微分方程

7.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 7? / 第七单元学什么？

很多自然规律不直接告诉你“某个量是多少”，只告诉你“它变化得多快”：人口增长快慢取决于现有人口，咖啡降温快慢取决于它比室温高多少。这类关于变化率的方程叫微分方程。本章回答三个问题：

1. What does it mean to “solve” an equation whose unknown is a function?  未知数是函数的方程，“解出来”是什么意思？
2. How do we see solutions without solving (slope fields), and solve when we can (separation)?  不会解时怎么“看”解（斜率场），能解时怎么解（分离变量）？
3. What do the two most famous models—exponential and logistic—predict?  指数模型与逻辑斯蒂模型各自预测怎样的增长？

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Verify that a function solves a differential equation.
   验证一个函数是微分方程的解。
2. Sketch and interpret slope fields; match fields to equations.
   绘制并解读斜率场；把斜率场与方程配对。
3. Solve separable differential equations, with and without initial conditions.
   求解可分离变量的微分方程（含初值问题及解的定义域）。
4. Model with exponential growth and decay.
   使用指数增长/衰减模型。
5. (BC) Analyze logistic growth.
   （BC）分析逻辑斯蒂增长。
6. (BC) Approximate solutions with Euler's method.
   （BC）用欧拉法数值近似解。

7.2引入：关于变化率的方程What Is a Differential Equation?

Scene: How Do Populations Grow? / 场景：人口如何增长

细菌培养皿里，每个细菌都在分裂——细菌越多，每小时新增的也越多。把这句话翻译成数学：

其中 \(P(t)\) 是 \(t\) 小时时的细菌数，\(k\) 是比例常数（\(k>0\)）。两边除以 \(P\) 得 \(k=\dfrac{dP/dt}{P}\)：新增速率（个/小时）除以现有数量（个），即平均每个细菌每小时带来的新增数量。

注意这个方程的奇特之处：它不告诉你 \(P\) 是多少，只告诉你 \(P\) 的变化率和 \(P\) 自己的关系。未知数不是一个数，而是一个函数 \(P(t)\)。

The Simplest Example / 最简单的例子

看方程 \(\dfrac{dy}{dx}=2x\)。它要求一个导数为 \(2x\) 的函数，也就是 \(2x\) 的原函数。由第六章 6.7 节，

对每个常数 \(C\) 都满足方程，这就是通解。它不是一个函数，而是一族曲线：\(C\) 每取一个值得到一条抛物线，各条之间上下平移（图 1）。再加上初始条件 \(y(0)=1\)，即要求曲线经过点 \((0,1)\)：\(1=0^2+C\)，\(C=1\)，得到特解 \(y=x^2+1\)，就是图 1 中加粗的一条。

所以求原函数就是在解最简单的一类微分方程 \(\dfrac{dy}{dx}=f(x)\)（右边只含 \(x\)）：直接积分，再用初始条件定 \(C\)，第六章 6.7 节例题 7 就是这样做的。本章的方程右边还会含未知函数本身，例如 \(\dfrac{dP}{dt}=kP\) 的右边含 \(P\)，不能直接对 \(t\) 积分，需要本章的新方法。这就是定义框中“第六章积分的推广”的含义。

7.3验证解Verifying Solutions

解方程之前先学会验证——代入，看两边是否相等。AP 常直接考这一步。

Example 1 / 例题 1

Example 2 / 例题 2

7.4斜率场Slope Fields

大多数微分方程解不出公式，但看得见解的形状：\(\dfrac{dy}{dx} = f(x,y)\) 在平面每一点都规定了一个斜率——在每点画一小段该斜率的线段，就得到斜率场。解曲线在每点都与该处线段相切。

为什么相切：设 \(y=y(x)\) 是方程的一个解，它的图像经过点 \((x_0,y_0)\)。解曲线在这一点的切线斜率是导数 \(\frac{dy}{dx}\) 在这一点的值；而 \(y(x)\) 是解，方程规定这个导数等于 \(f(x_0,y_0)\)，也就是斜率场在 \((x_0,y_0)\) 处线段的斜率。所以解曲线经过每一点时，方向都与该点的线段相同。画解曲线时，从给定的点出发，顺着线段的方向走，每到一处都按该处的线段确定方向。

