导数的应用 II：MVT、极值与曲线分析

5.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 5? / 第五单元学什么？

第四章的雨水例子中有一句“量在增、率在减”。这一章把这类说法全部变成可计算、可证明的结论——只靠 \(f'\) 和 \(f''\) 的符号，就能读出 \(f\) 的全部形状：哪里递增递减、哪里取极值、哪里改变凹凸。三条主线：

1. Two big theorems: EVT and MVT.  两大定理：极值定理与中值定理——AP 证明题的基础。
2. Curve analysis: increasing/decreasing, extrema, concavity, inflection.  曲线分析：单调、极值、凹凸、拐点，以及 \(f\)、\(f'\)、\(f''\) 三者图像之间的关系。
3. Optimization: maximizing or minimizing a quantity.  优化：用极值理论解“最大最小”的实际问题。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. State and apply the Extreme Value Theorem and the Mean Value Theorem.
   陈述并使用极值定理（EVT）与中值定理（MVT）。
2. Find critical points and intervals of increase/decrease.
   求临界点与单调区间。
3. Apply the First and Second Derivative Tests.
   使用一阶与二阶导数判别法。
4. Find absolute extrema on a closed interval (Candidates Test).
   用候选点法求闭区间上的最值。
5. Determine concavity and find points of inflection.
   判断凹凸性并求拐点。
6. Read the behavior of \(f\) from the graph of \(f'\).
   从 \(f'\) 的图像读出 \(f\) 的行为（AP 常考题型）。
7. Solve optimization problems and justify answers.
   求解优化问题并规范书写理由。

5.2极值定理与中值定理EVT and MVT

Local and Absolute Extrema / 极值与最值

本章反复用到“极值”和“最值”两个词，先把它们分清。第二章图 4 中，\(y=x^3-3x\) 在 \((-1,2)\) 处是附近最高的点，在 \((1,-2)\) 处是附近最低的点，说的就是极值。

图 1 说明了两点：极值不一定是最值（\(f(c_1)\)）；最值可以出现在端点（\(f(b)\)），也可以同时是极值（\(f(c_2)\)）。

Why Both Conditions Are Needed / 两个前提为什么缺一不可

图 2 画的是定理框中的两个反例。

• 左：\(y=x\) 在开区间 \((0,1)\) 上。\(x\) 越接近 \(1\)，\(y\) 越接近 \(1\)，但 \(x=1\) 不在区间内，\(y\) 取不到 \(1\)。无论取哪个 \(x\)，总有更接近 \(1\) 的 \(x\) 使 \(y\) 更大，所以没有最大值；同理，也没有最小值。换成闭区间 \([0,1]\)，两个端点包括进来，最大值 \(1\) 和最小值 \(0\) 就都取到了。
• 右：\(y=\frac1x\) 在 \([-1,1]\) 上。区间是闭的，但函数在 \(x=0\) 处没有定义，不连续。\(x\) 从右边趋于 \(0\) 时，\(\frac1x\to+\infty\)（第一章的无穷极限），函数值没有上限，所以没有最大值。

只要区间是闭的、函数连续，这两种情形都不会发生：图像是一段不断开的曲线，两个端点都在图像上，曲线上一定有最高点和最低点。这个结论看起来显然，严格的证明要用到实数的性质，超出 AP 范围，AP 考试直接使用。

Why the MVT Holds / 中值定理为什么成立

看图 3：把灰色的割线保持斜率不变，向下平移，它与曲线的两个交点越靠越近，最后只剩一个公共点。这时直线与曲线只接触、不穿过，就是该点处的切线；它与割线平行，斜率等于割线的斜率，这一点的横坐标就是 \(c\)。若曲线在割线上方，就把割线向上平移，道理相同。定理要求 \(f\) 连续、可导，是为了保证曲线不断开，并且最后接触的那一点处有切线。

满足条件的 \(c\) 可能不止一个。例如 \(f(x)=\sin x\) 在 \([0,2\pi]\) 上，两端函数值都是 \(0\)，割线斜率为 \(0\)，而 \(f'(c)=\cos c=0\) 在 \((0,2\pi)\) 内有 \(c=\frac{\pi}{2}\) 和 \(c=\frac{3\pi}{2}\) 两个解，即曲线的最高点和最低点。 定理只保证这样的 \(c\) 存在，不告诉我们 \(c\) 在哪里：例题 1 要解方程 \(f'(c)=4\) 才能求出 \(c\)；例题 2 只能断定某一时刻车速是 110 km/h，不知道是哪一时刻。

