Axiom Learning 第六章·积分与变化量累积

6.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 6? / 第六单元学什么？

前五章研究“拆”：把函数放大，看每一时刻的变化率。从本章起研究“合”：把变化一点点累积起来，问总共变了多少。本章回答三个问题：

  1. What is an integral, really?  积分到底是什么？（先讲清楚，再动手算）
  2. How do we compute integrals exactly—and approximately?  怎样精确计算积分（微积分基本定理），又怎样近似（黎曼和与梯形法）？
  3. What techniques handle harder integrals?  更难的积分怎么办？（换元；BC：分部积分、部分分式、反常积分）

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

  1. Explain the definite integral as accumulated change and as a limit of Riemann sums.
    把定积分理解为累积变化量与黎曼和的极限。
  2. Compute left, right, midpoint, and trapezoidal sums—from formulas and tables.
    用公式和表格计算左、右、中点与梯形和，并判断高估低估。
  3. Use properties of definite integrals.
    使用定积分的基本性质。
  4. Find antiderivatives; know the complete basic integral table.
    求原函数；熟记基本积分公式总表。
  5. Apply both parts of the Fundamental Theorem of Calculus.
    使用微积分基本定理的两个部分。
  6. Use integrals for net change, displacement, and total distance.
    用积分求净变化、位移与总路程。
  7. Evaluate integrals by substitution (indefinite and definite).
    用换元法计算不定积分与定积分。
  8. (BC) Integrate by parts, by partial fractions, and evaluate improper integrals.
    （BC）分部积分、部分分式积分与反常积分。

6.2积分到底是什么What Is an Integral?

在写下任何公式之前，先讲清楚一件事：本章所有的计算，都在回答同一个问题——

If we know how fast something changes, can we find how much it changed in total?
如果知道一个量变化得有多快，能不能算出它总共变化了多少？

Scene 1: A Trip at Constant Speed / 场景一：恒定速度的旅程

You drive on a highway at a constant speed of 60 mph for 2 hours. How far did you go?

你在高速上以 60 英里/小时的恒定速度开了 2 小时，一共开了多远？

\[ \text{distance} = \text{speed} \times \text{time} = 60 \times 2 = 120 \text{ miles}. \]

把速度–时间图画出来：速度是一条水平线，而 \(60\times 2\) 恰好是这条线下方矩形的面积——高是速度，宽是时间。

图 1  恒定速度下，距离 = 速度 \times 时间 = 曲线下矩形的面积
图 1  恒定速度下，距离 = 速度 \(\times\) 时间 = 曲线下矩形的面积
要点“Area” Gets a Meaning / “面积”有了物理含义

This is the single most important picture of the unit: the area is not a geometry exercise—it is the distance traveled.

这是本章最重要的一张图：这里的“面积”不是几何题里的面积——它就是走过的距离。 纵轴的单位（英里/小时）乘上横轴的单位（小时），得到的正是英里。

Scene 2: Cut Time into Tiny Slices / 场景二：把时间切成小段

实际行驶时速度会变化。速度变成一条曲线 \(v(t)\) 时，在一段很短的时间 \(\Delta t\) 里速度几乎恒定，于是每一小段上仍可用上面的公式：

\[ \text{distance on one slice} \approx v(t_i)\,\Delta t = \text{area of one thin rectangle}, \qquad \text{total distance} \approx \sum_i v(t_i)\,\Delta t . \]
图 2  每个细矩形 = 一小段“几乎匀速”的路程；总距离 \approx 矩形面积之和
图 2  每个细矩形 = 一小段“几乎匀速”的路程；总距离 \(\approx\) 矩形面积之和

切得越细，误差越小。矩形数量 \(n\to\infty\) 时，这个近似值收敛到一个精确的数——它就是定积分。这与第一章求瞬时速度、第二章定义导数的思路相同：先近似，再取极限。

定义 6.2.1The Definite Integral / 定积分

The definite integral of \(f\) from \(a\) to \(b\) is the limit of Riemann sums:

\[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x , \]

where \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\) and \(x_i\) is a point in the \(i\)-th subinterval (e.g. the right endpoint \(x_i=a+i\,\Delta x\)).
其中 \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)，\(x_i\) 取第 \(i\) 个小区间中的一点（如右端点 \(x_i=a+i\,\Delta x\)）。
Reading the symbol / 符号逐件解读：\(\displaystyle\int\) is an elongated S for Sum（拉长的 S，求和）；\(a,b\) are the limits of integration （积分下限、上限——起点与终点）；\(f(x)\) is the height of each thin strip（每条的高）； \(dx\) is its width（宽，无穷窄）。Read the whole symbol as: “add up all the little pieces \(f(x)\,dx\) from \(a\) to \(b\)”—— 把从 \(a\) 到 \(b\) 的所有小面积 \(f(x)\,dx\) 全部加起来。

思考 1

\(\displaystyle\int_0^4 5\,dt\) 对应哪个图形的面积？如果 \(t\) 以分钟计、\(5\) 的单位是加仑/分钟，这个积分算出的是什么？ （答案：宽 \(4\) 高 \(5\) 的矩形；累积注水量 \(20\) 加仑。对速率积分，得到的是这段时间内的累积变化量。）

6.3黎曼和Riemann Sums

在学会精确计算之前，先学会近似——AP 对黎曼和的考查以计算为主（尤其从表格计算），并要求判断高估低估；也会要求把黎曼和的极限写成定积分。

定义 6.3.1Left, Right, Midpoint Sums / 左、右、中点和

Divide \([a,b]\) into \(n\) equal subintervals of width \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). A Riemann sum approximates the area with rectangles, taking the height from the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each subinterval:

\[ \text{sum} = \Delta x\,\bigl[\,f(\text{取样点}_1) + f(\text{取样点}_2) + \cdots + f(\text{取样点}_n)\bigr]. \]

中文：把 \([a,b]\) 等分成 \(n\) 段，矩形的高取自每段的左端点 / 右端点 / 中点， 分别得到左和 \(L_n\)、右和 \(R_n\)、中点和 \(M_n\)。

Over/under-estimate rule / 高低估判断规则（\(f\) 单调 monotonic 时）： If \(f\) is increasing, the left sum underestimates and the right sum overestimates; if \(f\) is decreasing, the reverse.  \(f\) 递增 \(\Rightarrow\) 左和低估、右和高估；递减则反过来。 理由：递增时左端点是每段的最低点（the left endpoint is the lowest point of each piece）。

图 3 画出下面例题 1 的三种和（\(y=x^2\)，\([0,4]\)，\(n=4\)）。橙色是矩形没有盖住的部分（少算），红色是矩形超出曲线的部分（多算）：

图 3  例题 1 的三种黎曼和。橙色：矩形没有盖住的部分（少算）；红色：矩形超出曲线的部分（多算）
图 3  例题 1 的三种黎曼和。橙色：矩形没有盖住的部分（少算）；红色：矩形超出曲线的部分（多算）

Example 1 / 例题 1（按公式算）

例 6.3.1

Approximate

\[ \int_0^4 x^2\,dx \]

using \(n=4\) equal subintervals with (a) a left sum, (b) a right sum, (c) a midpoint sum. Which of (a), (b) are overestimates?

解 Solution

\(\Delta x = 1\)，分点 \(0,1,2,3,4\)。

(a) 左和用 \(x=0,1,2,3\)：

\[ L_4 = 1\cdot(0+1+4+9) = 14 . \]

(b) 右和用 \(x=1,2,3,4\)：

\[ R_4 = 1\cdot(1+4+9+16) = 30 . \]

(c) 中点用 \(x=0.5,1.5,2.5,3.5\)：

\[ M_4 = 1\cdot(0.25+2.25+6.25+12.25) = 21 . \]

\(f(x)=x^2\) 在 \([0,4]\) 上递增，故 \(L_4=14\) 低估、\(R_4=30\) 高估 （真值 \(\frac{64}{3}\approx 21.3\)，中点和最接近）。

答：\(L_4=14\)（低估），\(R_4=30\)（高估），\(M_4=21\)。

Each Sum Has Error, but the Limit Is Exact / 每个和都有误差，极限却是精确值

此刻你应该有个疑问：递增函数下每一个左和都偏小、每一个右和都偏大——没有任何一个黎曼和恰好等于真面积，为什么它们的极限恰好是真面积？

要点Why the Limit Is Exact / 为什么极限是精确值
  1. 极限不必被达到。看数列 \(0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \ldots\)——每一项都小于 \(1\)， 但它的极限恰好是 \(1\)。极限是数列趋近的值，不必是数列中的某一项。 每个左和都偏小，但左和随 \(n\) 增大所趋近的值就是定积分。
  2. 误差趋于零。把左和与曲线之间的锯齿缝隙全部水平推到最右一列（图 4）， 它们全部落在最右一列一个宽 \(\Delta x\)、高 \(f(b)-f(a)\) 的矩形里。所以
    \[ \text{左和的总误差} \le \Delta x\cdot\bigl[f(b)-f(a)\bigr] \xrightarrow{\ n\to\infty\ } 0 . \]

    每个左和都偏小，但偏差趋于零，所以极限恰好是定积分。

  3. 夹逼。\(L_n \le \displaystyle\int_a^b f \le R_n\)，而两边之差 趋于零——同时满足所有这些不等式的数只有一个，它就是定积分。

第二章也是如此：每一条割线的斜率都不等于切线斜率，但割线斜率的极限就是切线斜率。 导数与定积分用的是同一个方法：先近似，再让误差趋于零。

互动图加载中…
图 4  把所有锯齿缝隙水平推到最右边：总误差不超过一个宽 \(\Delta x\) 的细长矩形的面积， \(n\to\infty\) 时该面积趋于零