Drawing a Slope Field / 动手画斜率场

示范：画 \(\frac{dy}{dx}=y-x\) 在九个点处的线段，再画经过 \((0,0)\) 的解曲线。

第一步（选点）：取 \(x=-1,0,1\) 与 \(y=-1,0,1\) 组成的九个点。

第二步（逐点算斜率）：右边 \(y-x\) 同时含 \(x\) 和 \(y\)，每个点都要把两个坐标一起代入，例如 \((1,-1)\) 处斜率 \(=-1-1=-2\)。列表（表中的位置与平面上的点一致）：

第三步（画线段）：在每个点画一小段以该点为中点、斜率为表中数值的线段：斜率 \(0\) 画成水平，斜率 \(\pm1\) 倾斜 \(45^\circ\)，斜率 \(\pm2\) 更陡。三个斜率为 \(0\) 的点都在直线 \(y=x\) 上。斜率同时依赖 \(x\) 和 \(y\)，所以同一列、同一行的线段都不平行。

第四步（画解曲线）：从 \((0,0)\) 出发，这里线段水平。向右走，曲线在直线 \(y=x\) 下方，\(y<x\)，斜率为负，曲线下降；向左走，曲线在 \(y=x\) 上方，\(y>x\)，斜率为正，即从左往右上升，所以左边的点也比 \((0,0)\) 低。解曲线在 \((0,0)\) 处最高（图 2）。它的准确方程是 \(y=x+1-e^x\)，可以代入验证（不要求会求）。这个方程不能分离变量（7.5 节），画斜率场是了解它的解的主要办法。

Example 3 / 例题 3（读场）

Example 4 / 例题 4（配对——AP MCQ 高频）

7.5分离变量Separation of Variables

AP 唯一要求会解的方程类型：能把 \(x\) 与 \(y\) 分别移到两边的方程。

Why Separation Works / 分离变量为什么成立

第一步把 \(dy\)、\(dx\) 分到两边，看起来是把 \(\dfrac{dy}{dx}\) 当成分数拆开。其实不拆也能得到同样的结果。可分离的方程总能写成

的形式，例如 \(\dfrac{dy}{dx}=xy\) 两边除以 \(y\) 得 \(\dfrac1y\cdot\dfrac{dy}{dx}=x\)。这里 \(y=y(x)\) 是 \(x\) 的函数，等式两边是同一个 \(x\) 的函数，所以两边对 \(x\) 的不定积分也相等：

左边正是第六章 6.12 节换元积分的形式：令 \(u=y(x)\)，则 \(du=\dfrac{dy}{dx}\,dx\)，左边变成 \(\int g(u)\,du\)，也就是 \(\int g(y)\,dy\)。于是

与“分离后两边积分”的结果完全一样。所以 \(g(y)\,dy=f(x)\,dx\) 这种写法，只是上面这一步的简写。

两边各积分一次，各带一个常数：\(G(y)+C_2=F(x)+C_3\)，移项得 \(G(y)=F(x)+(C_3-C_2)\)。两个任意常数的差仍是任意常数，记作 \(C\)，所以只在右边写一个 \(+C\) 就够了。

Example 5 / 例题 5

Equilibrium Solutions / 平衡解

例题 5 分离时两边除以 \(y\)，默认了 \(y\ne0\)。常数函数 \(y=0\) 满足方程（\(\frac{dy}{dx}=0=x\cdot0\)），却在除以 \(y\) 时被排除在外。这种使 \(\frac{dy}{dx}\) 恒等于 \(0\) 的常数解叫平衡解（equilibrium solution），斜率场中它所在的那一行线段全部水平。例题 5 中 \(C=0\) 恰好给出 \(y=0\)；一般地，除掉的因子等于 \(0\) 给出的常数解要单独检查（如 7.9 节例题 11 的 \(y=2\)）。