Example 1 / 例题 1

Example 2 / 例题 2（AP 推理版）

5.3临界点与单调性Critical Points and Monotonicity

\(f'\) 的符号决定 \(f\) 的单调性：

Why the Sign of \(f'\) Decides / 为什么 \(f'\) 的正负决定增减

\(f'(x)\) 是曲线在 \(x\) 处切线的斜率。若在一段区间上 \(f'>0\)，曲线上每一点的切线都向右上方倾斜，曲线一路上坡，\(f\) 递增。 这个直观说法可以用 5.2 节的中值定理证明。在区间内任取两点 \(x_1<x_2\)。\(f\) 在区间上可导，所以在 \([x_1,x_2]\) 上满足 MVT 的前提，存在 \(c\in(x_1,x_2)\) 使

右边 \(f'(c)>0\)，\(x_2-x_1>0\)，所以 \(f(x_2)>f(x_1)\)：\(x\) 越大，\(f(x)\) 越大，这就是递增。\(f'<0\) 时同理得 \(f(x_2)<f(x_1)\)，\(f\) 递减。

Why We Look for Critical Points / 为什么要找临界点

\(f'\) 要从正变负（或从负变正），切线的斜率就要由正变负，中间只有两种可能：经过斜率为 \(0\) 的点，即水平切线（图 4 左）；或者在某一点处导数不存在，如尖角、尖点（图 4 右）。所以 \(f'\) 只能在 \(f'=0\) 或 \(f'\) 不存在的点处变号，这正是临界点的定义。\(f\) 无定义的点处图像断开，\(f'\) 也可能在那里变号，所以定义框中要求把这些点也标在数轴上。

图 4 右是一个 \(f'\) 不存在的例子：\(f(x)=x^{2/3}\)，\(f'(x)=\frac23x^{-1/3}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)。\(f'\) 永远不等于 \(0\)，但在 \(x=0\) 处不存在，而 \(x=0\) 在 \(f\) 的定义域内，所以 \(x=0\) 是临界点。\(x<0\) 时 \(\sqrt[3]{x}<0\)，\(f'<0\)；\(x>0\) 时 \(f'>0\)。所以 \(f\) 在 \((-\infty,0)\) 上递减，在 \((0,\infty)\) 上递增。若只解方程 \(f'=0\)，就会漏掉这个临界点。第二章 2.8 节图 7 中的尖点就是这个函数。

Example 3 / 例题 3

例 5.3.1

Find the intervals of increase and decrease of

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 . \]

解 Solution

\[ f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\ 2 . \]

数轴分三段，各取一点验号：

互动图加载中…

把 \(y=x^3-3x^2\) 的图像对齐画在符号数轴下方（图 5）：\(f'>0\) 的两段曲线上坡，\(f'<0\) 的一段下坡。

答：递增于 \((-\infty,0)\) 与 \((2,\infty)\)；递减于 \((0,2)\)。 AP 书写规范：结论必须给理由——“\(f\) is increasing on \((-\infty,0)\) because \(f'>0\) there”。

5.4一阶导数判别法The First Derivative Test

\(f\) 由增变减处是局部极大值点，由减变增处是局部极小值点；用 \(f'\) 的符号表述如下：

判别法的道理来自 5.3 节：\(f'>0\) 的一侧 \(f\) 递增，\(f'<0\) 的一侧 \(f\) 递减。\(f'\) 在 \(c\) 处由 \(+\) 变 \(-\)，说明曲线在 \(c\) 左边上坡、右边下坡，\(f(c)\) 比附近的值都大（图 6 左）；由 \(-\) 变 \(+\)，则 \(f(c)\) 比附近的值都小（图 6 中）。 若 \(f'\) 在 \(c\) 两侧同号，例如都为负，曲线在 \(c\) 左右都在下坡，只是在 \(c\) 处切线水平，左边的点比 \(f(c)\) 高、右边的点比 \(f(c)\) 低，\(f(c)\) 不是极值（图 6 右，即下面例题 5 中的 \(x=0\)）。