\(\displaystyle\int_0^4 x^2\,dx\) 的左右和收敛表（差距 \(=\frac{64}{n}\)，\(n\) 每翻倍一次，差距恰好减半）：

\(n\)\(4\)\(8\)\(16\)\(32\)\(\to\infty\)
\(L_n\)\(14\)\(17.5\)\(19.375\)\(20.344\)\(\nearrow\ \frac{64}{3}\)
\(R_n\)\(30\)\(25.5\)\(23.375\)\(22.344\)\(\searrow\ \frac{64}{3}\)
\(R_n-L_n\)\(16\)\(8\)\(4\)\(2\)\(\to 0\)

左、右和共同趋近的数 \(\dfrac{64}{3}\)，就是 \(\displaystyle\int_0^4 x^2\,dx\)。

互动图加载中…
拖动 \(n\)、切换取样方式：递增函数的左和偏小、右和偏大，\(n\) 越大都越接近 \(\frac{64}{3}\)

Writing the Limit as an Integral / 把黎曼和的极限写成定积分

AP 会给出一个和式的极限，要求写成定积分。做法是把它和 6.2 节定义中的 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\) 逐项对照，其中 \(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\)，右端点 \(x_i=a+i\,\Delta x\)。示范：

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(1+\frac{3i}{n}\Bigr)^2\cdot\frac3n . \]

第一步（找 \(\Delta x\)）：和式中与 \(i\) 无关、作为宽度乘在后面的因子是 \(\dfrac3n\)，所以 \(\Delta x=\dfrac3n\)。由 \(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\) 得 \(b-a=3\)。

第二步（找 \(x_i\) 和 \(a\)）：括号里随 \(i\) 变化的量是 \(1+\dfrac{3i}{n}=1+i\cdot\dfrac3n=1+i\,\Delta x\)。与 \(x_i=a+i\,\Delta x\) 对照，得 \(a=1\)，从而 \(b=a+3=4\)。（核对：\(i=0\) 时为 \(1\)，是起点；\(i=n\) 时为 \(4\)，是终点。）

第三步（找 \(f\)）：和式中对 \(x_i\) 做的运算是平方，所以 \(f(x)=x^2\)。

第四步（写成积分）：

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(1+\frac{3i}{n}\Bigr)^2\cdot\frac3n=\int_1^4 x^2\,dx . \]

学了 6.9 节的基本定理后可以算出它的值是 \(21\)。

写法不唯一：若把 \(x_i\) 看成 \(\dfrac{3i}{n}\)（\(a=0\)，\(b=3\)），对 \(x_i\) 做的运算就是“加 \(1\) 再平方”，\(f(x)=(1+x)^2\)，同一个极限也可以写成 \(\displaystyle\int_0^3(1+x)^2\,dx\)，值同样是 \(21\)。选择题的选项可能是其中任意一种，两种都要能认出来。

Example 2 / 例题 2（按表格算——AP 常考题型）

例 6.3.2

Water flows into a tank at rate \(r(t)\) (liters per minute). Selected values:

\(t\) (min)\(0\)\(2\)\(5\)\(8\)
\(r(t)\) (L/min)\(5\)\(7\)\(10\)\(12\)

Use a left Riemann sum with the three subintervals indicated by the table to approximate \(\displaystyle\int_0^8 r(t)\,dt\). Explain the meaning of your answer with units.

解 Solution

表格分点不等距——宽度分别是 \(2,\,3,\,3\)，左端点取 \(r(0),r(2),r(5)\)：

\[ L = 5(2) + 7(3) + 10(3) = 10+21+30 = 61 . \]

含义：前 8 分钟流入水箱的水量约为 61 升。

两个 FRQ 得分点：① 宽度不相等，逐段乘；② 答完必须配单位和句子—— “approximately 61 liters of water flow into the tank during the first 8 minutes”。

Practice / 随堂练习
  1. Use the table in Example 2 to compute the right Riemann sum.
    用例题 2 的表格计算右黎曼和。
    核对答案
    \(R = 7(2)+10(3)+12(3) = 80\) L
  2. If \(r(t)\) is increasing, is the left sum in Example 2 an overestimate or an underestimate? Explain.
    \(r(t)\) 若为递增函数，例题 2 的左和是高估还是低估？说明理由。
    核对答案
    低估：\(r\) 递增时左端点是每段最低值
  3. Approximate \(\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx\) using a left Riemann sum with \(n=4\).
    用 \(n=4\) 的左和近似该积分。
    核对答案
    \(\Delta x=0.5\)：\((0+0.125+1+3.375)(0.5) = 2.25\)

6.4梯形和Trapezoidal Sums

矩形的顶是水平的，无法贴合倾斜的曲线；梯形用斜边贴近曲线，通常更准。

定义 6.4.1Trapezoidal Sum / 梯形和

On each subinterval, replace the rectangle with a trapezoid: its two parallel sides are the function values at the endpoints, so its area uses their average as height:

\[ T = \frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}\,\Delta x_1 + \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\,\Delta x_2 + \cdots \]

中文：每段用梯形代替矩形，高度取两端函数值的平均。等宽时 \(T_n = \dfrac{\Delta x}{2}\bigl[f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\bigr]\)。

Two useful facts / 两条实用性质： ① \(T\) is exactly the average of the left and right sums：梯形和 \(=\dfrac{L_n+R_n}{2}\)（算完可互查）。 ② Over/under depends on concavity: concave up \(\Rightarrow\) chords lie above the curve \(\Rightarrow\) overestimate；上凹高估、下凹低估——与左右和的单调性判断规则互为补充。

Where the Formula Comes From / 公式的来由

梯形的面积 \(=\dfrac{\text{上底}+\text{下底}}{2}\times\text{高}\)。这里的梯形是侧放的（图 5）：两条平行边是竖直的，长度分别是 \(f(x_{i-1})\) 和 \(f(x_i)\)；两条平行边之间的距离 \(\Delta x\) 才是几何上的高。所以每个梯形的面积是

\[ \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\cdot\Delta x , \]

等于宽 \(\Delta x\)、高为两端函数值平均的矩形的面积。定义框中“用平均值作高”说的是这个矩形的高。

图 5  侧放的梯形：两条竖直的平行边长 f(x_{i-1})、f(x_i)，它们之间的距离 \Delta x 是梯形的高。曲线上凹，弦在曲线上方，梯形比曲线下的面积多出橙色部分
图 5  侧放的梯形：两条竖直的平行边长 \(f(x_{i-1})\)、\(f(x_i)\)，它们之间的距离 \(\Delta x\) 是梯形的高。曲线上凹，弦在曲线上方，梯形比曲线下的面积多出橙色部分

由这个面积公式还可以看出定义框中的三点：

Example 3 / 例题 3

例 6.4.1

Use a trapezoidal sum with the table from Example 2 to approximate \(\displaystyle\int_0^8 r(t)\,dt\).

解 Solution

逐段“平均高 \(\times\) 宽”：

\[ T = \frac{5+7}{2}(2) + \frac{7+10}{2}(3) + \frac{10+12}{2}(3) = 12 + 25.5 + 33 = 70.5\ \text{L} . \]

答：约 \(70.5\) 升。（核对：它恰好是左和 61 与右和 80 的平均 ✓）

Practice / 随堂练习
  1. Approximate \(\displaystyle\int_0^4 x^2\,dx\) with a trapezoidal sum, \(n=4\); verify that it equals the average of \(L_4\) and \(R_4\) from Example 1.
    用 \(n=4\) 的梯形和近似该积分，并与例题 1 的左右和核对“平均”关系。
    核对答案
    \(T_4 = \dfrac{14+30}{2} = 22\)（正是左右和的平均）
  2. If \(f\) is concave down, does the trapezoidal sum overestimate or underestimate? Sketch a small picture to explain.
    \(f\) 下凹时，梯形和是高估还是低估？画一小段图说明。
    核对答案
    低估：\(f\) 下凹时，每段梯形的斜边（弦）在曲线下方，梯形面积小于曲线下的面积

6.5有向面积与几何算法Signed Area and Geometry

\(f\) 在 \(x\) 轴下方时，细条的“高”\(f(x)\) 是负数——积分把下方面积记成负值。

要点Signed Area / 有向面积

Area above the \(x\)-axis counts positive; area below counts negative:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = (\text{上方面积 area above}) - (\text{下方面积 area below}). \]

Which one does the problem want? / 题目要哪个？ Net area / net change \(\to\) integrate \(f\)（直接积 \(f\)）； total area / total distance \(\to\) integrate \(|f|\)（积 \(|f|\)，先找变号点分段）。

Geometry shortcut / 几何捷径：if the region is a triangle, rectangle, trapezoid, or part of a circle, evaluate the integral by area formulas, no antiderivative needed—— 图形规则时直接用几何公式，这是 AP 读图题的常用方法。

Example 4 / 例题 4（几何法）

例 6.5.1

Evaluate by geometry:

\[ \text{(a)}\ \int_0^4 (x-2)\,dx \qquad \text{(b)}\ \int_0^3 \sqrt{9-x^2}\,dx . \]
解 Solution

(a) 直线 \(y=x-2\)：在 \([0,2]\) 下方一个直角三角形（面积 \(2\)，记负），在 \([2,4]\) 上方一个同样的三角形（记正）：

\[ \int_0^4 (x-2)\,dx = -2 + 2 = 0 . \]

两块面积一正一负，相互抵消（图 6 左）。若题目要的是总面积，就积 \(|x-2|\)：把下方的三角形翻到 \(x\) 轴上方（图 6 右），两块都记正，\(\displaystyle\int_0^4|x-2|\,dx=2+2=4\)。

图 6  左：x 轴下方的面积记负，与上方抵消，积分为 0；右：取绝对值后两块都在上方，总面积为 4
图 6  左：\(x\) 轴下方的面积记负，与上方抵消，积分为 \(0\)；右：取绝对值后两块都在上方，总面积为 \(4\)

