积分的应用

8.1单元总览Unit Overview

What Do We Learn in Unit 8? / 第八单元学什么？

第六章学习了定积分的计算，本章把它用于几类问题。所有应用都遵循同样的步骤——切片、写出每片的量、积分：

1. Averages and accumulation: what is the “average” of a continuously changing quantity? How do we recover position from velocity?  平均值与累积：连续变化的量怎么求“平均”？位置怎么从速度还原？
2. Area between curves: each slice has height (top \(-\) bottom).  曲线间面积：每片高度是“上减下”。
3. Volumes: slices that are discs, washers, or known cross-sections.  体积：切出来的片是圆盘、垫圈或已知形状的截面。
4. (BC) Arc length: summing the lengths of small pieces of a curve.  （BC）弧长：把曲线分成小段，再把长度相加。

Learning Objectives / 学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. Compute the average value of a function on an interval.
   求函数在区间上的平均值。
2. Recover position from velocity; solve accumulation problems in context.
   由速度还原位置；解情境累积问题。
3. Find areas between curves (vertical and horizontal slices).
   求曲线间面积（竖切与横切）。
4. Find volumes by discs, washers (about the \(x\)-axis or a horizontal line \(y=k\)), and known cross-sections.
   用圆盘法、垫圈法（绕 \(x\) 轴或水平直线 \(y=k\)）与已知截面法求体积。
5. (BC) Set up and evaluate arc length integrals.
   （BC）建立并计算弧长积分。

8.2函数的平均值Average Value

一天的气温连续变化，“今天平均气温”是什么意思？离散数据求平均是“加起来除以个数”；连续情形把“加”换成积分、“个数”换成区间长度：

Example 1 / 例题 1

Why Some Point Attains the Average / 为什么一定有一点取到平均值

矩形的面积等于曲线下的面积，所以曲线不可能处处高于矩形的上边（那样曲线下的面积比矩形大），也不可能处处低于上边。除非 \(f\) 是常数（这时每一点都取到平均值），曲线一定有一段在上边之下、一段在上边之上。\(f\) 连续，图像从上边之下走到上边之上，中途一定与上边相交（介值定理，第一章 1.13 节），交点的横坐标 \(c\) 满足 \(f(c)=f_{\text{avg}}\)。这就是定义框中的积分中值定理。 在图 1 中，\(0\le x<\sqrt3\) 时 \(x^2<3\)，曲线在上边之下；\(\sqrt3<x\le3\) 时 \(x^2>3\)，曲线在上边之上；曲线在 \(x=\sqrt3\) 处穿过上边，这就是例题 1 中的 \(c=\sqrt3\)。曲线高出上边的面积与上边之下的缺口面积相等（都是 \(2\sqrt3\)），高出的部分正好填满缺口，这就是“抹平”的含义。

Average Value vs. Average Rate of Change / 平均值与平均变化率

这两个量都叫“平均”，算的东西不同：

• 平均值 \(\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)：\(f\) 本身的值的平均，单位与 \(f\) 相同。例如一天气温的平均值，单位是 \(^\circ\)C。
• 平均变化率 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)：\(f\) 变化快慢的平均，即两端点连线（割线）的斜率（第二章 2.2 节），单位是“\(f\) 的单位 / \(x\) 的单位”。例如气温平均每小时升高几度，单位是 \(^\circ\)C/小时。

例如 \(f(x)=x^2\) 在 \([-1,1]\) 上：平均值是 \(\frac12\int_{-1}^1x^2\,dx=\frac13\)，平均变化率是 \(\frac{1-1}{1-(-1)}=0\)，两者不同。 两者的联系是：对 \(f'\) 求平均值，由 FTC2（6.9 节），

即 \(f'\) 的平均值等于 \(f\) 的平均变化率。上例中 \(f'(x)=2x\) 在 \([-1,1]\) 上的平均值是 \(\frac12\int_{-1}^1 2x\,dx=0\)，正是 \(f\) 的平均变化率。把积分中值定理用于连续的 \(f'\)，得到的就是第五章 5.2 节的中值定理：存在 \(c\) 使 \(f'(c)\) 等于平均变化率。