Example 4 / 例题 4

Example 5 / 例题 5（临界点不一定是极值点）

5.5闭区间最值：候选点法Absolute Extrema: The Candidates Test

EVT 保证闭区间上最值存在，候选点法用来找到它。最值只可能出现在两种地方：内部的临界点，或区间端点——把这些点的函数值逐一算出并比较即可。

Why Only These Points / 为什么只看这些点

设 \(f\) 在区间内部的一点 \(c\) 处取得最大值，并且 \(f'(c)\) 存在。

• 若 \(f'(c)>0\)：\(x\) 稍大于 \(c\) 时，差商 \(\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\) 接近 \(f'(c)\)，也是正数，而 \(x-c>0\)，所以 \(f(x)>f(c)\)，即 \(c\) 右边紧挨着的点比 \(f(c)\) 高，与 \(f(c)\) 是最大值矛盾。
• 若 \(f'(c)<0\)：同理，\(x\) 稍小于 \(c\) 时 \(f(x)>f(c)\)，\(c\) 左边紧挨着的点比 \(f(c)\) 高，也矛盾。

所以 \(f'(c)=0\)。若 \(f'(c)\) 不存在，\(c\) 本身就是临界点。因此区间内部的最值点一定是临界点，除此之外最值只可能在端点处取得，而端点处 \(f'\) 不必为 \(0\)（如下面例题 6 的 \(x=4\)）。最小值的道理相同。 上面的推理只用到“\(f(c)\) 不小于 \(c\) 附近的值”，所以对局部极值也成立：局部极值只可能出现在临界点处，这就是 5.4 节只在临界点处判别的原因。

Example 6 / 例题 6

例 5.5.1

Find the absolute maximum and minimum of

\[ f(x) = x^3-3x^2 \quad\text{on } [-1,\,4] . \]

解 Solution

临界点（例题 3）：\(x=0,\,2\)，都在区间内。列表比较：

\(x\)	\(-1\)（端点）	\(0\)	\(2\)	\(4\)（端点）
\(f(x)\)	\(-4\)	\(0\)	\(-4\)	\(16\)

答：绝对最大值 \(16\)（在 \(x=4\)）；绝对最小值 \(-4\)——同时在 \(x=-1\) 和 \(x=2\) 取得。 最小值在两点同时取得是允许的；AP 问 “the absolute minimum value” 时答 \(-4\) 一个数即可。

注意 \(x=0\)：由例题 4，\(f(0)=0\) 是局部极大值，但它小于 \(f(4)=16\)，所以不是绝对最大值（图 7）。极值只和附近的值比较，最值要和整个区间上的值比较。

5.6凹凸性与拐点Concavity and Inflection Points

\(f'\) 决定增减，\(f''\) 决定弯曲的方向——第四章的“量在增、率在减”在本节有了正式名称。

What Concavity Looks Like / 凹凸的样子

图 8 左边的曲线向上弯，像 \(\cup\) 的一部分，叫上凹；右边的曲线向下弯，像 \(\cap\) 的一部分，叫下凹。在两条曲线上从左到右各画三条切线：

• 上凹曲线的切线斜率依次为 \(-1\)、\(0\)、\(1\)，越来越大，切线都在曲线下方；
• 下凹曲线的切线斜率依次为 \(1\)、\(0\)、\(-1\)，越来越小，切线都在曲线上方。

AP 采用的定义正是这样：在一个区间上，若 \(f'\) 递增（切线斜率从左到右越来越大），就说 \(f\) 的图像在这个区间上上凹；若 \(f'\) 递减，就说下凹。

Why the Sign of \(f''\) Decides / 为什么看 \(f''\) 的正负

\(f''\) 是 \(f'\) 的导数。把 5.3 节的单调性判别用在函数 \(f'\) 上：\(f''>0\) 时 \(f'\) 递增，切线斜率越来越大，曲线上凹；\(f''<0\) 时 \(f'\) 递减，曲线下凹。这就是下面定义框中前两行的来由，5.8 节从 \(f'\) 的图像判断凹凸（看 \(f'\) 自身的升降）也依据这一点。