(b) 先看 \(y=\sqrt{9-x^2}\) 的图像：两边平方得 \(y^2=9-x^2\)，即 \(x^2+y^2=9\)，这是圆心在原点、半径 \(3\) 的圆。根号的值不为负，\(y\ge0\)，所以只是上半圆；再限定 \(0\le x\le3\)，只剩第一象限的四分之一。所以 \(y=\sqrt{9-x^2}\) 是半径 3 的四分之一圆（第一象限）：

\[ \int_0^3 \sqrt{9-x^2}\,dx = \frac14\pi(3)^2 = \frac{9\pi}{4} . \]

答：(a) \(0\)；(b) \(\dfrac{9\pi}{4}\)。见到根号里的 \(r^2-x^2\)，先考虑圆的面积，不必求原函数。

Practice / 随堂练习
  1. Evaluate by geometry / 用几何求：\(\displaystyle\int_0^6 |x-3|\,dx\)。
    核对答案
    两个三角形：\(\dfrac12(3)(3)\times 2 = 9\)
  2. Evaluate by geometry / 用几何求：\(\displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx\)。
    核对答案
    半圆 \(r=2\)：\(\dfrac12\pi(2)^2 = 2\pi\)
  3. On \([0,5]\), \(f\) encloses area \(8\) above the \(x\)-axis and area \(3\) below. Find \(\displaystyle\int_0^5 f\,dx\) and \(\displaystyle\int_0^5 |f|\,dx\).
    \(f\) 在 \([0,5]\) 上方围出面积 \(8\)、下方围出面积 \(3\)，求上述两个积分。
    核对答案
    \(\displaystyle\int f = 8-3 = 5\)；\(\displaystyle\int|f| = 8+3 = 11\)

6.6定积分的性质Properties of Definite Integrals

定理 6.6.1Properties / 基本性质
Zero width / 零宽度\(\displaystyle\int_a^a f = 0\)（没有累积的空间）
Reversal / 反转变号\(\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f\)（交换上下限，积分变号）
Linearity / 线性性\(\displaystyle\int_a^b \bigl[f\pm g\bigr] = \int_a^b f \pm \int_a^b g, \qquad \int_a^b c\,f = c\int_a^b f\)
Additivity / 区间可加\(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)
（\(c\) anywhere, 位置任意——AP 常用它组合已知积分）

Why the Properties Hold / 性质的来由

每条性质都可以从定义 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\)（\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\)）看出：

图 7  [a,c] 上的面积与 [c,b] 上的面积拼成 [a,b] 上的面积：\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f
图 7  \([a,c]\) 上的面积与 \([c,b]\) 上的面积拼成 \([a,b]\) 上的面积：\(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\)

\(c\) 在区间外也成立。这与面积的直觉不同，靠的是反转变号。以 \(f(x)=x\) 为例（下面各积分都是三角形或梯形的面积，可用 6.5 节的几何法求），取 \(a=0\)，\(b=5\)，\(c=7\)：

\[ \int_0^7 x\,dx+\int_7^5 x\,dx=\frac{49}{2}-\int_5^7 x\,dx=\frac{49}{2}-12=\frac{25}{2}=\int_0^5 x\,dx . \]

\(\int_7^5\) 是从 \(7\) 往回积到 \(5\)，等于 \(-\int_5^7\)：先积到 \(7\)，再减去多出的 \([5,7]\) 一段，正好得到 \(\int_0^5\)。所以使用区间可加性时，不必要求 \(c\) 在 \(a\)、\(b\) 之间。

Example 5 / 例题 5（组合已知积分）

例 6.6.1

Given

\[ \int_0^5 f(x)\,dx = 10, \qquad \int_0^2 f(x)\,dx = 3, \qquad \int_0^5 g(x)\,dx = -4, \]

find:  (a) \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx\)  (b) \(\displaystyle\int_0^5 \bigl[2f(x)-g(x)\bigr]dx\)  (c) \(\displaystyle\int_5^0 f(x)\,dx\)

解 Solution

(a) 区间可加性拆开：\(\displaystyle\int_0^5 = \int_0^2 + \int_2^5\)，所以 \(\displaystyle\int_2^5 f = 10-3 = 7\)。

(b) 线性：\(2(10) - (-4) = 24\)。

(c) 反转上下限变号：\(-10\)。

答：(a) \(7\)  (b) \(24\)  (c) \(-10\)。

Practice / 随堂练习

Given / 已知

\[ \int_0^5 f(x)\,dx = 10, \qquad \int_0^2 f(x)\,dx = 3, \qquad \int_0^5 g(x)\,dx = -4, \]

find / 求：

  1. \(\displaystyle\int_2^0 f(x)\,dx\)
    核对答案
    \(-3\)
  2. \(\displaystyle\int_0^5 \bigl[f(x)+3g(x)\bigr]dx\)
    核对答案
    \(10 + 3(-4) = -2\)
  3. If also \(\displaystyle\int_2^7 f = 9\), find \(\displaystyle\int_5^7 f\).
    若又知 \(\displaystyle\int_2^7 f = 9\)，求 \(\displaystyle\int_5^7 f\)。
    核对答案
    \(\displaystyle\int_5^7 = \int_2^7 - \int_2^5 = 9 - 7 = 2\)

6.7原函数与不定积分Antiderivatives and Indefinite Integrals

要精确计算，需要把求导反过来：找一个求导后等于 \(f\) 的函数。

定义 6.7.1Antiderivative; Indefinite Integral / 原函数与不定积分

\(F\) 是 \(f\) 的原函数（antiderivative），若 \(F'(x)=f(x)\)。 全体原函数记作不定积分：

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C . \]

Why \(+C\) / 为什么必写 \(+C\)：any two antiderivatives of the same \(f\) differ by a constant（同一 \(f\) 的任意两个原函数只差一个常数——常数的导数为零）， so the indefinite integral is a whole family of parallel curves，一整族平行曲线。 Basic rules（幂法则倒读 + 线性）：

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1); \qquad \int \frac1x\,dx = \ln|x|+C; \qquad \int\bigl[f\pm g\bigr] = \int f \pm \int g . \]

Two Notes on the Basic Rules / 基本公式的两点说明

Example 6 / 例题 6

例 6.7.1

Evaluate

\[ \int\left(3x^2 - 4x + 5\right)dx \qquad\text{and}\qquad \int\left(\sqrt{x} + \frac{1}{x}\right)dx . \]
解 Solution

逐项反幂法则：

\[ \int(3x^2-4x+5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C . \]

第二个先重写 \(\sqrt x = x^{1/2}\)（与第二章做法相同），注意 \(\frac1x\) 是特例：

\[ \int\left(x^{1/2} + \frac1x\right)dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + \ln|x| + C . \]

答：如上。检验方法：把答案求导，看是否得到被积函数。

Example 7 / 例题 7（用初始条件定 \(C\)）

例 6.7.2

Find \(f(x)\) given

\[ f'(x) = 3x^2 - 4, \qquad f(1) = 2 . \]
解 Solution

先积分：

\[ f(x) = \int(3x^2-4)\,dx = x^3 - 4x + C . \]

再用条件 \(f(1)=2\)：

\[ 1 - 4 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 5 . \]

答：\(f(x) = x^3-4x+5\)。“积分 + 初始条件定 \(C\)”是第七章微分方程的雏形。

The Family of Antiderivatives / 原函数族

例题 7 中 \(\int(3x^2-4)\,dx=x^3-4x+C\)，\(C\) 每取一个值就得到一个原函数。图 8 画出了 \(C=1,3,5,7\) 的四条曲线。它们的导数都是 \(3x^2-4\)，在同一个 \(x\) 处切线的斜率相同（例如 \(x=1\) 处斜率都是 \(-1\)，见图中的橙色短线），每条曲线都是另一条上下平移得到的——这就是定义框中说的“一整族平行曲线”。初始条件 \(f(1)=2\) 的作用，是从这一族中选出经过点 \((1,2)\) 的那一条，即 \(C=5\)。

图 8  y=x^3-4x+C（C=1,3,5,7）：各条曲线上下平移，x=1 处切线斜率都是 -1
图 8  \(y=x^3-4x+C\)（\(C=1,3,5,7\)）：各条曲线上下平移，\(x=1\) 处切线斜率都是 \(-1\)

Definite vs. Indefinite Integrals / 定积分与不定积分的区别

两者用同一个符号 \(\int\)，但不是同一类对象：

两者共用一个符号，是因为 6.9 节的微积分基本定理：定积分可以用原函数算出。答案中是否含 \(x\) 和 \(+C\)，是区分两者最直接的办法。

Practice / 随堂练习
  1. Evaluate / 计算：\(\displaystyle\int\left(4x^3 - 2x + 7\right)dx\)
    核对答案
    \(x^4 - x^2 + 7x + C\)
  2. Evaluate / 计算：\(\displaystyle\int\left(\frac{1}{x^3} + \sqrt[3]{x}\right)dx\)
    核对答案
    \(-\dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{3}{4}x^{4/3} + C\)
  3. Given \(g'(x) = 2x+1\) and \(g(0) = 3\), find \(g(x)\).
    已知导数与初始条件，求 \(g(x)\)。
    核对答案
    \(g(x) = x^2+x+3\)

6.8基本积分公式总表The Complete Integral Table

每一条积分公式，都是第二、三章里一条导数公式倒过来读。对照导数表记忆积分表，更不容易记错。

导数公式（第二、三章）积分公式（本章）
\(\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right] = x^n\)\(\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad (n\ne -1)\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\ln|x|\bigr] = \dfrac{1}{x}\)\(\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[e^x\bigr] = e^x\)\(\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{a^x}{\ln a}\right] = a^x\)\(\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C\quad (a>0,\ a\ne 1)\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[-\cos x\bigr] = \sin x\)\(\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\sin x\bigr] = \cos x\)\(\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\tan x\bigr] = \sec^2 x\)\(\displaystyle\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\sec x\bigr] = \sec x\tan x\)\(\displaystyle\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\arcsin x\bigr] = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\(\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\bigl[\arctan x\bigr] = \dfrac{1}{1+x^2}\)\(\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C\)
练一练

