这部分需要会什么？
- 用因式分解、开方或求根公式解二次方程
- 区分根、零点和横截距
- 用韦达定理求根的和、积及相关表达式
核心概念与公式
将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0\)，\(a\ne0\)。若可分解为两个因式之积为零，则至少一个因式为零。一般可用 \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)，实根要求根号内非负。
若两根为 \(r_1,r_2\)，则 \(r_1+r_2=-b/a\)，\(r_1r_2=c/a\)。函数的零点是输入值 \(r\)，图象的横截距则是点 \((r,0)\)。这些概念相关，但答案形式不同。
做题时怎样使用
- 先把等号一边整理为零，再判断最快的方法
- 使用零乘积性质时，对每个因式分别令其等于零
- 若只问根的和或积，优先使用系数关系，并检查实际情境是否限制根
容易混淆的地方
只有乘积为零时，才能分别令因式为零。\((x-2)(x+3)=4\) 不能直接得到 \(x=2\) 或 \(x=-3\)。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(3x^2-5x-2=0\) 的根，并求两根之和。
展开解题思路 ＋
分解为 \((3x+1)(x-2)=0\)，得 \(x=-1/3\) 或 \(x=2\)。两根之和为 \(5/3\)，也可直接用 \(-b/a=5/3\)。
本知识点题库
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x\left(x+1\right)-56=4x\left(x-7\right) \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理基础
The product of a positive number x and the number that is 8 more than x is 180. What is the value of x?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理基础
\( \left(5x+4\right)\left(2x-5\right)=0 \)
Which of the following is a solution to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x-29=\left(x-a\right)\left(x-29\right) \)
Which of the following are solutions to the given equation, where a is a constant and \( a>30 \)?
I. \( a \)
II.\( a+1 \)
III. \( 29 \)
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二次方程・零点与韦达定理挑战
h(x) =2(x -4)2 -32
The quadratic function h is defined as shown. In the xy-plane, the graph of y = h(x) intersects the x-axis at the points (0 ,0) and (t , 0), where t is a constant. What is the value of t ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
57x2 +(57b + a )x +ab = 0
In the given equation, a and b are positive constants. The product of the solutions to the given equation is kab, where k is a constant. What is the value of k ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
If 3x2 - 18x - 15 = 0, what is the value of x2 - 6x ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
The graph of the function f, defined by \( f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x-4\right)^2+10 \) , is shown in the xy-plane above. If the function g (not shown) is defined by g(x) = -x + 10, what is one possible value of a such that f(a) = g(a) ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
y = x2 + 2x + 1
x + y + 1 = 0
If (x1 , y1) and (x2 , y2) are the two solutions to the system of equations above, what is the value of y1 + y2 ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
8x + y = -11
2x2 = y + 341
The graphs of the equations in the given system of equations intersect at the point (x , y ) in the xy-plane. What is a possible value of x ?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
x(x + 1) -56 = 4x(x -7)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
x2 -2x -9 = 0
One solution to the given equation can be written as \( 1+\sqrt{k} \) , where k is a constant. What is the value of k ?
原库参考解析
