dA = 2\pi(8)(\pm 0.05) = \pm 0.8\pi \approx \pm 2.5\) cm\(^2\)

Part E: L'Hospital's Rule / 洛必达法则

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x}\)
   核对答案

   代入得 \(\frac00\)；\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}}{1}=3\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\)
   核对答案

   代入得 \(\frac00\)；\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{1/x}{1} = 1\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}\)
   核对答案

   \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，洛必达两次：\(\frac{2x}{e^x}\to\frac{2}{e^x}\to 0\)，极限为 \(0\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^2+4}\)（小心！）
   核对答案

   代入得 \(\dfrac{0}{8} = 0\)：分母不为 \(0\)，不是未定式，不能用洛必达（误用会得到 \(\frac14\)）；极限为 \(0\)

4.11本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. speed \(=|v|\)；加速 \(\iff v,a\) 同号，减速 \(\iff\) 异号——用双符号轴判断。
2. 情境解释三要素：时刻、速率带单位、方向；“量在增、率在减”两层要分清。
3. 相关变化率五步：图 → 方程 → 对 \(t\) 求导 → 代值 → 单位； 先求导，再代入数值。三类关系：勾股、相似三角形、几何公式（圆锥先用 \(r\)-\(h\) 关系消元）。
4. 线性近似 \(L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)\)：用切线近似曲线，切点要选得近且便于计算。
5. 微分 \(dy = f'(x)\,dx\)：用于估计误差传播。
6. 洛必达：只用于 \(\frac00\)、\(\frac{\infty}{\infty}\) 型；先代入检查、可连续使用、分子分母分别求导。