Without looking at the table, write down each integral (the answers are all in it).
不看上表，写出下列积分（答案就在表里）：

\[ \text{(1)}\ \int \sec^2 x\,dx \qquad \text{(2)}\ \int 5^x\,dx \qquad \text{(3)}\ \int \frac{3}{1+x^2}\,dx \qquad \text{(4)}\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]
核对答案
(1) \(\tan x + C\)  (2) \(\dfrac{5^x}{\ln 5}+C\)  (3) \(3\arctan x + C\)  (4) \(\arcsin x + C\)

6.9基本定理第二部分：精确计算FTC Part 2: Evaluation

现在把两部分联系起来：黎曼和定义的定积分，可以用原函数直接算出。

定理 6.9.1FTC Part 2 (Evaluation) / 基本定理·计算版

If \(f\) is continuous on \([a,b]\) and \(F\) is an antiderivative of \(f\) (i.e. \(F'=f\)), then

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \;=\; F(x)\Bigr|_a^b . \]

中文：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，只要找到一个原函数 \(F\)，定积分就等于它在两端的差—— 无穷多个矩形的极限，化为一次减法。

Why it works / 为什么成立：\(F'\) is the rate of change of \(F\); accumulating the rate from \(a\) to \(b\) recovers the total change of \(F\). \(F'\) 是 \(F\) 的变化率，把变化率从 \(a\) 累积到 \(b\)，得到的正是 \(F\) 的总变化 \(F(b)-F(a)\) ——这就是净变化定理的依据。 书写提醒：定积分不写 \(+C\)（会在相减中抵消）。

Why FTC Part 2 Holds / 基本定理第二部分为什么成立

把 \([a,b]\) 等分成 \(n\) 段，分点为 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，每段宽 \(\Delta x\)。

第一步（把总变化拆成各段的变化）：以 \(n=3\) 为例，

\[ \bigl[F(x_1)-F(x_0)\bigr]+\bigl[F(x_2)-F(x_1)\bigr]+\bigl[F(x_3)-F(x_2)\bigr]=F(x_3)-F(x_0)=F(b)-F(a) , \]

中间的 \(F(x_1)\)、\(F(x_2)\) 各加一次、减一次，相互抵消，只剩首尾两项。任意 \(n\) 都是这样：

\[ F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}\bigl[F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr] . \]

第二步（每一段的变化）：由第四章 4.7 节的微分，\(x\) 从 \(x_{i-1}\) 增加 \(\Delta x\) 时，\(F\) 的变化约为 \(F'(x_{i-1})\,\Delta x\)，即 \(f(x_{i-1})\,\Delta x\)，这正是一个矩形的面积。用第五章 5.2 节的中值定理可以把约等号换成等号：\(F\) 在每一段上可导，所以 \((x_{i-1},x_i)\) 内有一点 \(c_i\)，使

\[ F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(c_i)\,(x_i-x_{i-1})=f(c_i)\,\Delta x . \]

第三步（取极限）：代回第一步，

\[ F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x . \]

右边是取样点为 \(c_i\) 的黎曼和（6.2 节的定义允许取小区间中的任意一点）。这个等式对每个 \(n\) 都成立，而左边与 \(n\) 无关；令 \(n\to\infty\)，右边趋于 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)，所以两者相等。

由此可见“无穷多个矩形的极限化为一次减法”的原因：每个矩形的面积恰好是 \(F\) 在这一段上的变化，各段的变化相加时中间项全部抵消。6.11 节的净变化定理就是把这里的 \(f\) 写成 \(F'\)，它的依据正是这个推导。

回到 6.3 节：\(\dfrac{x^3}{3}\) 是 \(x^2\) 的原函数，所以

\[ \int_0^4 x^2\,dx=\frac{4^3}{3}-0=\frac{64}{3},\qquad \int_1^4 x^2\,dx=\frac{64}{3}-\frac13=21 . \]

前者正是 6.3 节收敛表中左、右和共同趋近的数，后者是 6.3 节示范中那个和式的极限。

Example 8 / 例题 8

例 6.9.1

Evaluate:

\[ \text{(a)}\ \int_0^2 (3x^2+1)\,dx \qquad \text{(b)}\ \int_0^{\pi} \sin x\,dx \qquad \text{(c)}\ \int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx . \]
解 Solution

(a) \(\displaystyle\Bigl[x^3+x\Bigr]_0^2 = (8+2)-0 = 10\).

(b) \(\displaystyle\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = 1+1 = 2\).

(c) \(\displaystyle\Bigl[\ln|x|\Bigr]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1\).

答：(a) \(10\)  (b) \(2\)  (c) \(1\)。 (b) 的双重负号是常见的符号错误——\(-\cos x\) 代限时逐步写，不要心算。

Practice / 随堂练习

Evaluate. / 计算下列定积分。

  1. \(\displaystyle\int_1^{4} \frac{1}{\sqrt x}\,dx\)
    核对答案
    \(\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_1^4 = 4-2 = 2\)

6.10基本定理第一部分：累积函数FTC Part 1: Accumulation Functions

把上限换成变量，积分就成了一个新函数——累积函数：

\[ G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \qquad (\text{从 } a \text{ 累积到 } x \text{ 的总量}). \]

What \(G(x)\) Measures / 累积函数的含义

\(f\ge0\) 时，\(G(x)\) 是 \(f\) 的图像下从 \(t=a\) 到 \(t=x\) 的面积（图 9 中的蓝色部分）；\(f\) 有负值时是 6.5 节的有向面积。\(x\) 是这块区域的右边界：\(x\) 向右移，区域变宽，\(G(x)\) 随之变化；\(x=a\) 时宽度为 \(0\)，\(G(a)=0\)。每给定一个 \(x\)，就得到一个面积，所以 \(G\) 是 \(x\) 的函数。

积分里的变量改用 \(t\)，是因为 \(x\) 已经用来表示右边界。计算 \(G(x)\) 时，\(x\) 是固定的终点，\(t\) 在 \(a\) 到 \(x\) 之间变化，表示细条的位置。若写成 \(\int_a^x f(x)\,dx\)，同一个字母既表示固定的终点、又表示变化的位置，意义不清。把 \(t\) 换成别的字母，结果不变：\(\int_a^x f(t)\,dt=\int_a^x f(s)\,ds\)，结果只与 \(x\) 有关。

图 9  蓝色部分是从 a 到 x 的面积 G(x)。x 增加 h，面积增加的是一条宽 h 的细条，它近似于高 f(x) 的矩形，所以 G(x+h)-G(x)\approx f(x)\cdot h
图 9  蓝色部分是从 \(a\) 到 \(x\) 的面积 \(G(x)\)。\(x\) 增加 \(h\)，面积增加的是一条宽 \(h\) 的细条，它近似于高 \(f(x)\) 的矩形，所以 \(G(x+h)-G(x)\approx f(x)\cdot h\)
定理 6.10.1FTC Part 1 / 基本定理·求导版

If \(f\) is continuous on an interval containing \(a\), differentiation undoes integration / 若 \(f\) 在包含 \(a\) 的区间上连续，求导撤销积分：

\[ \frac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)\,dt\right] = f(x) . \]

“先积分、再求导”回到被积函数本身——这说明积分与求导互为逆运算 （下限 \(a\) 是常数，不影响导数）。

Two variations / 两种变形： ① Upper limit is a function \(\Rightarrow\) Chain Rule（上限是 \(x\) 的函数时乘 \(u'(x)\)）：

\[ \frac{d}{dx}\left[\int_a^{u(x)} f(t)\,dt\right] = f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x); \]

② \(x\) in the lower limit \(\Rightarrow\) swap the limits first and pick up a minus sign （下限含 \(x\) 时先交换上下限，多出一个负号）：\(\displaystyle\int_x^a = -\int_a^x\)。 本考点最常见的两个错误：忘乘 \(u'(x)\)，以及下限含 \(x\) 时忘记变号。

Why Differentiation Undoes Integration / 为什么求导撤销积分

按导数的定义（第二章），\(G'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}\)。\(G(x+h)\) 是从 \(a\) 到 \(x+h\) 的面积，\(G(x)\) 是从 \(a\) 到 \(x\) 的面积，相减后只剩 \(x\) 到 \(x+h\) 之间的一条细条（图 9 中的橙色部分）。细条宽 \(h\)；\(h\) 很小时，细条上 \(f\) 的值都接近 \(f(x)\)，细条近似于高 \(f(x)\)、宽 \(h\) 的矩形：

\[ G(x+h)-G(x)\approx f(x)\cdot h \quad\Longrightarrow\quad \frac{G(x+h)-G(x)}{h}\approx f(x) . \]

\(f\) 连续，\(h\to0\) 时细条上 \(f\) 的值都趋于 \(f(x)\)，这个近似的误差趋于零，所以 \(G'(x)=f(x)\)。也就是说，面积 \(G\) 增长的快慢，等于右边界处曲线的高度。

可以直接验证的例子：取 \(f(t)=2t\)，\(a=0\)。\(x>0\) 时，\(G(x)=\int_0^x 2t\,dt\) 是底 \(x\)、高 \(2x\) 的三角形的面积，也可以用 6.9 节的 FTC2 计算：

\[ G(x)=\int_0^x 2t\,dt=\Bigl[t^2\Bigr]_0^x=x^2 ,\qquad G'(x)=2x . \]

