这部分需要会什么？
- 在根式和有理指数之间转换
- 检查实数范围内根式的定义条件
- 解根式方程并检验增根
核心概念与公式
对正数 \(a\)，\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)。偶次根的被开方数在实数范围内必须非负，偶次根号取非负主值。因此 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不是对所有 \(x\) 都等于 \(x\)。奇次根可以处理负数。
平方可以消去平方根，但也可能引入原式不满足的解。例如 \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) 要求 \(A(x)\ge0\) 且 \(B(x)\ge0\)；平方后的方程不能单独保证这些条件。
做题时怎样使用
- 先写被开方数和分母的限制；将根式单独放在一边
- 两边平方或使用指数法则，再求候选解
- 把每个候选解代回原方程，只保留真正成立的解
容易混淆的地方
\(\sqrt{u+v}\) 一般不等于 \(\sqrt u+\sqrt v\)。解 \(x^2=9\) 有正负两个解，但 \(\sqrt9\) 本身等于 3。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(\sqrt{x+2}=x\)。
展开解题思路 ＋
右边必须非负，故 \(x\ge0\)。平方得 \(x+2=x^2\)，即 \((x-2)(x+1)=0\)。候选解为 2 和 \(-1\)，其中 \(-1\) 不满足原式。唯一解为 \(x=2\)。
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt{\left(x-2\right)^2}=\sqrt{3x+34} \)
What is the smallest solution to the given equation?
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根式与有理指数基础
x = 49
\( y=\sqrt{x}+9 \)
The graphs of the given equations intersect at the point (x ,y) in the xy-plane. What is the value of y ?
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根式与有理指数挑战
\( \sqrt{k-x}=58-x \)
In the given equation, k is a constant. The equation has exactly one real solution. What is the minimum possible value of 4k?
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根式与有理指数挑战
Which expression is equivalent to \( a^{\frac{11}{12}} \) , where a > 0 ?
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根式与有理指数挑战
The function f is defined by f(x) =\( 8\sqrt{x} \). For what value of x does f(x) =48 ?
原库参考解析
