这部分需要会什么？
- 用因式分解、开方或求根公式解二次方程
- 区分根、零点和横截距
- 用韦达定理求根的和、积及相关表达式
核心概念与公式
将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0\)，\(a\ne0\)。若可分解为两个因式之积为零，则至少一个因式为零。一般可用 \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)，实根要求根号内非负。
若两根为 \(r_1,r_2\)，则 \(r_1+r_2=-b/a\)，\(r_1r_2=c/a\)。函数的零点是输入值 \(r\)，图象的横截距则是点 \((r,0)\)。这些概念相关，但答案形式不同。
做题时怎样使用
- 先把等号一边整理为零，再判断最快的方法
- 使用零乘积性质时，对每个因式分别令其等于零
- 若只问根的和或积，优先使用系数关系，并检查实际情境是否限制根
容易混淆的地方
只有乘积为零时，才能分别令因式为零。\((x-2)(x+3)=4\) 不能直接得到 \(x=2\) 或 \(x=-3\)。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(3x^2-5x-2=0\) 的根，并求两根之和。
展开解题思路 ＋
分解为 \((3x+1)(x-2)=0\)，得 \(x=-1/3\) 或 \(x=2\)。两根之和为 \(5/3\)，也可直接用 \(-b/a=5/3\)。
本知识点题库
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二次方程・零点与韦达定理挑战
The solutions to \( x \)\( ^{2} \) - 3x - 5 = 0 are\( \frac{3-\sqrt{p}}{2} \) and\( \frac{3+\sqrt{p}}{2} \) . If the solutions to \( x \)\( ^{2} \) - 11x + c = 0, where c is a constant ,are \( \frac{11-\sqrt{p}}{2} \) and \( \frac{11+\sqrt{p}}{2} \) , what is the value of c?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( \left(x-k\right)^2=\left(k-4a\right)\left(x-k\right) \)
In the given equation, a and k are constants, where k > 4a. The sum of the solutions to the equation is 3k + 31. What is the value of a?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( y=\left(x-7\right)\left(x+9\right) \)
Which table gives four values of x and the corresponding values of y for the given quadratic equation?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
The product of a positive number x and the number that is 15 less than x is equal to 286. What is the value of x ?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
The function f is defined by \( f\left(x\right)=x^2+x+61 \) . What is the value of \( f\left(2\right) \)\( f\left(2\right) \) ?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
The product of a positive number x and the number that is 6 more than x is 216. What is the value of x?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 7x^2\left(4x-13\right)\left(4x-u\right)=0 \)
In the given equation, u is a positive constant. The sum of the solutions to the equation is 9. What is the value of u?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( x^2+y+7=7 \)
\( 4x+4-y=0 \)
The solution to the given system of equations is (x, y). What is the value of x?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x^2+5x=37 \)
The solutions to the given equation are \( \frac{m+\sqrt{q}}{2} \) and \( \frac{m-\sqrt{q}}{2} \) , where m and q are integers. What is the value of \( m+q \) ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 3x^2+x-5=0 \)
What is the greatest solution to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 33x^2+\left(33s+r\right)x+rs=0 \)
In the given equation, r and s are positive constants. The product of the solutions to the given equation is krs, where k is a constant. What is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
x ( x +11) - 7 = 0
What are the solutions to the given equation?
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