求导后得到 \(2x\)，正是被积函数 \(2t\) 在 \(t=x\) 处的值，与定理一致。

链式法则的变形：上限是 \(u(x)\) 时，\(\int_a^{u(x)}f(t)\,dt=G\bigl(u(x)\bigr)\) 是复合函数，外层是 \(G\)，内层是 \(u(x)\)。由第三章的链式法则，它的导数是外层导数 \(G'(u)=f(u)\) 乘以内层导数 \(u'(x)\)，即定理框中的 \(f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)\)。用上例核对：\(\int_0^{x^2}2t\,dt=(x^2)^2=x^4\)，导数为 \(4x^3\)；按公式，\(f(x^2)\cdot(x^2)'=2x^2\cdot2x=4x^3\)，结果相同。

Example 9 / 例题 9

例 6.10.1

Find the derivatives:

\[ \text{(a)}\ G(x)=\int_2^x \sqrt{t^3+1}\,dt \qquad \text{(b)}\ H(x)=\int_1^{x^2} \sin t\,dt \qquad \text{(c)}\ P(x)=\int_x^4 e^{t^2}\,dt . \]
解 Solution

(a) 直接 FTC1：\(G'(x) = \sqrt{x^3+1}\)。

(b) 上限是 \(x^2\)，用链式法则：

\[ H'(x) = \sin(x^2)\cdot 2x . \]

(c) \(x\) 在下限，先翻转再求导：

\[ P(x) = -\int_4^x e^{t^2}\,dt \quad\Longrightarrow\quad P'(x) = -e^{x^2} . \]

答：(a) \(\sqrt{x^3+1}\)  (b) \(2x\sin(x^2)\)  (c) \(-e^{x^2}\)。 本考点最常见的两个错误：忘乘 \(u'(x)\)（b）与忘记变号（c）。

6.11净变化、位移与路程Net Change, Displacement, Distance

FTC 反过来读就是净变化定理：变化率的积分 = 总变化。

\[ \int_a^b F'(x)\,dx = F(b)-F(a) . \]

用于第四章的直线运动：

\[ \text{displacement 位移} = \int_a^b v(t)\,dt; \qquad \text{total distance 总路程} = \int_a^b |v(t)|\,dt . \]

路程为什么要加绝对值：速度 \(v\) 带正负号，正表示向右、负表示向左；速率是速度的绝对值 \(|v|\)（第四章 4.2 节）。在很短的时间 \(dt\) 内，质点走过的路程是 \(|v|\,dt\)，不论方向；位移则把向左走的部分记为负。所以位移是速度的积分，路程是速率的积分。在图像上，这就是 6.5 节的净面积与总面积：\(\int v\,dt\) 是 \(v\) 的图像与 \(t\) 轴之间的净面积，\(\int|v|\,dt\) 是总面积（图 10）。

Example 10 / 例题 10

例 6.11.1

A particle has velocity

\[ v(t) = t^2-4t+3 \quad(\text{m/s}), \qquad 0\le t\le 3 . \]

Find (a) the displacement and (b) the total distance traveled.

解 Solution

(a) 位移直接积：原函数 \(F(t) = \dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\)，

\[ \int_0^3 v\,dt = F(3)-F(0) = (9-18+9) - 0 = 0 . \]

(b) 路程要积 \(|v|\)。先找变号点：\(v=(t-1)(t-3) = 0\) 于 \(t=1,3\)；\(v>0\) 于 \([0,1)\)，\(v<0\) 于 \((1,3)\)：

\[ \int_0^1 v\,dt = F(1) = \frac13-2+3 = \frac43; \qquad \int_1^3 v\,dt = F(3)-F(1) = 0-\frac43 = -\frac43 . \]
\[ \text{total distance} = \frac43 + \left|-\frac43\right| = \frac83\ \text{m} . \]

答：位移 \(0\) m、路程 \(\dfrac83\) m——质点在 \(t=1\) 折返，\(t=3\) 时回到出发点。 位移为零不表示质点没有运动：这正是 \(\int v\) 与 \(\int|v|\) 的区别。

图 10  例题 10 的速度图像：上方面积记正、下方记负，相加得位移 0；两块都记正，相加得路程 \frac83
图 10  例题 10 的速度图像：上方面积记正、下方记负，相加得位移 \(0\)；两块都记正，相加得路程 \(\frac83\)
Practice / 随堂练习
  1. For \(v(t)=2t-4\) on \(0\le t\le 4\), find the displacement and the total distance.
    求位移与总路程。
    核对答案
    位移 \(\Bigl[t^2-4t\Bigr]_0^4 = 0\)；\(v<0\) 于 \([0,2)\)、\(v>0\) 于 \((2,4]\)，各段大小 \(4\)：路程 \(8\)
  2. Water enters a tank at rate \(r(t)=6-2t\) L/min (negative means draining), \(0\le t\le5\). Find the net change in the amount of water.
    水箱以该速率进水（负值表示漏水），求水量的净变化。
    核对答案
    \(\displaystyle\int_0^5 (6-2t)\,dt = \Bigl[6t-t^2\Bigr]_0^5 = 30-25 = 5\) L（净增 5 升）

6.12换元积分法Substitution

链式法则的逆运算。识别信号：被积函数形如 \(f(g(x))\,g'(x)\)（可差常数倍）。

要点The Procedure / 换元四步
  1. Choose \(u = g(x)\), the inside function.  选内层（通常是括号里、指数上、根号下的那个）。
  2. Compute \(du = g'(x)\,dx\) and match it in the integrand (fix a missing constant by multiplying and dividing).  求 \(du\) 并在积分里配出它——差常数就乘除调整。
  3. Rewrite everything in \(u\) and integrate.  把整个积分写成只含 \(u\) 的形式再积分（不能同时含 \(x\) 和 \(u\)）。
  4. Convert back to \(x\) for indefinite integrals; for definite integrals, convert the limits instead.  不定积分换回 \(x\)；定积分则改换上下限，不必换回 \(x\)。

Why Substitution Works / 换元法为什么成立

设 \(F\) 是 \(f\) 的原函数（\(F'=f\)）。由第三章的链式法则，

\[ \frac{d}{dx}\Bigl[F\bigl(g(x)\bigr)\Bigr]=F'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) , \]

所以 \(F\bigl(g(x)\bigr)\) 是 \(f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\) 的原函数：

\[ \int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx=F\bigl(g(x)\bigr)+C . \]

换元四步做的是同一件事：令 \(u=g(x)\)，把 \(g'(x)\,dx\) 写成 \(du\)，积分变成 \(\int f(u)\,du=F(u)+C\)，换回 \(x\) 就是 \(F\bigl(g(x)\bigr)+C\)。其中 \(du=g'(x)\,dx\) 就是第四章 4.7 节的微分 \(dy=f'(x)\,dx\)，只是把 \(y\) 换成了 \(u\)。

定积分为什么要换上下限：由 6.9 节的 FTC2，

\[ \int_a^b f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx=F\bigl(g(b)\bigr)-F\bigl(g(a)\bigr)=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du . \]

\(x\) 从 \(a\) 走到 \(b\) 时，\(u=g(x)\) 从 \(g(a)\) 走到 \(g(b)\)，所以新的下限、上限是 \(g(a)\)、\(g(b)\)。

Example 11 / 例题 11

例 6.12.1

Evaluate

\[ \text{(a)}\ \int 2x\,(x^2+1)^5\,dx \qquad \text{(b)}\ \int \cos(3x)\,dx \qquad \text{(c)}\ \int x\,e^{x^2}\,dx . \]
解 Solution

(a) \(u=x^2+1\)，\(du=2x\,dx\)——\(2x\) 恰好在被积函数中：

\[ \int u^5\,du = \frac{u^6}{6}+C = \frac{(x^2+1)^6}{6}+C . \]

(b) \(u=3x\)，\(du=3\,dx\)，缺因子 \(3\)，乘除补上：

\[ \int \cos(3x)\,dx = \frac13\int\cos u\,du = \frac13\sin(3x)+C . \]

(c) \(u=x^2\)，\(du=2x\,dx\)，被积函数中有 \(x\,dx = \frac12\,du\)：

\[ \int x\,e^{x^2}dx = \frac12\int e^u\,du = \frac12 e^{x^2}+C . \]

答：如上。补出的系数 \(\frac13\)、\(\frac12\) 最容易漏掉，必须写出。

Only Constant Factors Can Be Supplied / 只能补常数因子

例题 11(b)(c) 缺的是常数因子，可以乘除补上，因为常数可以移到积分号外（6.6 节的线性性）。缺的若是含 \(x\) 的因子，就不能这样补。例如 \(\int e^{x^2}dx\)：令 \(u=x^2\)，\(du=2x\,dx\)，但被积函数中没有因子 \(x\)。如果写成

\[ \int e^{x^2}dx=\frac{1}{2x}\int e^{x^2}\cdot2x\,dx\qquad(\text{错误}), \]

就是把随 \(x\) 变化的 \(\dfrac{1}{2x}\) 当成常数移出了积分号。由此得到的 \(\dfrac{e^{x^2}}{2x}+C\)，求导后是 \(e^{x^2}\Bigl(1-\dfrac{1}{2x^2}\Bigr)\)，不等于 \(e^{x^2}\)。\(\int e^{x^2}dx\) 不能用换元法求出（它的原函数不能用初等函数写出，AP 不要求）；例题 11(c) 的 \(\int x\,e^{x^2}dx\) 正是因为有因子 \(x\)，才能换元。

Example 12 / 例题 12（定积分换元：换限）

例 6.12.2

Evaluate

\[ \int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx . \]
解 Solution

\(u = x^2+1\)，\(du=2x\,dx\)；上下限一起换：\(x=0\Rightarrow u=1\)，\(x=1\Rightarrow u=2\)：

\[ \int_1^2 u^3\,du = \frac{u^4}{4}\Bigr|_1^2 = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4} . \]