8.3由速度还原位置与情境累积Position from Velocity; Accumulation

这是第六章净变化定理在情境题中的用法，也是 AP FRQ 第 1、2 题常用的公式。 推导只需一步：位置 \(s(t)\) 的导数是速度，\(s'(t)=v(t)\)，即 \(s\) 是 \(v\) 的一个原函数。由 6.11 节的净变化定理，

速度的积分等于这段时间内位置的变化（位移）。把 \(s(a)\) 移到等号另一边，就得到下面的累积公式：终点位置 \(=\) 起点位置 \(+\) 位移。

积分的单位是被积函数的单位乘以 \(t\) 的单位。按 6.3 节的黎曼和，把时间分成小段，和式中的每一项（如 \(v(t_i)\,\Delta t\)）是“速率 \(\times\) 一小段时间”，即这一小段时间内的变化量。例如流入速率的单位是升/分，\(\Delta t\) 的单位是分，乘积的单位是 升/分 \(\times\) 分 \(=\) 升。各小段的变化量加起来就是总变化量，单位仍是升，所以能和起始水量相加。

Example 2 / 例题 2

Example 3 / 例题 3（情境题）

The Amount at Any Time: \(W'(t)=r(t)\) / 任意时刻的水量与 \(W'(t)=r(t)\)

例题 3 只求了 \(t=4\) 时的水量。把终点 \(4\) 换成变量 \(t\)，就得到任意时刻的水量：

积分变量改写为 \(u\)，因为 \(t\) 已经表示终点（同 6.10 节）。\(W(0)\) 是常数，导数为 \(0\)；第二项是 6.10 节的累积函数，由 FTC1，它的导数是 \(r(t)\)。所以

即水量的变化率就是题目给的速率。于是不必求出 \(W(t)\)，直接看 \(r(t)\) 就能用第五章的方法分析水量：

• \(r(t)>0\) 时水量增加，\(r(t)<0\) 时水量减少（5.3 节）；
• \(r\) 由正变负的时刻，水量取得极大值（5.4 节一阶导数判别法）；
• 求某段时间内水量的最大值、最小值：比较 \(r(t)=0\) 的时刻和两个端点处的 \(W\) 值（5.5 节候选点法）。

Rate In Minus Rate Out / 流入减流出（AP 常考题型）

FRQ 常同时给出流入速率 \(r_{\text{in}}(t)\) 和流出速率 \(r_{\text{out}}(t)\)，水量的变化率是两者之差：\(W'(t) = r_{\text{in}}(t) - r_{\text{out}}(t)\)。

例如：水箱在 \(t=0\) 时有 \(20\) 升水，进水速率 \(r_{\text{in}}(t)=4+t\)，出水速率 \(r_{\text{out}}(t)=3t\)（升/分），\(0\le t\le3\)。

第一步：净速率。\(W'(t)=(4+t)-3t=4-2t\)。

第二步：\(t=3\) 时的水量。

第三步：何时水量最大。\(W'(t)=4-2t\) 在 \(0\le t<2\) 时为正（进水比出水快，水量增加），在 \(2<t\le3\) 时为负（水量减少），所以 \(t=2\) 时取得极大值。再与端点比较：\(W(0)=20\)，\(W(2)=20+\int_0^2(4-2t)\,dt=24\)，\(W(3)=23\)。所以 \(t=2\) 时水量最大，为 \(24\) 升。此时 \(r_{\text{in}}(2)=r_{\text{out}}(2)=6\)：水量最大的时刻，正是进水速率等于出水速率的时刻。

图 2 左是净速率 \(r(t)=4-2t\) 的图像：\(t\) 轴上方的面积 \(4\) 是前 2 分钟增加的水量，下方的面积 \(1\) 是后 1 分钟减少的水量，净变化 \(4-1=3\)，就是第二步的积分（6.5 节的有向面积）。图 2 右是水量 \(W(t)\)：\(r>0\) 时上升，\(r<0\) 时下降，在 \(r=0\) 的 \(t=2\) 处最高。

8.4曲线间面积Area Between Curves

每一竖条的高度是上曲线减下曲线，积分即得两曲线之间的面积：

Example 4 / 例题 4

Why “Top Minus Bottom” / 为什么是“上减下”