切线为什么在上凹曲线的下方？设切点为 \(a\)，切线 \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)。对另一点 \(x\)，由 MVT，\(f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)\)，\(c\) 在 \(a\) 与 \(x\) 之间。 \(x>a\) 时，\(c>a\)，\(f'\) 递增，所以 \(f'(c)>f'(a)\)；又 \(x-a>0\)，得 \(f(x)-f(a)>f'(a)(x-a)\)，即 \(f(x)>L(x)\)。 \(x<a\) 时，\(f'(c)<f'(a)\) 而 \(x-a<0\)，两边乘以负数后不等号反向，仍得 \(f(x)>L(x)\)。 所以上凹时曲线在切线上方；下凹时相反，曲线在切线下方。第四章 4.6 节由此判断线性近似：下凹时切线在曲线上方，估计值偏大；上凹时偏小。

找拐点的方法与找临界点相同：\(f''\) 要从负变正（或从正变负），只能经过 \(f''=0\) 的点或 \(f''\) 不存在的点，所以先找出这些点作为候选，再检查 \(f''\) 在每个候选点两侧是否变号，并确认 \(f\) 在该点连续。 例如 \(f(x)=x^{1/3}\)：\(f''(x)=-\frac29x^{-5/3}\)，在 \(x=0\) 处不存在；\(x<0\) 时 \(f''>0\)，\(x>0\) 时 \(f''<0\)，\(f''\) 变号，且 \(f\) 在 \(x=0\) 处连续，所以 \((0,0)\) 是拐点。它就是第二章 2.8 节图 7 中有垂直切线的那一点。

Concavity Is Not Direction / 凹凸与增减是两回事

增减和凹凸是曲线的两个不同特征：增减看 \(f'\) 的正负（曲线往上走还是往下走），凹凸看 \(f''\) 的正负（即 \(f'\) 的增减，曲线往哪边弯）。两者互不决定，四种组合都可能出现（图 9）。例如图 9 左下的曲线上凹，却一直在下降，所以“上凹”不能说成“递增”。

第四章例题 3 的“量在增、率在减”（\(R'>0\)，\(R'\) 在减小）就是图 9 右上：递增且下凹。第四章 4.3 节表格中\(f'\)、\(f''\) 的四种正负组合（增加得越来越快、越来越慢，减少得越来越快、越来越慢），正好对应图 9 的四幅图。

Example 7 / 例题 7

Sketching the Curve / 由符号画草图

把例题 3、4、7 的结果合起来，就能画出 \(f(x)=x^3-3x^2\) 的草图（图 10）。5.10 节随堂练习要求画草图时，也按下面三步做。

第一步（算出关键点）：局部极大 \((0,0)\)，局部极小 \((2,-4)\)，拐点 \((1,-2)\)；再补两个点帮助定位，例如 \(f(-1)=-4\)，\(f(3)=0\)。

第二步（把 \(f'\)、\(f''\) 的符号排在同一条数轴上）：\(x=0,1,2\) 把数轴分成四段（图 10 上方两行）： \((-\infty,0)\) 上 \(f'>0\)、\(f''<0\)，递增、下凹；\((0,1)\) 上 \(f'<0\)、\(f''<0\)，递减、下凹； \((1,2)\) 上 \(f'<0\)、\(f''>0\)，递减、上凹；\((2,\infty)\) 上 \(f'>0\)、\(f''>0\)，递增、上凹。

第三步（逐段连线）：每一段的形状是图 9 四种之一，按顺序把关键点连起来。在极值点处切线水平，在拐点处弯曲的方向改变。

Example 8 / 例题 8（\(f''=0\) 不等于拐点）

5.7二阶导数判别法The Second Derivative Test

判别极值的另一种方法是看 \(f''(c)\) 的符号：

Why \(f''(c)>0\) Means a Minimum / 为什么 \(f''(c)>0\) 对应极小

\(f'(c)=0\) 说明 \(c\) 处切线水平。\(f''(c)>0\) 说明曲线在 \(c\) 处向上弯，形如 \(\cup\)；\(\cup\) 形上切线水平的点只能是最低点，所以 \(f(c)\) 是局部极小值。同样，\(f''(c)<0\) 时曲线在 \(c\) 处形如 \(\cap\)，切线水平的点是最高点，\(f(c)\) 是局部极大值。 用 \(f'\) 的符号也能说明：\(f''(c)>0\) 表示 \(f'\) 经过 \(c\) 时在增大，而 \(f'(c)=0\)，所以 \(f'\) 在 \(c\) 左边附近为负、右边附近为正，由一阶导数判别法，\(f(c)\) 是局部极小值。 记住 \(\cup\)、\(\cap\) 两种形状，就不会把符号记反：\(f''>0\) 上凹（\(\cup\)，水平切线处是最低点），\(f''<0\) 下凹（\(\cap\)，水平切线处是最高点）。