答：\(\dfrac{15}{4}\)。换了限就不必换回 \(x\)——这是定积分换元最简便的做法。 （另一种做法：先求出 \(x\) 的原函数再代原限，结果相同，但两种做法不能混用。）

Practice / 随堂练习

Evaluate by substitution. / 用换元法计算。

  1. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,\tan x\,dx\) (Hint / 提示：\(u=\tan x\))
    核对答案
    \(u=\tan x\)：\(\displaystyle\int_0^1 u\,du = \dfrac12\)
  2. \(\displaystyle\int \tan x\,dx\) (Hint / 提示：\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)，\(u=\cos x\))
    核对答案
    \(-\ln|\cos x|+C\)（即 \(\ln|\sec x|+C\)）

6.13长除法与配方法Long Division and Completing the Square

被积函数是有理式、又不能直接换元时，先做代数变形，再用 6.8 的公式表（AB 范围，常见于选择题）：

要点Two Algebraic Methods / 两种代数方法
  1. Long division / 长除：if the degree of the numerator \(\ge\) the degree of the denominator (an improper fraction 假分式), divide first: the polynomial quotient integrates term by term, and the remainder becomes a simple fraction.
    中文：分子次数不低于分母就先做多项式除法——商逐项积分，余数部分化为简单分式。 例：\(\dfrac{x^2}{x+1} = x-1+\dfrac{1}{x+1}\)。
  2. Completing the square / 配方：if the quadratic denominator has no real roots（判别式 \(b^2-4ac<0\)），write it as \(u^2+a^2\) and use
    \[ \int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C . \]

    中文：无实根二次分母配成平方加常数，归到 \(\arctan\)。 这条公式是 6.8 表中 \(\arctan\) 条目的推广——换元 \(w=\dfrac ua\)、\(du=a\,dw\)， 提出 \(\dfrac{1}{a^2}\) 即得，\(\dfrac1a\) 与 \(\dfrac ua\) 两处的 \(a\) 都由此而来。

Order to try / 使用顺序：try substitution first; improper fraction \(\to\) divide; irreducible quadratic denominator \(\to\) complete the square.  能换元先换元；假分式 \(\to\) 长除；分母无实根 \(\to\) 配方。

Example 13 / 例题 13（长除）

例 6.13.1

Evaluate

\[ \int\frac{x^2}{x+1}\,dx . \]
解 Solution

分子二次、分母一次——假分式，先长除。多项式除法与整数除法的步骤相同：每次用余下部分的最高次项除以除式的最高次项，得到商的一项，再乘回去、相减。

第一步：\(x^2\div x=x\)，商的第一项是 \(x\)。\(x(x+1)=x^2+x\)，从被除式中减去：\(x^2-(x^2+x)=-x\)。

第二步：对余下的 \(-x\) 重复：\(-x\div x=-1\)，商的第二项是 \(-1\)。\((-1)(x+1)=-x-1\)，减去：\(-x-(-x-1)=1\)。

第三步：余下的 \(1\) 是常数，次数低于除式 \(x+1\)，停止。商为 \(x-1\)，余数为 \(1\)，即 \(x^2=(x+1)(x-1)+1\)。两边除以 \(x+1\)（与 \(7=2\times3+1\) 写成 \(\frac72=3+\frac12\) 的道理相同）：

\[ \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1} . \]

（验算：\((x-1)(x+1)+1 = x^2-1+1 = x^2\) ✓）逐项积分：

\[ \int\frac{x^2}{x+1}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C . \]

答：\(\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C\)。判断方法：分子次数不低于分母，先除再积。

Where the \(\arctan\) Formula Comes From / \(\arctan\) 公式的推导

设 \(a>0\)。先从分母中提出 \(a^2\)：\(u^2+a^2=a^2\Bigl[\bigl(\tfrac ua\bigr)^2+1\Bigr]\)。再令 \(w=\dfrac ua\)，则 \(u=aw\)，\(du=a\,dw\)：

\[ \int\frac{du}{u^2+a^2} =\frac{1}{a^2}\int\frac{du}{\left(\frac ua\right)^2+1} =\frac{1}{a^2}\int\frac{a\,dw}{w^2+1} =\frac1a\arctan w+C =\frac1a\arctan\frac ua+C . \]

第三个等号用的是 6.8 节表中的 \(\displaystyle\int\frac{dw}{1+w^2}=\arctan w+C\)。\(\frac{1}{a^2}\) 与 \(du=a\,dw\) 中的 \(a\) 约去一个，剩下前面的 \(\frac1a\)；\(\arctan\) 里的 \(\frac ua\) 来自 \(w=\frac ua\)。\(a=1\) 时就是表中的公式本身。

Example 14 / 例题 14（配方）

例 6.13.2

Evaluate

\[ \int\frac{dx}{x^2+4x+13} . \]
解 Solution

判别式 \(16-52<0\)，分母无实根——配方：

\[ x^2+4x+13 = (x+2)^2 + 9 . \]

令 \(u = x+2\)（\(du=dx\)）：

\[ \int\frac{du}{u^2+9} = \frac13\arctan\frac{u}{3} + C = \frac13\arctan\!\left(\frac{x+2}{3}\right) + C . \]

答：\(\dfrac13\arctan\!\left(\dfrac{x+2}{3}\right)+C\)。 系数 \(\frac13\) 来自 \(a=3\)：前面的 \(\frac1a\) 与 \(\arctan\) 中的 \(\frac{u}{a}\) 都不能漏。

Practice / 随堂练习

Evaluate. / 计算下列积分。

  1. \(\displaystyle\int\frac{x^2+3x}{x+1}\,dx\)
    核对答案
    长除 \(\dfrac{x^2+3x}{x+1} = x+2-\dfrac{2}{x+1}\)： \(\dfrac{x^2}{2}+2x-2\ln|x+1|+C\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+6x+10}\)
    核对答案
    \((x+3)^2+1\)：\(\arctan(x+3)+C\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{x+5}{x^2+1}\,dx\) (Hint / 提示：split into two integrals; use \(u=x^2+1\) for the first and the \(\arctan\) formula for the second 拆成两个积分，第一个用换元 \(u=x^2+1\)，第二个用 \(\arctan\) 公式)
    核对答案
    \(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx+\int\frac{5}{x^2+1}dx = \frac12\ln\left(x^2+1\right)+5\arctan x+C\)

6.14分部积分Integration by Parts (BC)

\(\int x\,e^x\,dx\) 用换元法做不出来：它不是 \(f(g(x))\,g'(x)\) 的形式。新工具从积法则倒读而来： \((uv)' = u'v + uv'\) 两边积分移项，得

定理 6.14.1Integration by Parts / 分部积分
\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du . \]

Where it comes from / 来历：integrate the Product Rule \((uv)' = u'v + uv'\) on both sides to get \(uv = \int v\,du + \int u\,dv\), then rearrange—— 它就是积法则的积分版，正如换元是链式法则的积分版。

When to use / 何时用：the integrand is a product of two unlike functions (e.g. \(x\,e^x\), \(x\cos x\)) and substitution fails because neither factor is the other's derivative; a single function such as \(\ln x\) also works, with \(dv=dx\) (Example 16).  被积函数是“两类不同函数的乘积”、而换元又配不出 \(du\) 时；\(\ln x\) 这类单个函数也可以用，取 \(dv=dx\)（例题 16）。

How to choose / 如何选 \(u\)：pick \(u\) = the factor that gets simpler when differentiated; \(dv\) = the part you can integrate. Priority mnemonic LIATE:

Log（对数）\(>\) Inverse trig（反三角）\(>\) Algebraic（幂/多项式）\(>\) Trig（三角）\(>\) Exponential（指数）

排在前面的当 \(u\)。目标只有一个：把较难的 \(\int u\,dv\) 换成较容易的 \(\int v\,du\)—— 换完若更难，说明 \(u\) 与 \(dv\) 选反了，交换重来。

Example 15 / 例题 15

例 6.14.1

Evaluate

\[ \int x\,e^x\,dx . \]
解 Solution

选 \(u = x\)（求导后为 1，更简单），\(dv = e^x\,dx\)：

\[ du = dx, \qquad v = e^x . \]
\[ \int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = (x-1)\,e^x + C . \]

答：\((x-1)e^x + C\)。验算：求导得 \(e^x + (x-1)e^x = x\,e^x\) ✓

Example 16 / 例题 16（\(\ln x\) 的积分）

例 6.14.2

Evaluate

\[ \int \ln x\,dx . \]
解 Solution

看似没有“两部分”，把 \(dx\) 看作 \(dv\)：\(u = \ln x\)，\(dv = dx\)：

\[ du = \frac1x\,dx, \qquad v = x . \]
\[ \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C . \]

答：\(x\ln x - x + C\)。取 \(dv=dx\) 的方法同样适用于其他对数、反三角函数的积分。

Practice / 随堂练习

Evaluate by parts. / 用分部积分计算。

  1. \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)
    核对答案
    \(u=x,\ dv=\cos x\,dx\)：\(x\sin x-\int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\)
  2. \(\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx\)
    核对答案
    \(u=x,\ dv=e^{2x}dx,\ v=\frac12e^{2x}\)：\(\dfrac{x}{2}e^{2x}-\int\frac12e^{2x}\,dx = \dfrac{x}{2}e^{2x} - \dfrac14 e^{2x} + C\)
  3. (Challenge / 挑战) \(\displaystyle\int x^2 e^x\,dx\) (integrate by parts twice 分部两次)
    核对答案
    \(u=x^2\)：\(x^2e^x-\int 2xe^x\,dx\)，后者再分部一次得 \(2xe^x-2e^x\)：\((x^2-2x+2)\,e^x + C\)