把区域竖着切成许多宽 \(\Delta x\) 的细条（例题 4 的图中画了一条）。在 \(x\) 处，细条的上端在上曲线上，下端在下曲线上，高度是两个纵坐标之差 \(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\)，面积约为 \(\bigl[\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\bigr]\Delta x\)。把所有细条的面积加起来就是 6.3 节的黎曼和，\(\Delta x\to0\) 时得到定义框中的积分。 细条的高度是两个纵坐标的差，与 \(x\) 轴在哪里无关：例如某处上曲线的值是 \(-1\)、下曲线的值是 \(-3\)，细条高 \((-1)-(-3)=2\)，仍是正数。所以区域的一部分甚至全部在 \(x\) 轴下方时，“上减下”照样成立，不需要另加绝对值或负号。

Example 5 / 例题 5（横切）

Why Example 5 Uses Horizontal Slices / 例题 5 为什么横切

图 3 左是例题 5 的区域。横切时，每条横条的左端都在抛物线 \(x=y^2\) 上，右端都在直线 \(x=y+2\) 上，长 \((y+2)-y^2\)、宽 \(dy\)，一个积分就够了。

如果改用竖切（图 3 右），先要把 \(x=y^2\) 解成上、下两支 \(y=\sqrt x\) 和 \(y=-\sqrt x\)，直线写成 \(y=x-2\)。竖条的上端总在 \(y=\sqrt x\) 上，下端却在交点 \((1,-1)\) 处换了曲线：\(0\le x\le1\) 时在 \(y=-\sqrt x\) 上，\(1\le x\le4\) 时在 \(y=x-2\) 上。所以竖切要拆成两个积分：

结果相同，但计算多了不少。一般地，竖条的上端或下端在中途换了曲线，竖切就要分段；这时如果横条的两端始终在同两条曲线上，就改用横切。

More Than Two Intersections / 交点多于两个怎么办

曲线相交三次以上时，上下位置会在中途交换——必须逐段判断、分段积分。 例如 \(y=x^3\) 与 \(y=x\) 交于 \(x=-1,\,0,\,1\)：在 \([-1,0]\) 上 \(x^3\) 在上（代 \(x=-\tfrac12\)： \(-\tfrac18 > -\tfrac12\)），在 \([0,1]\) 上直线在上。

若只用一个积分计算整个区间，结果为 \(0\)——两块面积正负抵消，这正是必须分段的原因。

8.5体积：圆盘法Volumes: Disc Method

把曲线下的区域绕 \(x\) 轴旋转一周，切成薄片——每片是一个圆盘，半径就是曲线高度。

图 4 左是 \(y=\sqrt x\)（\(0\le x\le4\)）下方的区域（例题 6 的区域）。在 \(x\) 处取一条宽 \(dx\) 的竖条：下端在 \(x\) 轴上，上端在曲线上，高 \(f(x)\)。区域绕 \(x\) 轴旋转一周时，竖条上端离轴的距离是 \(f(x)\)，它转出一个半径为 \(f(x)\) 的圆；整条竖条转出一个半径 \(R=f(x)\)、厚 \(dx\) 的薄圆盘（图 4 右）。

薄圆盘就是一个很扁的圆柱，体积 \(=\) 底面积 \(\times\) 厚度 \(=\pi R^2\cdot dx=\pi\bigl[f(x)\bigr]^2dx\)。整个立体由 \(x=a\) 到 \(x=b\) 的这些圆盘叠成，把各片的体积加起来（6.3 节黎曼和），\(dx\to0\) 时就是下面的积分：

Example 6 / 例题 6

Revolving About the \(y\)-Axis / 绕 \(y\) 轴旋转

绕 \(y\) 轴旋转时，圆盘垂直于 \(y\) 轴，是水平放置的，厚度是 \(dy\)；半径是区域在高度 \(y\) 处到 \(y\) 轴的水平距离，要写成 \(y\) 的函数。 例如：\(y=x^2\)、\(y\) 轴与直线 \(y=4\) 在第一象限围成的区域，绕 \(y\) 轴旋转。

第一步：写出半径。在高度 \(y\) 处横切，圆盘的半径是曲线上该高度的点的横坐标。由 \(y=x^2\)（\(x\ge0\)）解出 \(x=\sqrt y\)，所以 \(R(y)=\sqrt y\)。