\(f''(c)=0\) 时为什么判别失效？图 11 中的三个函数在 \(x=0\) 处都有 \(f'(0)=0\)、\(f''(0)=0\)，结论却各不相同：\(y=x^6\) 在 \(x=0\) 处取局部极小值，\(y=-x^6\) 取局部极大值，\(y=x^3\) 两者都不是。可见只知道 \(f'(c)=0\)、\(f''(c)=0\) 无法判断，要改用一阶导数判别法，看 \(f'\) 在 \(c\) 两侧的符号。

Example 9 / 例题 9

5.8从 f' 的图像读 f（AP 常考题型）Reading the Graph of the Derivative

AP 常考题型：给出 \(f'\) 的图像，问 \(f\) 的行为。读图只用两条依据：

• \(f'\) 的图像在 \(x\) 处的高度 \(f'(x)\)，就是 \(f\) 的图像在 \(x\) 处切线的斜率；
• \(f'\) 的图像的升降就是 \(f''\) 的正负：\(f'\) 上升 \(\iff f''>0\)，\(f'\) 下降 \(\iff f''<0\)（5.6 节）。

由这两条得出的对应关系共四条：

表中四行的理由：第一行，高度为正就是 \(f\) 的斜率为正，\(f\) 递增（5.3 节）；第二行，\(f'\) 穿过 \(x\) 轴就是 \(f'\) 变号，由一阶导数判别法得极值（5.4 节）；第三行，\(f'\) 上升就是 \(f''>0\)，\(f\) 上凹（5.6 节）；第四行，\(f'\) 在它的极大点、极小点处由升变降或由降变升，即 \(f''\) 变号，\(f\) 的凹凸改变，所以是拐点（5.6 节）。

Example 10 / 例题 10

Checking with the Graph of \(f\) / 用 \(f\) 的图像核对

图 13 把 \(f'\) 的图像（上）和对应的 \(f\) 的图像（下）上下对齐，竖虚线标出 \(f'\) 的三个零点 \(x=-2,1,3\) 和两个拐点的位置，可以用来核对例题 10 和上面随堂练习的答案：\(f'\) 在 \(x\) 轴上方的区间，\(f\) 上坡；\(f'\) 穿轴的三处，\(f\) 的切线水平，取极值；\(f'\) 的局部极小点、局部极大点，正是 \(f\) 改变弯曲方向的地方。

5.9优化Optimization

本节用极值解决实际问题：围栏怎么围面积最大？盒子怎么折容积最大？

One Critical Point on an Open Interval / 开区间上唯一的临界点

第 4 步中的候选点法只能用在闭区间上。优化题的定义域常常是开区间（例如下面例题 11 的 \(0<x<200\)：\(x=0\) 或 \(x=200\) 时围不成矩形），没有端点可以比较。这时常用另一个理由：若 \(f\) 在区间内只有一个临界点 \(c\)，且 \(f(c)\) 是局部极大值，那么 \(f(c)\) 就是整个区间上的最大值。

道理如下。\(c\) 是局部极大，\(f\) 从 \(c\) 出发向右先下降。假如右边某一点 \(d\) 处 \(f(d)>f(c)\)，\(f\) 就要先降后升：由 EVT，\(f\) 在 \([c,d]\) 上有最小值，它比 \(f(c)\)、\(f(d)\) 都小，所以在 \(c\) 与 \(d\) 之间的内部取得，由 5.5 节，那里是另一个临界点，与“只有一个临界点”矛盾。\(c\) 的左边同理。所以 \(f\) 在 \(c\) 的两侧都不会回升到超过 \(f(c)\)。若唯一的临界点是局部极小，同样得到它是最小值。

Example 11 / 例题 11（河边围栏）

Example 12 / 例题 12（折盒子）

例 5.9.2

Squares of side \(x\) are cut from the corners of a \(12\) cm \(\times\) \(12\) cm sheet, and the sides are folded up to form an open-top box. Find \(x\) that maximizes the volume.

