这部分需要会什么？
- 用零乘积性质求多项式零点
- 理解因式定理和余式定理
- 根据因式形式识别横截距与重根
核心概念与公式
若多项式 \(P(x)\) 含因式 \((x-r)\)，则 \(P(r)=0\)，\(r\) 是零点；反过来也成立。\(P(x)\) 除以 \((x-r)\) 的余数为 \(P(r)\)。除数是 \((ax-b)\) 且 \(a\ne0\) 时，应代入 \(x=b/a\)。
若 \(y=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots\)，非零常数 \(a\) 不影响零点。图象的横截距为 \((r_i,0)\)。零点重数为奇数时图象穿过横轴，重数为偶数时图象在该处接触横轴而不穿过。
做题时怎样使用
- 求横截距时令 \(y=0\)，观察现成的因式，通常不必展开
- 逐个将一次因式设为零；求余数则直接代入使除数为零的输入
- 读清是要求一个零点、全部零点，还是截距坐标
容易混淆的地方
\((x+5)\) 对应零点 \(-5\)。前面的系数 4 不是横截距；“an x-coordinate”只要求一个符合条件的横坐标。
用一个例题串起方法
知识点教学例题\(y=4(x-13)(x+5)(x+1)\)。图象的横截距的横坐标有哪些？
展开解题思路 ＋
令每个一次因式为零：\(x-13=0\)、\(x+5=0\)、\(x+1=0\)。得到 \(x=13,-5,-1\)。若只要求一个横坐标，填写其中任意一个；若要求所有截距，则为 \((13,0),(-5,0),(-1,0)\)。
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is a factor of \( 36x^2(x+12)-36(x+12)^3 \) ?
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多项式・因式与余式进阶
For the polynomial function \( f \), the graph of \( y=f(x) \) in the xy-plane passes through the points \( (-3,\ 0) \), \( (1,\ 0) \), and \( (4,\ 0) \). Which of the following must be a factor of \( f(x) \)?
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is equivalent to \( \left(8nr^2+2nr\right)+\left(4n^2r+3nr\right) \) ?
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多项式・因式与余式进阶
The binomial \( x+28y \) is a factor of which of the following?
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多项式・因式与余式挑战
One of the factors of \( 8x^4+26x^2+21 \) is \( ax^2+b \) , where a and b are positive constants. Which of the following is a possible value of ab?
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is equivalent to \( (4nr^2+6nr)+(7n^2r+2nr) \) ?
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多项式・因式与余式进阶
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is NOT a factor of \( 7,290x^4-1,440 \)?
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多项式・因式与余式进阶
Which expression is equivalent to \( v^4-590v^3 \) ?
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多项式・因式与余式进阶
Which expression is equivalent to \( v^4-460v^3 \)?
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多项式・因式与余式挑战
The function h is defined by \( h(x)=(x+p)(x−4)(2x−12) \), where p is a constant. In the xy-plane, the graph of \( y=h(x) \) passes through the point \( (−2,\ 0) \). What is the value of \( h(0) \)?
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多项式・因式与余式挑战
Which expression is a factor of \( x^4+14ax^2+49a^2-64 \) , where a is a positive constant?
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