第二步：确定上下限。区域从 \(y=0\) 到 \(y=4\)，上下限用 \(y\) 的值 \(0\) 和 \(4\)。

第三步：积分。

这个区域与例题 6 的区域关于直线 \(y=x\) 对称，旋转出的立体形状相同，所以体积也是 \(8\pi\)。

8.6体积：垫圈法Volumes: Washer Method

区域夹在两条曲线之间时，旋转出的薄片中间有洞——垫圈（washer）：大圆减小圆。

每一片垫圈的正面是一个圆环（图 5）：外圆半径 \(R\)，内圆半径 \(r\)。圆环面积 \(=\) 大圆面积 \(-\) 小圆面积 \(=\pi R^2-\pi r^2\)，乘以厚度 \(dx\) 就是这一片的体积 \(\pi\bigl(R^2-r^2\bigr)dx\)；与圆盘法一样，把各片加起来就是积分。\(R-r\) 只是圆环的宽度（两圆之间的距离），\(\pi(R-r)^2\) 并不是圆环的面积：例如 \(R=2\)、\(r=1\) 时，圆环面积是 \(\pi(4-1)=3\pi\)，而 \(\pi(R-r)^2=\pi\)。

Example 7 / 例题 7

Example 8 / 例题 8（绕平移轴）

例 8.6.2

The region under \(y=\sqrt x\) (\(0\le x\le 4\)) is revolved about the line

\[ y = -1 . \]

Find the volume.

解 Solution

区域贴着 \(x\) 轴，但旋转轴是 \(y=-1\)，区域与轴之间隔着一条宽 \(1\) 的空隙（\(-1<y<0\)）。旋转时空隙也转一周，成为立体中间半径为 \(1\) 的洞（图 6），所以竖条转出的是垫圈，不是圆盘。

轴下移了 1，所有半径都是到 \(y=-1\) 的距离： 外半径 \(R = \sqrt x - (-1) = \sqrt x + 1\)；区域下边界 \(y=0\) 到轴的距离 \(r = 1\)。

\[ V = \pi\int_0^4\Bigl[\left(\sqrt x+1\right)^2 - 1^2\Bigr]dx = \pi\int_0^4\bigl(x + 2\sqrt x\bigr)dx = \pi\left(8 + \frac{32}{3}\right) = \frac{56\pi}{3} . \]

答：\(\dfrac{56\pi}{3}\)。绕平移轴的要点：半径 = 曲线到轴的距离 （\(y=k\) 轴：\(|f(x)-k|\)），其余步骤不变。

轴在区域上方时，远近对调。例如把例题 8 的区域绕 \(y=3\) 旋转：轴在区域上方，离轴较远的是下边界 \(y=0\)，外半径 \(R=3-0=3\)；较近的是曲线，内半径 \(r=3-\sqrt x\)，所以 \({V=\pi\int_0^4\bigl[3^2-(3-\sqrt x)^2\bigr]dx}\) \({=\pi\int_0^4\bigl(6\sqrt x-x\bigr)dx}\) \({=24\pi}\)。总之，\(R\) 是到较远边界的距离，\(r\) 是到较近边界的距离；先看轴在区域的上方还是下方，再决定哪条边界给出外半径。

8.7已知截面的体积Known Cross-Sections

不经旋转也能得到立体：给一块平面底座，在垂直于 \(x\) 轴的每个位置立起一个指定形状的截面（正方形、半圆、三角形……），再对截面面积积分。

图 7 左是例题 9 的立体：底座是 \(y=\sqrt x\) 与 \(x\) 轴之间（\(0\le x\le4\)）的区域，平放在 \(xy\) 平面上；在每个 \(x\) 处，垂直于 \(x\) 轴立起一个正方形。正方形的底边横跨底座，从下边界 \(y=0\) 到上边界 \(y=\sqrt x\)，所以边长 \(s=\sqrt x-0\)，就是底座在该处的宽度。\(x\) 越大底座越宽，正方形也越大；所有这样的正方形排在一起，组成整个立体。

在 \(x\) 处切下厚 \(dx\) 的一片，它近似一块底面积 \(A(x)\)、厚 \(dx\) 的薄板，体积约为 \(A(x)\,dx\)。把各片加起来，\(dx\to0\) 时就是定义框中的积分。圆盘法是它的特例：截面是半径 \(R\) 的圆，\(A(x)=\pi R^2\)。