Example 6 / 例题 6（初值 + 定义域）

Choosing the Branch / 开方后选哪一支

例题 6 解出的 \(y\) 只有一个表达式。如果解出的是 \(y^2=\cdots\)，开方会得到正、负两支，要用初始条件选出一支。

示范：解初值问题 \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\)，\(y(0)=-3\)，并写出定义域。

第一步（分离并积分）：

第二步（定 \(C\)）：代入 \(x=0\)，\(y=-3\)：\(C=0+9=9\)，所以 \(x^2+y^2=9\)，正是例题 3 斜率场中的圆。

第三步（解出 \(y\) 并选支）：\(y^2=9-x^2\)，\(y=\pm\sqrt{9-x^2}\)。这是两个不同的函数：取正号是上半圆，在 \(x=0\) 处等于 \(3\)；取负号是下半圆，在 \(x=0\) 处等于 \(-3\)。特解必须满足 \(y(0)=-3\)，所以取负号：

选哪一支，看初始条件中 \(y\) 的正负：初值为负取负号，为正取正号。

第四步（定义域）：根号内要求 \(9-x^2\ge0\)，即 \(-3\le x\le3\)；但 \(x=\pm3\) 时 \(y=0\)，\(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\) 无定义，端点不能取。所以定义域是 \((-3,3)\)，它包含初始点 \(x=0\)，与例题 6 的要求一致。

7.6指数增长与衰减Exponential Growth and Decay

把引入节的 \(\dfrac{dP}{dt}=kP\) 用分离变量正式解决：

最后一步展开写：两边取指数得 \(|P|=e^{C_1}e^{kt}\)（同例题 5）。数量 \(P\) 是正数，\(|P|=P\)，绝对值可以直接去掉，得 \(P=Ce^{kt}\)，其中 \(C=e^{C_1}>0\)。代入 \(t=0\)：\(P(0)=Ce^0=C\)，所以常数 \(C\) 就是初始数量，记作 \(P_0\)。

Example 7 / 例题 7（倍增）

The Meaning of \(k\); \(t_2\) and \(t_{1/2}\) / \(k\) 的含义、倍增时间与半衰期

\(k\) 的含义：方程两边除以 \(P\) 得 \(\frac{dP/dt}{P}=k\)，即变化率与当前数量之比是常数。所以 \(k\) 表示每单位时间按当前数量的固定比例变化，\(k>0\) 时增加，\(k<0\) 时减少。例如随堂练习 2 中 \(5\%\) 的连续利率（continuous interest）就是 \(k=0.05\)：余额每年增长的速率始终是当时余额的 \(5\%\)。

倍增时间：令 \(P_0e^{kt}=2P_0\)，两边除以 \(P_0\) 得 \(e^{kt}=2\)，取自然对数 \(kt=\ln2\)，所以 \(t_2=\frac{\ln2}{k}\)。\(P_0\) 在第一步就约掉了：无论从多少开始，翻一倍所需的时间都相同。半衰期同理：令 \(P_0e^{kt}=\frac12P_0\)，得 \(kt=\ln\frac12=-\ln2\)，\(t=-\frac{\ln2}{k}=\frac{\ln2}{|k|}\)（\(k<0\)）。

以 \(2\) 为底的写法：由 \(t_2=\frac{\ln2}{k}\) 得 \(k=\frac{\ln2}{t_2}\)，再用 \(e^{\ln2}=2\)：

每过一个倍增时间，指数 \(\frac{t}{t_2}\) 增加 \(1\)，\(P\) 乘以 \(2\)。例题 7 中 \(e^{25\ln2/10}=2^{25/10}=2^{2.5}\) 就是这一步。衰减时 \(k=-\frac{\ln2}{t_{1/2}}\)，同理得 \(P_0e^{kt}=P_0\left(\frac12\right)^{t/t_{1/2}}\)；例题 8 的 \(80\left(\frac12\right)^{t/30}\) 是 \(P_0=80\)、\(t_{1/2}=30\) 的情形。

Example 8 / 例题 8（半衰期）

7.7逻辑斯蒂增长Logistic Growth (BC)

