这部分需要会什么？
- 在根式和有理指数之间转换
- 检查实数范围内根式的定义条件
- 解根式方程并检验增根
核心概念与公式
对正数 \(a\)，\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)。偶次根的被开方数在实数范围内必须非负，偶次根号取非负主值。因此 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不是对所有 \(x\) 都等于 \(x\)。奇次根可以处理负数。
平方可以消去平方根，但也可能引入原式不满足的解。例如 \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) 要求 \(A(x)\ge0\) 且 \(B(x)\ge0\)；平方后的方程不能单独保证这些条件。
做题时怎样使用
- 先写被开方数和分母的限制；将根式单独放在一边
- 两边平方或使用指数法则，再求候选解
- 把每个候选解代回原方程，只保留真正成立的解
容易混淆的地方
\(\sqrt{u+v}\) 一般不等于 \(\sqrt u+\sqrt v\)。解 \(x^2=9\) 有正负两个解，但 \(\sqrt9\) 本身等于 3。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(\sqrt{x+2}=x\)。
展开解题思路 ＋
右边必须非负，故 \(x\ge0\)。平方得 \(x+2=x^2\)，即 \((x-2)(x+1)=0\)。候选解为 2 和 \(-1\)，其中 \(-1\) 不满足原式。唯一解为 \(x=2\)。
本知识点题库
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根式与有理指数挑战
x =\( \sqrt{3x-2} \)
How many solutions does the given equation have?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
x =\( \sqrt{7x-10} \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
Which of the following is equivalent to \( \left(\frac{3}{2\sqrt{x}}\right)^4 \) ?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
f(x) =\( \sqrt{5x+6} \)
The function f is defined by the given equation. If f(a) =-5a, where a is a constant, what is the value of a?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
\( \frac{10x}{5y}=2\sqrt{w+14} \)
The given equation relates the distinct positive real numbers w , x, and y. Which equation correctly expresses w in terms of x and y ?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[5]{272n}(\sqrt[6]{272n})^{2} \)
For what value of x is the given expression equivalent to \( \left(272n\right)^{30x} \) , where n >1?
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt[5]{p^{2}}=t^{\frac{3}{4}} \)
In the given equation, p > 1 and t > 1. If t = p2n-1, where n is a constant, what is the value of n?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
\( \sqrt{w}+22=28 \)
What is the solution to the given equation?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
Which expression is equivalent to \( \sqrt[10]{x^{9}y^{9}} \) , where x and y are positive?
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根式与有理指数挑战
\( f\left(x\right)=\sqrt{3x+8} \)
The function \( f \) is defined by the given equation. If \( f\left(a\right)=-9a \) , where a is a constant, what is the value of a?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[7]{p^{4}}=t^{\frac{5}{6}} \)
In the given equation, \( p>1 \) and \( t>1 \) . If \( t=p^{2n-1} \) , where n is a constant, what is the value of n?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
Which expression is equivalent to \( \left(133y\right)^{\frac{1}{2}} \), where \( y>1 \)?
原库参考解析