表中两种三角形的面积公式这样得出（\(s\) 都是落在底座上的那条边）：

• 等边三角形：从顶点向底边作高，高把底边平分。由勾股定理，高 \(=\sqrt{s^2-\left(\frac s2\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}s\)，所以 \(A=\frac12\cdot s\cdot\frac{\sqrt3}{2}s=\frac{\sqrt3}{4}s^2\)。
• 等腰直角三角形，斜边为 \(s\)：两条直角边相等，设为 \(a\)，则 \(a^2+a^2=s^2\)，\(a=\frac{s}{\sqrt2}\)，所以 \(A=\frac12a^2=\frac{s^2}{4}\)。若底座上的是一条直角边，另一条直角边也是 \(s\)，\(A=\frac12s^2\)，是前者的两倍。题目会写明底座上是斜边（hypotenuse）还是直角边（leg），要看清。

Example 9 / 例题 9

8.8弧长Arc Length (BC)

把曲线 \(y=f(x)\)（\(a\le x\le b\)）分成许多小段（图 8 左），每一小段的横向跨度是 \(dx\)。\(dx\) 很小时，这一小段曲线与它左端点 \(P\) 处的切线几乎重合（4.6 节线性近似），所以它的长度约等于对应那段切线的长度。这段切线是一个直角三角形的斜边（图 8 右）：水平边是 \(dx\)，竖直边是沿切线的升高 \(dy\)。切线的斜率是 \(f'(x)\)，所以 \(dy=f'(x)\,dx\)（4.7 节的微分）。

由勾股定理，这一小段的长度约为

第一个等号把 \(dy\) 换成 \(f'(x)\,dx\)，第二个等号提出公因式 \((dx)^2\)，最后把 \((dx)^2\) 开方成 \(dx\)（\(dx>0\)）。\(f'(x)\) 出现在根号里，是因为竖直边等于斜率乘水平边：曲线越陡，同样的 \(dx\) 对应的小段越长。把 \(x=a\) 到 \(x=b\) 的各小段长度加起来，\(dx\to0\) 时就得到下面的积分。第九章 9.4 节的参数弧长用的是同一个直角三角形，只是那里 \(dx=x'(t)\,dt\)、\(dy=y'(t)\,dt\)，提出的是 \(dt\)。

Example 10 / 例题 10（可求出原函数）

Example 11 / 例题 11（Set up only）

When \(1+[f']^2\) Is a Perfect Square / \(1+[f']^2\) 化为完全平方

能算出精确弧长的题，大多是 \(1+[f'(x)]^2\) 恰好是一个完全平方，根号可以直接开出来。示范：求 \(y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}\)（\(1\le x\le2\)）的弧长。

第一步：求导并平方。\(f'(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}\)。按 \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\) 展开，中间项 \(2\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac12\)：

第二步：加 1，看出完全平方。加 1 只把中间项 \(-\dfrac12\) 变成 \(+\dfrac12\)，\((A-B)^2\) 就变成了 \((A+B)^2\)：

第三步：开方并积分。\(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}>0\)，开方后根号直接去掉：

遇到这类题，先把 \(1+[f']^2\) 展开整理，再看它是不是某个式子的平方。

8.9AP 高频题型AP-Style Problems

Example 12: Area and Volume of a Region / 同一区域的面积与体积（FRQ 常考题型）

Example 13: Average Value in Context / 情境平均值

8.10章末练习Chapter Exercises

Part A: True or False / 概念判断

1. \(f_{\text{avg}} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（平均值的定义）
2. 垫圈法公式是 \(\pi\displaystyle\int (R-r)^2\,dx\)。
   TrueFalse
   核对答案

   False（应为 \(\pi\int(R^2-r^2)\,dx\)，先各自平方再相减）
3. 用已知截面法时，只有截面是圆或圆的一部分（如半圆）时，截面积 \(A(x)\) 中才会出现 \(\pi\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（只有截面是圆或圆的一部分时 \(A(x)\) 才含 \(\pi\)）
4. 绕 \(y=-2\) 旋转时，半径是曲线到直线 \(y=-2\) 的距离。
   TrueFalse
   核对答案

   True（半径是曲线到旋转轴的距离）
5. （BC）弧长公式是 \(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)。
   TrueFalse
   核对答案