指数模型的局限：它预测数量无限增长，而真实环境有承载上限，资源不足时增长会变慢。

Why the Equation Has This Form / 方程为什么是这个形式

把右边看成两部分的乘积：\(kP\) 就是 7.6 节的指数模型；另一部分

中 \(L-P\) 是还能容纳的数量，所以 \(1-\frac PL\) 是剩余容量占承载量的比例。\(P\) 很小时这个比例接近 \(1\)，增长几乎不受限制；\(P\) 越接近 \(L\)，比例越接近 \(0\)，增长被压得越低；\(P=L\) 时比例为 \(0\)，不再增长。与 7.6 节对照：指数模型中 \(\dfrac{dP/dt}{P}=k\) 是常数；这里 \(\dfrac{dP/dt}{P}=k\left(1-\dfrac PL\right)\)，随 \(P\) 增大而减小。

Why Growth Is Fastest at \(L/2\) / 为什么增长最快在 \(L/2\)

把右边展开：

把 \(\frac{dP}{dt}\) 看成 \(P\) 的函数，它是二次函数，\(P^2\) 的系数 \(-\frac kL<0\)，图像是开口向下的抛物线（图 4 左）。令它等于 \(0\)：\(kP\left(1-\frac PL\right)=0\)，零点是 \(P=0\) 和 \(P=L\)。抛物线关于两个零点的中点对称，顶点在 \(P=\frac{0+L}{2}=\frac L2\)，所以 \(P=\frac L2\) 时 \(\frac{dP}{dt}\) 最大，最大值是 \(k\cdot\frac L2\cdot\frac12=\frac{kL}{4}\)。

注意两张图的横轴不同：图 4 左图横轴是 \(P\)、纵轴是 \(\frac{dP}{dt}\)，表示增长速率怎样随数量变化；右图和图 3 的横轴是时间 \(t\)、纵轴是 \(P\)。左图的最高点 \(P=\frac L2\) 对应右图 S 曲线上最陡的点：此前 \(P<\frac L2\)，\(P\) 增大时 \(\frac{dP}{dt}\) 也增大，曲线上凹；此后 \(\frac{dP}{dt}\) 减小，曲线下凹。所以 \(P=\frac L2\) 是拐点。用链式法则写出来就是 \(\dfrac{d^2P}{dt^2}=k\left(1-\dfrac{2P}{L}\right)\dfrac{dP}{dt}\)：当 \(0<P<L\) 时，它在 \(P=\frac L2\) 处由正变负。

Three Kinds of Initial Values / 三种初值

\(\frac{dP}{dt}\) 的正负可以从图 4 左图直接读出，按初值分三种情形（图 4 右）：

1. \(0<P(0)<L\)：\(\frac{dP}{dt}>0\)，\(P\) 上升，并越来越接近 \(L\)（图 3 的 S 曲线）；
2. \(P(0)>L\)：\(1-\frac PL<0\)，\(\frac{dP}{dt}<0\)，\(P\) 下降，从上方趋近 \(L\)；
3. \(P(0)=0\) 或 \(P(0)=L\)：\(\frac{dP}{dt}=0\)，\(P\) 保持不变。常数函数 \(P=0\) 和 \(P=L\) 都是平衡解（7.5 节）：没有个体时不会增长；数量正好等于承载量时也不再变化。

为什么从下方出发的解不会越过 \(L\)：要越过 \(L\)，必须先在某一时刻 \(t_1\) 到达 \(P=L\)；而经过点 \((t_1,L)\) 的解曲线已经有一条，就是平衡解 \(P=L\)。对逻辑斯蒂方程，经过每一点的解曲线只有一条，两条解曲线不会在一点相遇，所以 \(P\) 只能越来越接近 \(L\)，不会到达，更不会越过。同理，从上方下降的解也不会降到 \(L\) 以下。

Example 9 / 例题 9

7.8欧拉法Euler's Method (BC)

