这部分需要会什么？
- 用因式分解、开方或求根公式解二次方程
- 区分根、零点和横截距
- 用韦达定理求根的和、积及相关表达式
核心概念与公式
将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0\)，\(a\ne0\)。若可分解为两个因式之积为零，则至少一个因式为零。一般可用 \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)，实根要求根号内非负。
若两根为 \(r_1,r_2\)，则 \(r_1+r_2=-b/a\)，\(r_1r_2=c/a\)。函数的零点是输入值 \(r\)，图象的横截距则是点 \((r,0)\)。这些概念相关，但答案形式不同。
做题时怎样使用
- 先把等号一边整理为零，再判断最快的方法
- 使用零乘积性质时，对每个因式分别令其等于零
- 若只问根的和或积，优先使用系数关系，并检查实际情境是否限制根
容易混淆的地方
只有乘积为零时，才能分别令因式为零。\((x-2)(x+3)=4\) 不能直接得到 \(x=2\) 或 \(x=-3\)。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(3x^2-5x-2=0\) 的根，并求两根之和。
展开解题思路 ＋
分解为 \((3x+1)(x-2)=0\)，得 \(x=-1/3\) 或 \(x=2\)。两根之和为 \(5/3\)，也可直接用 \(-b/a=5/3\)。
本知识点题库
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 24x^2-\left(12a+2b\right)x+ab=0 \)
In the given equation, a and b are positive constants. The sum of the solutions to the given equation is \( k\left(6a+b\right) \), where k is a constant. What is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( x\left(x+4\right)-140=3x\left(x-10\right) \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( -3x^2-7x+1=0 \)
What is the greatest solution to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( x^2-24x-8=0 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 125x^2-\left(25a+5b\right)x+ab=0 \)
In the given equation, a and b are positive constants. The sum of the solutions to the given equation is \( k\left(5a+b\right) \) , where k is a constant. What is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x\left(13x+27\right)+c=5 \)
In the given equation, c is a constant. A solution to the equation is \( \frac{-27+\sqrt{261}}{26} \). What is the value of c?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
The function h is defined by \( h\left(x\right)=-\sqrt{x^2+bx+c} \) where b and c are constants. In the xy-plane, the graph of \( y=h\left(x\right) \)contains the points \( \left(2,\ 0\right) \) and \( \left(0,\ -\sqrt{358}\right) \). If \( h(m)=0, \)what is the greatest possible value of m?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right) \)
The function \( f \) is defined by the given equation, where a and b are integer constants. If \( f(17)>0 \),\( f(20)<0 \) and \( f(23)>0 \) , what is one possible value of \( a+b \) ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x^2-5x+3=0 \)
What is one of the solutions to the given equation?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
The product of a positive number x and the number that is 1 less than x is equal to 272. What is the value of x?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
\( 4x^2-x=18 \)
What is the positive solution to the given equation?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理进阶
\( \left(x-35\right)^2=1 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