   True（要求 \(f'\) 在 \([a,b]\) 上连续）

Part B: Average Value and Accumulation / 平均值与累积

1. \(f(x)=x^3\) 在 \([0,2]\) 上的平均值。
   核对答案

   \(\dfrac12\cdot 4 = 2\)
2. \(f(x)=\cos x\) 在 \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) 上的平均值。
   核对答案

   \(\dfrac{2}{\pi}\)
3. \(s(0)=1\)，\(v(t)=6-2t\)。求 \(s(5)\)。
   核对答案

   \(1+(30-25) = 6\)
4. 水箱初始 \(100\) L，\(r(t)=4-t\)（L/min）。求 \(t=6\) 时水量，并求水量最大的时刻。
   核对答案

   \(106\) L；\(W'(t)=4-t\)：\(0\le t<4\) 时 \(W'>0\)，\(4<t\le6\) 时 \(W'<0\)，所以 \(t=4\) 时水量最大，\(W(4)=108\) L

Part C: Area / 面积

1. \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 围成的面积。
   核对答案

   \(\dfrac16\)
2. \(y=x^2-4\) 与 \(x\) 轴围成的面积。
   核对答案

   曲线在轴下方：\(\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl[0-(x^2-4)\bigr]dx = \dfrac{32}{3}\)
3. （横切）\(x=y^2\) 与 \(x=2-y\) 围成的面积。
   核对答案

   交点 \(y=1,-2\)：\(\displaystyle\int_{-2}^{1}\bigl[(2-y)-y^2\bigr]dy = \dfrac92\)

Part D: Volumes / 体积

1. \(y=\sqrt x\)（\(0\le x\le 9\)）绕 \(x\) 轴。
   核对答案

   \(\pi\displaystyle\int_0^9 x\,dx = \dfrac{81\pi}{2}\)
2. \(y=\sqrt x\) 与 \(y=x\) 围成的区域绕 \(x\) 轴。
   核对答案

   交点 \(0,1\)；\(R=\sqrt x\)，\(r=x\)：\(\pi\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx = \dfrac{\pi}{6}\)
3. \(y=\sqrt x\)（\(0\le x\le4\)）绕 \(y=-2\)。
   核对答案

   \(R=\sqrt x+2\)，\(r=2\)：\(\pi\displaystyle\int_0^4\left(x+4\sqrt x\right)dx = \pi\left(8+\dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{88\pi}{3}\)
4. 底座为 \(y=4-x^2\) 与 \(x\) 轴围成的区域，垂直于 \(x\) 轴的正方形截面。
   核对答案

   \(s=4-x^2\)：\(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,dx = \dfrac{512}{15}\)

Part E (BC): Arc Length / 弧长

1. 求 \(y=\dfrac23 x^{3/2}\)（\(0\le x\le 8\)）的弧长。
   核对答案

   \(\displaystyle\int_0^8\sqrt{1+x}\,dx = \dfrac23(27-1) = \dfrac{52}{3}\)
2. Set up（不求值）：\(y=x^3\)（\(0\le x\le1\)）的弧长。
   核对答案

   \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+9x^4}\,dx\)

8.11本章小结Unit Summary

Key Ideas / 核心知识

1. 所有应用的步骤相同：切片 → 写出每片的量 → 积分。
2. 平均值 \(=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\)：面积抹平成矩形；要除以区间长度。
3. 累积公式：现在量 \(=\) 初始量 \(+\displaystyle\int\) 变化率。
4. 面积：竖切 top \(-\) bottom、横切 right \(-\) left；先求交点，再判断上下。
5. 三种体积方法：圆盘 \(\pi\displaystyle\int R^2\)、垫圈 \(\pi\displaystyle\int(R^2-r^2)\) （不是 \((R-r)^2\)！）、已知截面 \(\displaystyle\int A(x)\,dx\)（仅圆或半圆截面含 \(\pi\)）； 绕平移轴：半径 \(=\) 到轴距离。
6. 截面积速查：方 \(s^2\)、半圆 \(\frac{\pi}{8}s^2\)（\(s\) 是直径！）、等边 \(\frac{\sqrt3}{4}s^2\)。
7. （BC）弧长 \(\displaystyle\int\sqrt{1+(f')^2}\)；看清 set up 还是 evaluate。