解不出公式时，用切线分步近似：从当前点出发，按微分方程给的斜率走一小步，到新点再求斜率。

Where the Formula Comes From / 公式的来由

在点 \((x_n,y_n)\) 处，解曲线的切线斜率是 \(\dfrac{dy}{dx}=f(x_n,y_n)\)，由方程直接算出。沿这条切线向右走水平距离 \(h\)，竖直方向的变化是“斜率 \(\times\) 水平距离”\(=h\cdot f(x_n,y_n)\)，所以

这就是 \(y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)\)。它是第四章 4.6 节的线性近似（在 \(x=a\) 附近用切线 \(y(a)+y'(a)(x-a)\) 代替曲线）：取 \(a=x_n\)、\(x-a=h\)，其中 \(y'(x_n)\) 由方程给出，等于 \(f(x_n,y_n)\)。每一步都用切线代替曲线走一小段，到新点后重新算斜率，所以得到的是一条折线。图 5 画的是下面例题 10 的两步。

Example 10 / 例题 10

Why Example 10 Underestimates / 例题 10 为什么是低估

真解从哪里来：\(\dfrac{dy}{dx}=x+y\) 不能分离变量（7.5 节），真解 \(y=2e^x-x-1\) 要用 AP 范围以外的方法求出，但可以代入验证：

两边相等，且 \(y(0)=2-0-1=1\)，满足初始条件。所以 \(y(1)=2e-2\approx3.44\)。

判断依据：对 \(\dfrac{dy}{dx}=x+y\) 两边再对 \(x\) 求导。\(y\) 是 \(x\) 的函数，\(y\) 的导数要写成 \(\dfrac{dy}{dx}\)（与第三章 3.8 节隐函数的二阶导数相同）：

从 \((0,1)\) 出发，\(x\ge0\) 且 \(y>0\)，所以 \(\frac{dy}{dx}=x+y>0\)，\(y\) 一直增大，在 \(0\le x\le1\) 上 \(y\ge1\)，于是 \(\frac{d^2y}{dx^2}=1+x+y>0\)，解曲线上凹。上凹的曲线位于切线上方（4.6 节），所以沿切线走的第一步落在曲线下方（\(1.5\)，真值约 \(1.80\)）；第二步从这个偏低的点出发，所用斜率 \(2\) 又小于真解在 \(x=0.5\) 处的斜率（约 \(2.30\)），差距进一步增大。所以欧拉法低估。反过来，解曲线下凹时，欧拉法高估。

7.9AP 高频题型AP-Style Problems

Example 11: Full FRQ / 分离变量完整流程

Example 12: Model Recognition / 认模型（MCQ）

7.10章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. \(y=Ce^{kt}\) is the general solution of \(\dfrac{dy}{dt}=ky\).
   对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(\frac{d}{dt}(Ce^{kt})=kCe^{kt}=ky\)）
2. Each little segment's slope in a slope field comes from plugging that point into the differential equation.
   对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   True（该点线段斜率 \(=f(x_0,y_0)\)）
3. \(\dfrac{dy}{dx} = x+y\) is separable.
   可以分离变量，对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   False（\(x+y\) 不能写成 \(f(x)\,g(y)\)）
4. (BC) Logistic growth is fastest at \(P=L\).
   对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   False（最快在 \(P=\frac L2\)）
5. (BC) Smaller step sizes usually make Euler's method more accurate.
   对吗？
   TrueFalse
   核对答案

   True（\(h\) 越小，每步沿切线走得越短，偏离越小）

Part B: Verify and Read Fields / 验证与读场

1. Verify that \(y = 5e^{2x}\) satisfies \(\dfrac{dy}{dx} = 2y\).
   验证。
   核对答案

   \(y'=10e^{2x}=2y\) ✓
2. Where are the segments of \(\dfrac{dy}{dx} = x(y-1)\) horizontal?
   哪些点处线段水平？
   核对答案

   \(x=0\)（\(y\) 轴）与 \(y=1\)（水平线）上的点
3. All segments in the same column are parallel. Which variable appears on the right side?
   方程右端只含哪个变量？
   核对答案

   只含 \(x\)