解 Solution

如图 14，每条 \(12\) cm 的边两端各剪去 \(x\)，剩下中间的 \(12-2x\)；沿虚线把四边折起后，这一段就是盒底的边长，折起部分的宽 \(x\) 就是盒子的高。

盒底边长 \(12-2x\)，高 \(x\)：

\[ V(x) = x\,(12-2x)^2, \qquad 0<x<6 . \]

定义域同样来自每条边的长度必须为正：\(x>0\)，且 \(12-2x>0\)，即 \(x<6\)。 求导（积法则 + 链式）：

\[ V'(x) = (12-2x)^2 + x\cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)\bigl[(12-2x) - 4x\bigr] = (12-2x)(12-6x). \]

\(V'=0\) 得 \(x=2\) 或 \(x=6\)；\(x=6\) 不在定义域 \((0,6)\) 内，舍去，唯一临界点是 \(x=2\)。

验证：\(V'\) 在 \(x=2\) 两侧由 \(+\) 变 \(-\)（\(V'(1)>0\)，\(V'(3)<0\)），且 \(x=2\) 是唯一临界点 → 绝对最大 ✓

答：\(x=2\) cm（最大体积 \(V(2) = 2\cdot 8^2 = 128\) cm\(^3\)）。

5.10AP 高频题型AP-Style Problems

Example 13: Complete Curve Analysis / 全套曲线分析

Example 14: Justification Language / 理由的规范写法

Example 15: Candidates Test with \(e^x\) / 候选点法应用

5.11章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. 临界点一定是局部极值点。
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(y=x^3\) 在 \(x=0\)）
2. \(f''(c)=0\) 则 \(x=c\) 处必有拐点。
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(y=x^4\) 在 \(x=0\)）
3. 闭区间上的连续函数必有绝对最大值与最小值。
   TrueFalse
   核对答案

   True（EVT）
4. MVT 要求 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续且在 \((a,b)\) 可导。
   TrueFalse
   核对答案

   True（MVT 的两个前提）
5. 若 \(f'>0\) 于 \((a,b)\)，则 \(f\) 在 \((a,b)\) 上递增。
   TrueFalse
   核对答案

   True（单调性判别）

Part B: EVT and MVT / 两大定理

1. \(f(x)=x^2\) 在 \([0,4]\) 上求 MVT 中的 \(c\)。
   核对答案

   \(x^2\) 在 \([0,4]\) 连续、在 \((0,4)\) 可导；平均 \(=\frac{16-0}{4}=4\)，\(2c=4\)，\(c=2\in(0,4)\)
2. \(f(x)=\dfrac1x\) 在 \([-1,1]\) 上能否使用 MVT？为什么？
   核对答案

   不能：在 \(x=0\) 不连续
3. \(f\) 连续可导，\(f(0)=-2\)，\(f(6)=10\)。证明存在 \(c\) 使 \(f'(c)=2\)。
   核对答案

   平均 \(=\dfrac{12}{6}=2\)；\(f\) 连续可导，由 MVT 存在 \(c\in(0,6)\) 使 \(f'(c)=2\)

Part C: Monotonicity and Extrema / 单调与极值

1. \(f(x)=x^3-12x\)：单调区间与局部极值。
   核对答案

   增 \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\)，减 \((-2,2)\)；\(f'\) 在 \(-2\) 由 \(+\) 变 \(-\) → 极大 \((-2,16)\)，在 \(2\) 由 \(-\) 变 \(+\) → 极小 \((2,-16)\)
2. \(f(x)=x^4-4x^3\)：单调区间与局部极值（注意 \(x=0\)）。
   核对答案

   减 \((-\infty,3)\)，增 \((3,\infty)\)；唯一极值：极小 \((3,-27)\)
3. \(f(x)=x+\dfrac4x\)：临界点与局部极值。
   核对答案

   \(f'=1-\dfrac4{x^2}=0 \Rightarrow x=\pm2\)（\(x=0\) 不在定义域内，不是临界点，但数轴要在此分段）； \(f'\) 在 \(-2\) 由 \(+\) 变 \(-\) → 极大 \((-2,-4)\)，在 \(2\) 由 \(-\) 变 \(+\) → 极小 \((2,4)\)
4. \(f(x)=x^3-6x^2\) 在 \([-1,5]\) 上的绝对最值。
   核对答案

