这部分需要会什么？
- 在根式和有理指数之间转换
- 检查实数范围内根式的定义条件
- 解根式方程并检验增根
核心概念与公式
对正数 \(a\)，\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)。偶次根的被开方数在实数范围内必须非负，偶次根号取非负主值。因此 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不是对所有 \(x\) 都等于 \(x\)。奇次根可以处理负数。
平方可以消去平方根，但也可能引入原式不满足的解。例如 \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) 要求 \(A(x)\ge0\) 且 \(B(x)\ge0\)；平方后的方程不能单独保证这些条件。
做题时怎样使用
- 先写被开方数和分母的限制；将根式单独放在一边
- 两边平方或使用指数法则，再求候选解
- 把每个候选解代回原方程，只保留真正成立的解
容易混淆的地方
\(\sqrt{u+v}\) 一般不等于 \(\sqrt u+\sqrt v\)。解 \(x^2=9\) 有正负两个解，但 \(\sqrt9\) 本身等于 3。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(\sqrt{x+2}=x\)。
展开解题思路 ＋
右边必须非负，故 \(x\ge0\)。平方得 \(x+2=x^2\)，即 \((x-2)(x+1)=0\)。候选解为 2 和 \(-1\)，其中 \(-1\) 不满足原式。唯一解为 \(x=2\)。
本知识点题库
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt[7]{p^{3}}=\sqrt[4]{t^{5}} \)
In the given equation, \( p>1 \) and \( t>1 \) . If \( t=p^{2n-1} \) , where n is a constant, what is the value of n?
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt{\left(x+23\right)^2}=x+23 \)
What is the least value of x that is a solution to the given equation?
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根式与有理指数进阶
\( f\left(x\right)=\sqrt{6x+7} \)
The function \( f \) is defined by the given equation. If \( f\left(a\right)=-9a \) , where a is a constant. What is the value of a?
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根式与有理指数挑战
Which expression is equivalent to\( \left(57y\right)^{\frac{1}{2}} \), where \( y>1 \) ?
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根式与有理指数挑战
Which expression is equivalent to \( ((7\surd 3)t)^{\frac{7}{8}} \) Where \( t>0 \)?
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt{k-x}=42-x \)
In the given equation, k is a constant. The equation has exactly one real solution. What is the minimum possible value of 4k?
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根式与有理指数挑战
\( p=\sqrt{12c}-25 \)
The given equation relates the variables p and c, where c is positive. Which equation correctly expresses c in terms of p?
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根式与有理指数进阶
For what value of a is \( \sqrt[a]{r^{42}} \) equivalent to \( r^{\frac{6}{7}} \) , where \( r>1 \)?
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根式与有理指数挑战
If \( \sqrt{x−1}=2 \) , what is the value of \( (x−1) \)?
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt[3]{117n}(\sqrt[4]{117n})^{2} \)
For what value of x is the given expression equivalent to \( (117n)^{12x} \) where \( n>1 \)?
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根式与有理指数挑战
The expression \( \sqrt{x^{9k}}·\sqrt[5]{x^{13}} \) , where k is a constant and \( x>0 \), is equivalent to \( \frac{\sqrt[5]{x}}{x^{2}} \). What is the value of k?
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根式与有理指数挑战
If \( x=\sqrt[2n]{7x^{n}+30} \) , where n is a positive integer constant, what is the value of \( x^n \)?
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