这部分需要会什么？
- 在根式和有理指数之间转换
- 检查实数范围内根式的定义条件
- 解根式方程并检验增根
核心概念与公式
对正数 \(a\)，\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)。偶次根的被开方数在实数范围内必须非负，偶次根号取非负主值。因此 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不是对所有 \(x\) 都等于 \(x\)。奇次根可以处理负数。
平方可以消去平方根，但也可能引入原式不满足的解。例如 \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) 要求 \(A(x)\ge0\) 且 \(B(x)\ge0\)；平方后的方程不能单独保证这些条件。
做题时怎样使用
- 先写被开方数和分母的限制；将根式单独放在一边
- 两边平方或使用指数法则，再求候选解
- 把每个候选解代回原方程，只保留真正成立的解
容易混淆的地方
\(\sqrt{u+v}\) 一般不等于 \(\sqrt u+\sqrt v\)。解 \(x^2=9\) 有正负两个解，但 \(\sqrt9\) 本身等于 3。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(\sqrt{x+2}=x\)。
展开解题思路 ＋
右边必须非负，故 \(x\ge0\)。平方得 \(x+2=x^2\)，即 \((x-2)(x+1)=0\)。候选解为 2 和 \(-1\)，其中 \(-1\) 不满足原式。唯一解为 \(x=2\)。
本知识点题库
先独立作答，再查看答案与解析。
根式与有理指数进阶
The function f is defined by \( f\left(x\right)=a\sqrt{x+b} \) , where a and b are constants. In the xy-plane, the graph of\( y=f\left(x\right) \) passes through the point (-24, 0), and f (24)< 0. Which of the following must be true?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
If\( 4\sqrt{2x}=16 \) , what is the value of 6x?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
Which expression is equivalent to \( a^{\frac{11}{12}} \) , where \( a>0 \) ?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
\( \sqrt{\left(x-2\right)^2}=\sqrt{3x+34} \)
What is the smallest solution to the given equation?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
The expression \( \frac{x^{−2}y^{\frac{1}{2}}}{2} \) , where x > 1 and y > 1, is equivalent to which of the following?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
The expression \( 6\sqrt[5]{3^{5}x^{45}} \) •\( \sqrt[8]{2^{8}x} \) is equivalent to axb, where a and b are positive constants and x > 1. What is the value of a + b ?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
If a and c are positive numbers, which of the following is equivalent to \( \surd (a+c)^{3}\cdot \surd a+c \) ?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
If \( \frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}=x^{\frac{a}{b}} \) for all positive values of x , what is the value of \( \frac{a}{b} \) ?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[5]{70n}(\sqrt[6]{70n})^{2} \)
For what value of x is the given expression equivalent to (70n)30x, where n > 1?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \frac{14x}{7y}=2\sqrt{w+19} \)
The given equation relates the distinct positive real numbers w, x, and y. Which equation correctly expresses w in terms of x and y ?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \sqrt{2x+6}+4=x+3 \)
What is the solution set of the equation above?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}}=\frac{c^2}{\sqrt{x^2-c^2}}+39 \)
In the given equation, c is a positive constant. Which of the following is one of the solutions to the given equation?
原库参考解析