6.15部分分式Partial Fractions (BC)

To integrate a rational function, split the fraction back into simple pieces, each of which integrates to a logarithm——有理函数的积分：把分式拆回加减，逐项变成 \(\ln\)。 Cover-up trick / 代值法：让每个因式轮流为零，即可求出系数。 （BC only tests non-repeating linear factors——只考不重复的一次因式。）

Where the Split Comes From / 拆分形式从哪里来

部分分式是通分的逆过程。先正向做一次通分：

\[ \frac{3}{x-3}+\frac{2}{x+1} =\frac{3(x+1)+2(x-3)}{(x-3)(x+1)} =\frac{5x-3}{(x-3)(x+1)} . \]

两个分母为一次式、分子为常数的分式相加，结果的分母是两个一次因式的乘积，分子的次数不超过 \(1\)。例题 17 是把这一步倒过来：已知右边，求左边的 \(3\) 和 \(2\)。所以拆分形式按分母的因式来设：每个一次因式对应一项，分子是待定的常数 \(A\)、\(B\)。

使用前要检查两点：

  1. 分母要先因式分解。例如练习 2 的分母 \(x^2-4\)，要先写成 \((x-2)(x+2)\)，才能设出两项。
  2. 分子的次数要低于分母的次数。分子次数不低于分母时（假分式），先用 6.13 节的长除法化成“多项式 \(+\) 分子次数较低的分式”，再拆分后一部分。

Example 17 / 例题 17

例 6.15.1

Evaluate

\[ \int \frac{5x-3}{(x-3)(x+1)}\,dx . \]
解 Solution

第一步（分解分母）：分母已是两个不同一次因式之积；分子次数低于分母，不必长除。

第二步（设拆分形式）：每个因式对应一项，设

\[ \frac{5x-3}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1} . \]

第三步（两边乘分母）：两边同乘 \((x-3)(x+1)\)。左边约去分母，剩 \(5x-3\)；右边第一项 \(\frac{A}{x-3}\cdot(x-3)(x+1)=A(x+1)\)，第二项同理得 \(B(x-3)\)：

\[ 5x-3 = A(x+1) + B(x-3) . \]

原式在 \(x=3\)、\(-1\) 处没有意义，但乘完以后两边都是一次多项式（图像是直线），在其余所有点都相等，只能是同一条直线，所以这个等式对所有 \(x\) 成立，下一步可以代入 \(x=3\)、\(-1\)。

第四步（代值求系数）：代入特殊值：\(x=3\)：\(12 = 4A \Rightarrow A=3\)；\(x=-1\)：\(-8 = -4B \Rightarrow B=2\)。 代 \(x=3\) 时 \(B(x-3)=0\)，只剩 \(A\)；代 \(x=-1\) 时只剩 \(B\)，这就是“让每个因式轮流为零”。另一种做法是展开右边对比系数：\(A+B=5\)，\(A-3B=-3\)，再解方程组。

第五步（积分）：每一项都是 \(\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C\) 的形式（\(u=x-3\) 或 \(x+1\)，\(du=dx\)）：

\[ \int\left(\frac{3}{x-3}+\frac{2}{x+1}\right)dx = 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1| + C . \]

答：\(3\ln|x-3|+2\ln|x+1|+C\)。代值法比对比系数快得多：让每个因式轮流为零。

Practice / 随堂练习

Evaluate by partial fractions. / 用部分分式计算。

  1. \(\displaystyle\int \frac{1}{x(x+2)}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{1/2}{x}-\dfrac{1/2}{x+2}\)：\(\dfrac12\ln|x| - \dfrac12\ln|x+2| + C\)
  2. \(\displaystyle\int \frac{1}{x^2-4}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{1/4}{x-2}-\dfrac{1/4}{x+2}\)：\(\dfrac14\ln|x-2| - \dfrac14\ln|x+2| + C\)
  3. \(\displaystyle\int \frac{x+4}{x(x-2)}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{x+4}{x(x-2)} = \dfrac{-2}{x}+\dfrac{3}{x-2}\)：\(-2\ln|x|+3\ln|x-2|+C\)

6.16反常积分Improper Integrals (BC)

积分区间伸到无穷时，把无穷写成极限：

定义 6.16.1Improper Integrals / 反常积分

Replace the infinite limit with a variable, then take a limit （把无穷写成极限，先积到 \(b\) 再放 \(b\to\infty\)）：

\[ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx . \]

If the limit is a finite number, the integral converges（收敛）to that value; otherwise it diverges（发散）。
Also improper: \(f\) unbounded at an endpoint—replace it by a variable, take a one-sided limit.
被积函数在端点处无界时也是反常积分：把该端点换成变量，取单侧极限。

The benchmark / 必须记住的结论（\(p\)-积分）：

\[ \int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx \quad\text{converges iff } p>1 \quad(\text{在 } p>1 \text{ 收敛，} p\le 1 \text{ 发散}). \]

它是第十章 \(p\)-级数判别法的基础。 Exam note / 阅卷提示：the limit step must be written out—— 极限步骤必须写出来，直接把 \(\infty\) 代入原函数是 BC 常见的扣分点。

Example 18 / 例题 18（\(p=2\) 与 \(p=1\) 的对比）

例 6.16.1

Determine whether each integral converges, and evaluate if it does:

\[ \text{(a)}\ \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \qquad \text{(b)}\ \int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx . \]
解 Solution

(a)

\[ \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right) = 1 . \]

收敛，值为 \(1\)。

(b)

\[ \lim_{b\to\infty}\Bigl[\ln x\Bigr]_1^b = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty . \]

发散。

答：(a) 收敛于 \(1\)；(b) 发散。\(\frac1x\) 趋于 \(0\) 太慢，面积没有上界；\(p=1\) 是收敛与发散的分界。

Infinitely Long, Finite Area / 无限长的区域，有限的面积

图 11 画出了例题 18 的两个区域，两者都向右无限延伸：

图 11  深色是从 1 到 b 的面积。b 向右移动（橙色箭头）时，左图的面积不超过 1，右图的面积没有上界
图 11  深色是从 \(1\) 到 \(b\) 的面积。\(b\) 向右移动（橙色箭头）时，左图的面积不超过 \(1\)，右图的面积没有上界

Deriving the \(p\)-Integral Result / \(p\)-积分结论的推导

\(p\ne1\) 时用幂法则：

\[ \int_1^b x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b=\frac{b^{1-p}-1}{1-p} . \]

所以 \(p>1\) 收敛、\(p\le1\) 发散，这就是定义框中的结论。\(p=2\) 时 \(\frac{1}{p-1}=1\)，与例题 18(a) 相同。

Example 19 / 例题 19

例 6.16.2

Evaluate

\[ \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx . \]
解 Solution
\[ \lim_{b\to\infty}\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_0^b = \lim_{b\to\infty}\left(-e^{-b}+1\right) = 0+1 = 1 . \]

答：收敛于 \(1\)。

When the Integrand Is Unbounded / 被积函数无界的情形

示范：\(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt x}\,dx\)。

第一步（找出无界的点）：\(x\to0^+\) 时 \(\dfrac{1}{\sqrt x}\to\infty\)，被积函数在下端点 \(0\) 处无界（在 \(0\) 处也没有定义），所以这是反常积分，不能直接用 FTC2。

第二步（把这个端点换成变量）：把 \(0\) 换成 \(a\)，先在 \([a,1]\) 上积分（\(0<a<1\)），再让 \(a\) 从右侧趋于 \(0\)：

\[ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/2}\,dx . \]

第三步（积分）：\(\displaystyle\int_a^1 x^{-1/2}\,dx=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1=2-2\sqrt a\)。

第四步（取极限）：\(\displaystyle\lim_{a\to0^+}\bigl(2-2\sqrt a\bigr)=2\)，积分收敛，值为 \(2\)。

这块区域在 \(x=0\) 附近无限高，面积却是有限的 \(2\)，与图 11 左图无限长而面积有限的情形相同。

A Discontinuity Inside the Interval / 区间内部的间断点

无界的点也可能在区间内部。看 \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,dx\)，如果直接套 FTC2：

\[ \Bigl[-\frac1x\Bigr]_{-1}^{1}=(-1)-(1)=-2 \qquad(\text{错误}) . \]

被积函数 \(\dfrac{1}{x^2}\) 处处为正，积分却得负数，说明这样算不对。原因是 FTC2 要求 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，而 \(\dfrac1{x^2}\) 在 \(x=0\) 处没有定义、无界。正确的做法是在 \(x=0\) 处拆成两段，每段都是端点处无界的反常积分：

\[ \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\int_{-1}^0\frac{dx}{x^2}+\int_0^1\frac{dx}{x^2} ,\qquad \int_0^1\frac{dx}{x^2}=\lim_{a\to0^+}\Bigl[-\frac1x\Bigr]_a^1=\lim_{a\to0^+}\Bigl(\frac1a-1\Bigr)=\infty . \]

后一段发散；同理前一段也发散。只要有一段发散，整个积分就发散。所以计算定积分之前，要先检查被积函数在积分区间内有没有无定义或无界的点。

Practice / 随堂练习

Determine convergence; evaluate if convergent. / 判断敛散，收敛的求出值。

  1. \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^3}\,dx\)
    核对答案
    \(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{2x^2}\Bigr]_1^b=\lim_{b\to\infty}\Bigl(\frac12-\frac{1}{2b^2}\Bigr)=\frac12\)，收敛
  2. \(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx\)
    核对答案
    \(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac12e^{-2x}\Bigr]_0^b=\lim_{b\to\infty}\Bigl(\frac12-\frac12e^{-2b}\Bigr)=\frac12\)，收敛

6.17AP 高频题型AP-Style Problems

Example 20: Accumulation from a Graph / 读图版累积函数（AP 常考题型）

例 6.17.1

The graph of \(f\) consists of line segments as shown. Let

\[ G(x) = \int_0^x f(t)\,dt . \]
互动图加载中…

Find \(G(2)\), \(G(3)\), \(G(4)\), and \(G'(3)\). At what \(x\) does \(G\) attain its maximum on \([0,4]\)?

