这部分需要会什么？
- 用因式分解、开方或求根公式解二次方程
- 区分根、零点和横截距
- 用韦达定理求根的和、积及相关表达式
核心概念与公式
将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0\)，\(a\ne0\)。若可分解为两个因式之积为零，则至少一个因式为零。一般可用 \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)，实根要求根号内非负。
若两根为 \(r_1,r_2\)，则 \(r_1+r_2=-b/a\)，\(r_1r_2=c/a\)。函数的零点是输入值 \(r\)，图象的横截距则是点 \((r,0)\)。这些概念相关，但答案形式不同。
做题时怎样使用
- 先把等号一边整理为零，再判断最快的方法
- 使用零乘积性质时，对每个因式分别令其等于零
- 若只问根的和或积，优先使用系数关系，并检查实际情境是否限制根
容易混淆的地方
只有乘积为零时，才能分别令因式为零。\((x-2)(x+3)=4\) 不能直接得到 \(x=2\) 或 \(x=-3\)。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(3x^2-5x-2=0\) 的根，并求两根之和。
展开解题思路 ＋
分解为 \((3x+1)(x-2)=0\)，得 \(x=-1/3\) 或 \(x=2\)。两根之和为 \(5/3\)，也可直接用 \(-b/a=5/3\)。
本知识点题库
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( x^2-5x+2=0 \)
What is one of the solutions to the equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( y=45 \)
\( y=5x^2 \)
The graphs of the equations in the given system intersect at the point \( (x,\ y) \) in the xy-plane. What is a possible value of x?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
\( f(x)=(x−a)(x−b) \)
The function \( f \) is defined by the given equation, where a and b are integer constants. If \( f(39)>0 \), \( f(42)<0 \), and \( f(45)>0 \), which of the following could be the value of \( a+b \)?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( 3x^2-30x+75=0 \)
What is the solution to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( (z+2)(z-3)=0 \)
What are all possible solutions to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( 3x^2+x-6=0 \)
What is the greatest solution to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( y=x^2+11x+28 \)
\( x+7=10 \)
The solution to the system is \( (x,\ y) \). What is the value of y?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
The product of a positive number \( x \) and the number that is 9 more than \( x \)is 90. What is the value of \( x ? \)
参考答案
二次方程・零点与韦达定理进阶
Which of the following equations has solutions 13 and −24?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( y=0 \)
\( y=4(x^2-36) \)
Which ordered pair \( (x,\ y) \) is a solution to the given system of equations?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
\( \frac{5}{9}(5x+9)\left(x+\sqrt{5k+9}\right)\left(x-\sqrt{5k+9}\right)=0 \)
In the given equation, k is a positive constant. The product of the solutions to the equation is 81. What is the value of k?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 5x-7y=x^2 \)
\( 5x-7y=64 \)
A solution to the given system of equations is \( (x,\ y) \), where x is positive. What is the value of x?
原库参考解析