Part C: Separation of Variables / 分离变量

1. Find the general solution: \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x}\) / 求通解。
   核对答案

   \(\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x} \Rightarrow \ln|y| = \ln|x|+C_1 \Rightarrow y = Cx\)
2. Find the general solution: \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}\) / 求通解。
   核对答案

   \(\dfrac{y^2}{2} = \dfrac{x^3}{3}+C_1\)，即 \(y^2 = \dfrac{2x^3}{3}+C\)
3. Solve the IVP: \(\dfrac{dy}{dx} = 4xy\), \(y(0)=3\). / 解初值问题。
   核对答案

   \(y = 3e^{2x^2}\)（定义域全体实数）
4. Solve the IVP: \(\dfrac{dy}{dx} = x\,e^{-y}\), \(y(0)=0\). / 解初值问题。
   核对答案

   \(e^y = \dfrac{x^2}{2}+1\)，\(y = \ln\left(\dfrac{x^2}{2}+1\right)\)（\(\frac{x^2}{2}+1>0\) 恒成立，定义域全体实数）

Part D: Exponential Models / 指数模型

1. A quantity doubles in 8 years. Find \(k\).
   求 \(k\)。
   核对答案

   \(k = \dfrac{\ln2}{8}\)
2. Half-life 20 days, starting at 100 g. How much remains after 60 days?
   60 天后剩多少？
   核对答案

   3 个半衰期：\(100\to50\to25\to12.5\) g
3. Continuous interest at \(6\%\): how long to double?
   翻倍需要多久？
   核对答案

   \(\dfrac{\ln2}{0.06} = \dfrac{50\ln2}{3} \approx 11.6\) 年

Part E (BC): Logistic and Euler / 逻辑斯蒂与欧拉法

1. \(\dfrac{dP}{dt} = 0.05P\left(1-\dfrac{P}{1200}\right)\)，\(P(0)=200\)：find \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}P\) and the \(P\) of fastest growth.
   求极限与增长最快时的 \(P\)。
   核对答案

   \(\lim = 1200\)；最快 \(P=600\)
2. Use Euler's method (\(h=0.5\), two steps) to approximate \(y(1)\) for \(\dfrac{dy}{dx} = x - y\), \(y(0)=2\).
   两步近似 \(y(1)\)。
   核对答案

   第一步斜率 \(0-2=-2\)：\(y(0.5)\approx 2-1 = 1\)；第二步斜率 \(0.5-1=-0.5\)：\(y(1)\approx 1-0.25 = 0.75\)
3. Why does Euler underestimate \(y(1)\) in Example 10? Explain via concavity.
   为什么低估？用凹凸性解释。
   核对答案

   \(\frac{d^2y}{dx^2}=1+\frac{dy}{dx}=1+x+y\)，在 \(0\le x\le1\)、\(y\ge1\) 时 \(\frac{d^2y}{dx^2}>0\)，解曲线上凹，切线在曲线下方； 欧拉法每步沿切线前进，所以近似值 \(2.5\) 低于真值 \(2e-2\approx3.44\)，是低估

7.11本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 微分方程 = 关于变化率的方程，解是函数；验证 = 代入求导对两边。
2. 斜率场：每点按方程画小线段；读场三步（零斜率处、竖直处、象限符号）； 配对规则：列同 \(\to\) 只含 \(x\)，行同 \(\to\) 只含 \(y\)。
3. 分离变量四步：分离 → 积分（+C）→ 定 \(C\) → 解出 \(y\)； 取指数后 \(C\) 变乘法常数；特解要选支、给含初始点的定义域。
4. 指数模型 \(\frac{dP}{dt}=kP \iff P=P_0e^{kt}\)；倍增/半衰 \(=\frac{\ln2}{|k|}\)； 标志：“rate proportional to amount”。
5. （BC）逻辑斯蒂：\(\lim = L\)（趋近不到达）、最快在 \(\frac{L}{2}\)（拐点）、S 曲线。
6. （BC）欧拉法：\(y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)\)，用当前点斜率，列表推进； 解上凹时低估、下凹时高估。