   候选 \(-1,0,4,5\)：\(f(-1)=-7\)，\(f(0)=0\)，\(f(4)=-32\)，\(f(5)=-25\) → 最大 \(0\)（\(x=0\)），最小 \(-32\)（\(x=4\)）

Part D: Concavity / 凹凸与拐点

1. \(f(x)=x^3-6x^2+5\)：凹凸区间与拐点。
   核对答案

   \(f''=6x-12\)：下凹 \((-\infty,2)\)，上凹 \((2,\infty)\)；拐点 \((2,-11)\)
2. \(f(x)=x^4-6x^2\)：凹凸区间与拐点。
   核对答案

   上凹 \(|x|>1\)，下凹 \((-1,1)\)；拐点 \((\pm1,-5)\)
3. \(f(x)=x\,e^{x}\)：求拐点。
   核对答案

   \(f''=(x+2)e^x\)，\(e^x>0\)，\(f''\) 在 \(x=-2\) 由 \(-\) 变 \(+\)：拐点 \(\left(-2,\ -2e^{-2}\right)\)

Part E: Reading f' / 读图（用 5.8 节图 12）

1. \(f\) 的递减区间。
   核对答案

   \((-2,1)\cup(3,\infty)\)
2. \(f\) 的局部极小值出现在哪个 \(x\)？
   核对答案

   \(x=1\)（\(f'\) 由 \(-\) 变 \(+\)）
3. \(f\) 有几个拐点？
   核对答案

   \(2\) 个

Part F: Optimization / 优化

1. 周长 \(60\) m 的矩形最大面积是多少？
   核对答案

   \(A=x(30-x)\)，\(A'=30-2x=0\Rightarrow x=15\)，\(A''=-2<0\) → 最大：\(15\times15=225\) m\(^2\)
2. 两正数乘积为 \(64\)，求最小的和。
   核对答案

   \(S=x+\frac{64}{x}\)，\(S'=1-\frac{64}{x^2}=0\Rightarrow x=8\)，\(S''=\frac{128}{x^3}>0\) → 最小：\(8+8=16\)
3. 用 \(300\) cm\(^2\) 材料做方底开顶盒。求最大体积。
   核对答案

   \(h=\dfrac{300-s^2}{4s}\)，\(V=\dfrac{300s-s^3}{4}\)，\(V'=0 \Rightarrow s=10\)；\(0<s<10\) 时 \(V'>0\)，\(s>10\) 时 \(V'<0\) → 最大： \(s=10\) cm，\(h=5\) cm，\(V_{\max}=500\) cm\(^3\)

5.12本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. EVT：闭区间 + 连续 \(\Rightarrow\) 最值存在；MVT：连续 + 可导 \(\Rightarrow\) 某点瞬时 = 平均 （MVT 证明题的步骤：验前提、算平均、引定理）。
2. 临界点 = 定义域内 \(f'\) 为零或不存在之处；\(f'\) 符号轴（在临界点和 \(f\) 无定义的点处分段）\(\Rightarrow\) 单调区间。
3. 一阶判别：变号定极值（\(+\to-\) 极大、\(-\to+\) 极小、不变号则不是极值）； 二阶判别：\(f'(c)=0\) 时看 \(f''(c)\) 符号，\(=0\) 则失效，改用一阶。
4. 候选点法：算出所有临界点和端点处的函数值并比较——不要漏掉端点。
5. \(f''\) 决定凹凸：正则上凹、负则下凹；拐点 = \(f''\) 变号处（仅 \(f''=0\) 不够）。
6. \(f'\) 图像对照：上方/下方 \(\to\) 增减；穿轴 \(\to\) 极值；自身升降 \(\to\) 凹凸；极大/极小点 \(\to\) 拐点。 先确认所给的是哪个函数的图像。
7. 优化五步：设变量 → 消元 → 求导 → 验证 → 答所问带单位。
8. 理由句式库：increasing because \(f'>0\)；local max because \(f'\) changes \(+\) to \(-\)； concave up because \(f''>0\)（或 \(f'\) increasing）。