这部分需要会什么？
- 将绝对值理解为到某点的距离
- 按右侧正负拆分支求解绝对值方程
- 用距离区间表示绝对值不等式
核心概念与公式
\(|x-a|\) 表示 \(x\) 与 \(a\) 的距离。\(|x-a|=d\) 在 \(d>0\) 时有 \(x=a\pm d\)，\(d=0\) 时只有 \(x=a\)，\(d<0\) 时无解。
\(|x-a|\le d\)（\(d\ge0\)）表示 \(a-d\le x\le a+d\)；\(|x-a|\ge d\) 表示 \(x\le a-d\) 或 \(x\ge a+d\)。先把绝对值单独移到一边，再判断另一边的符号。
做题时怎样使用
- 先把绝对值整体隔离到等号或不等号一边
- 判断另一边的正负，再拆成对应的分支或距离区间
- 把候选解代回原式检查，确认分支条件成立
容易混淆的地方
绝对值方程有时只有一个解或无解，不能一律说有两个。绝对值外还带系数时不要直接拆分支，先化成 \(|…|=d\) 的形式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(|2x-3|=5\)。
展开解题思路 ＋
分成 \(2x-3=5\) 或 \(2x-3=-5\)。因此 \(x=4\) 或 \(x=-1\)。两者代回绝对值均为 5。
本知识点题库
先独立作答，再查看答案与解析。
绝对值方程与不等式挑战
The function \( f \) is defined by \( f(x)=\frac{∣x∣}{a}−16, \) where \( a<0 \) . What is the product of \( f\left(17a\right) \) and \( f\left(8a\right) \) ?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
The function \( f \) is defined by \( f(x)=\frac{∣x∣}{a}−14, \) where\( a<0 \) . What is the product of \( f\left(15a\right) \) and \( f\left(8a\right) \)?
原库参考解析
绝对值方程与不等式进阶
\( 2∣\ 3x-3\ ∣=5 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
\( -3∣\ 5x+7\ ∣+9=-12 \)
What are all solutions to the given equation?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
\( −8|3x-13|+4=−36 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
If \( |\ 16-2x\ |=58 \), which of the following is a value of \( 8−x \) ?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
The function \( f \) is defined by the equation \( f\left(x\right)=5\left|x-4\right|-25 \). What is the value of \( f(−4) \)?
原库参考解析
绝对值方程与不等式进阶
|x+4|+4=|2x-17|+4
What is the smallest solution to the given equation?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
\( f(x)=5(g(x))-2 \)
\( g(x)=|\ 13x-9\ | \)
The functions \( f \) and g are defined by the given equations. What is the value of \( f(−10) \) ?
原库参考解析
绝对值方程与不等式进阶
\( 2|\ 5x−5\ |=11 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
绝对值方程与不等式进阶
The function h is defined by \( h(x)=5|\ x\ | \). What is the value of \( h(−4) \)?
原库参考解析
绝对值方程与不等式挑战
\( |4x-3|=-9 \)
How many solutions does the given equation have?
原库参考解析