解 Solution

\(G\) 的值 = 曲线下有向面积，逐段用几何：

\(G(2)\)：\([0,2]\) 上高 2 的矩形 \(= 4\)。

\(G(3)\)：再加 \([2,3]\) 的三角形（\(f\) 从 2 降到 0）\(= \frac12(1)(2) = 1\)，共 \(5\)。

\(G(4)\)：再加 \([3,4]\) 的负三角形 \(= -\frac12(1)(2) = -1\)，共 \(4\)。

\(G'(3)\)：FTC1 说 \(G' = f\)，读图 \(f(3) = 0\)。

最大值：\(G' = f\) 在 \(x=3\) 处由正变负——\(G\) 先增后减，最大在 \(x=3\)，\(G(3)=5\)。

答：\(G(2)=4\)，\(G(3)=5\)，\(G(4)=4\)，\(G'(3)=0\)；最大值在 \(x=3\)。 这道题综合了面积、FTC1 与第五章的一阶导数判别法。

Example 21: Riemann Sum FRQ / 表格黎曼和的完整问法

例 6.17.2

A car's velocity \(v(t)\) (m/s) is recorded:

\(t\) (s)\(0\)\(4\)\(6\)\(10\)
\(v(t)\) (m/s)\(8\)\(14\)\(18\)\(20\)

(a) Use a right Riemann sum with the three subintervals indicated by the table to approximate \(\displaystyle\int_0^{10} v(t)\,dt\), and interpret it with units. (b) Is your approximation an overestimate or underestimate if \(v\) is increasing?

解 Solution

(a) 宽度 \(4,2,4\)，右端点 \(v(4),v(6),v(10)\)：

\[ R = 14(4) + 18(2) + 20(4) = 56+36+80 = 172 . \]

含义：前 10 秒行驶的距离约为 172 米。

(b) \(v\) 递增 \(\Rightarrow\) 右端点是每段最高处 \(\Rightarrow\) 高估。 理由必须写出“递增 + 右端点”，只答“高估”不给分。

Practice / 随堂练习
  1. Use the table in Example 21 to compute the left Riemann sum. If \(v\) is increasing, is it an overestimate or an underestimate?
    用例题 21 的表格计算左黎曼和；若 \(v\) 递增，它是高估还是低估？
    核对答案
    \(L = 8(4)+14(2)+18(4) = 132\) m；\(v\) 递增，左和低估
  2. Use the graph in Example 20 to find \(G(1)\) and \(G'(1)\).
    用例题 20 的图求 \(G(1)\) 与 \(G'(1)\)。
    核对答案
    \(G(1) = 2\)（矩形）；\(G'(1) = f(1) = 2\)

6.18章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

  1. The definite integral is a limit of Riemann sums.
    定积分是黎曼和的极限。
    核对答案
    True（\(\int_a^b f=\lim\sum f(x_i)\Delta x\)）
  2. If \(a<b\), \(\displaystyle\int_a^b f\,dx\) gives signed area.
    当 \(a<b\) 时，该积分给出的是有向面积。
    核对答案
    True（\(x\) 轴上方记正、下方记负）
  3. In a definite-integral substitution you may keep the original limits and plug them into the antiderivative in \(u\).
    定积分换元时可以不换上下限、直接把原限代到 \(u\) 的原函数上。
    核对答案
    False（\(u\) 的原函数要代 \(u\) 的上下限；若用原来的限，须先换回 \(x\)）
  4. If \(a<b\) and \(f\) is increasing, a left Riemann sum underestimates \(\displaystyle\int_a^b f\).
    若 \(a<b\) 且 \(f\) 递增，左黎曼和低估该积分。
    核对答案
    True（\(f\) 递增时每段左端点的值最小，矩形都在曲线下方）
  5. (BC) \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx\) converges.
    该反常积分收敛。
    核对答案
    False（\(\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty\)，发散，\(p=1\)）

Part B: Riemann and Trapezoidal Sums / 黎曼和与梯形和

Using the table below and the subintervals it indicates, approximate \(\displaystyle\int_0^6 f\,dx\) three ways.
用下表所示的子区间，以三种方式近似 \(\displaystyle\int_0^6 f\,dx\)：

\(x\)\(0\)\(1\)\(3\)\(6\)
\(f(x)\)\(2\)\(4\)\(5\)\(8\)
  1. Left Riemann sum / 左黎曼和。
    核对答案
    \(2(1)+4(2)+5(3) = 25\)
  2. Right Riemann sum / 右黎曼和。
    核对答案
    \(4(1)+5(2)+8(3) = 38\)
  3. Trapezoidal sum / 梯形和。
    核对答案
    \(\dfrac{2+4}{2}(1)+\dfrac{4+5}{2}(2)+\dfrac{5+8}{2}(3) = 3+9+19.5 = 31.5\)

Part C: FTC Evaluation / 定积分计算

Evaluate. / 计算下列定积分。

  1. \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx\)
    核对答案
    \(8\)
  2. \(\displaystyle\int_1^4 2x\,dx\)
    核对答案
    \(\Bigl[x^2\Bigr]_1^4 = 15\)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\)
    核对答案
    \(1\)
  4. \(\displaystyle\int_1^{e^2}\frac{1}{x}\,dx\)
    核对答案
    \(2\)
  5. \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\)
    核对答案
    \(e-1\)
  6. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx\)
    核对答案
    \(1\)

Part D: FTC Part 1 / 累积函数求导

Find each derivative. / 求下列导数。

  1. \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^x \ln(1+t^2)\,dt\)
    核对答案
    \(\ln(1+x^2)\)
  2. \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3}\cos t\,dt\)
    核对答案
    \(3x^2\cos(x^3)\)
  3. \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^5 \sqrt{t+1}\,dt\)
    核对答案
    \(-\sqrt{x+1}\)

Part E: Substitution / 换元

Evaluate by substitution. / 用换元法计算。

  1. \(\displaystyle\int 3x^2\,(x^3+1)^4\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{(x^3+1)^5}{5}+C\)
  2. \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac12 e^{2x}+C\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+5}\,dx\)
    核对答案
    \(\ln\left(x^2+5\right)+C\)（\(x^2+5>0\)，可不加绝对值）
  4. \(\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx\)
    核对答案
    \(u=x^2\)：\(\Bigl[e^u\Bigr]_0^1 = e-1\)
  5. \(\displaystyle\int_0^{\pi/6}\cos(3x)\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac13\sin(3x)\Bigr|_0^{\pi/6} = \dfrac13\sin\dfrac{\pi}{2} = \dfrac13\)

Part F: Motion / 运动

A particle moves along the \(x\)-axis with velocity \(v(t)=t^2-4t+3\) (m/s) for \(0\le t\le 3\).
质点沿 \(x\) 轴运动，速度如上，\(0\le t\le 3\)：

  1. On what interval is the particle moving left? / 质点在哪个时间区间向左运动？
    核对答案
    \((1,3)\)：因为 \(1<t<3\) 时 \(v(t)=(t-1)(t-3)<0\)，质点向左运动

Part G (BC): Techniques / 积分技巧

Evaluate; for improper integrals, determine convergence. / 计算；反常积分需判断敛散。

  1. \(\displaystyle\int x\,e^{3x}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{x}{3}e^{3x}-\dfrac19 e^{3x}+C\)
  2. \(\displaystyle\int x\cos(2x)\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{x}{2}\sin(2x)+\dfrac14\cos(2x)+C\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{3x+5}{(x+1)(x-1)}\,dx\)
    核对答案
    \(\dfrac{3x+5}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{4}{x-1}\)：\(-\ln|x+1|+4\ln|x-1|+C\)
  4. \(\displaystyle\int_2^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\)
    核对答案
    \(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac1x\Bigr]_2^b=\lim_{b\to\infty}\Bigl(\frac12-\frac1b\Bigr)=\frac12\)，收敛
  5. \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{\sqrt x}\,dx\) (determine convergence, with reason / 判断敛散并说明)
    核对答案
    \(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\bigl(2\sqrt b-2\bigr)=\infty\)，发散（\(p=\frac12\le 1\)）

6.19本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

  1. 积分的本意：变化率的累积；“面积”是速率 \(\times\) 时间的图形表示。
  2. 定积分 = 黎曼和的极限；近似方法：左、右、中点、梯形（= 左右平均）。 高低估：单调看左右（增：左低右高），凹凸看梯形（上凹高估）。
  3. 有向面积：上正下负；net 积 \(f\)，total 积 \(|f|\)；规则图形直接用几何。
  4. 不定积分 = 全体原函数（\(+C\)）；积分表 = 导数表倒读，验算 = 求导。
  5. FTC2：\(\displaystyle\int_a^b f = F(b)-F(a)\)——极限化为减法； FTC1：\(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f = f(x)\)，复合上限乘 \(u'(x)\)、下限含 \(x\) 变号。
  6. 位移 \(\displaystyle\int v\)、路程 \(\displaystyle\int|v|\)：先找变号点分段。
  7. 换元四步：选 \(u\)、配 \(du\)、全部换成 \(u\)、换回 \(x\)（定积分换限则不必换回）。
  8. 有理式的两种代数方法：假分式先长除；无实根二次分母配方后归 \(\arctan\)。
  9. （BC）分部积分 \(\displaystyle\int u\,dv = uv-\int v\,du\)（LIATE 选 \(u\)）； 部分分式拆成 \(\ln\)；反常积分先写极限，\(p\)-积分 \(p>1\) 收敛。