这部分需要会什么？
- 先确定分式的定义域，再化简或解方程
- 区分约分后的空点与竖直渐近线
- 将绝对值理解为距离并分类求解
核心概念与公式
分式的原分母不能为零。约分只能消去公共因式，不能单独消去加减项；约分后仍要保留原式的限制。若 \((x-r)\) 被完全约去且剩余分母在 \(r\) 处非零，原函数在 \(x=r\) 处有空点。
\(|x-a|\) 表示 \(x\) 与 \(a\) 的距离。\(|x-a|=d\) 在 \(d>0\) 时有 \(x=a\pm d\)，\(d=0\) 时只有 \(x=a\)，\(d<0\) 时无解。\(|x-a|\le d\)（\(d\ge0\)）表示 \(a-d\le x\le a+d\)。
做题时怎样使用
- 分式先写出所有分母不为零的限制，再通分、约分或交叉相乘
- 绝对值先判断右侧正负，再写对应的两个分支或距离区间
- 最后检查候选解是否属于原定义域和对应分支
容易混淆的地方
把 \((x^2-1)/(x-1)\) 约成 \(x+1\) 后仍需 \(x\ne1\)。绝对值方程有时只有一个解或无解，不能一律说有两个。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(|2x-3|=5\)。
展开解题思路 ＋
分成 \(2x-3=5\) 或 \(2x-3=-5\)。因此 \(x=4\) 或 \(x=-1\)。两者代回绝对值均为 5。
本知识点题库
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分式・有理函数与绝对值进阶
If \( \frac{48}{x}=6x \), what is the value of \( 6x^2 \)?
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分式・有理函数与绝对值挑战
\( \frac{25x}{x^2-25}=\frac{x}{x-5}+\frac{20}{x+5} \)
What is the positive solution to the given equation?
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分式・有理函数与绝对值进阶
\( 8|\ 7-x\ |+1=81 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
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分式・有理函数与绝对值挑战
The function f is defined by f (x)= | x - 6x |. What value of a satisfies f (2) - f (a)= -30?
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分式・有理函数与绝对值挑战
|x-8|+72=88
What is the sum of the solutions to the given equation?
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分式・有理函数与绝对值挑战
Which expression is equivalent to\( \frac{y+13}{x-10}+\frac{y\left(x-10\right)}{x^2y-10xy} \) ?
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7 |x -7|=42
What is the sum of the solutions to the given equation?
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分式・有理函数与绝对值进阶
-4 |x -9| = -12x
What are all possible solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
|\( x−8 \)| \( =11 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( \frac{2}{c}-\frac{7}{d}=5 \)
The given equation relates the variables c and d, where c and d are greater than 1. Which equation correctly expresses d in terms of c?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The equation 4|x - 3| = k, where k is a constant, has exactly one solution. Which of the following could be the value of \( \frac{k}{4} \) ?
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分式・有理函数与绝对值进阶
The function g is defined as \( g\left(x\right)=\frac{2x-6}{\left(x+13\right)\left(x-8\right)} \) . If \( g\left(a+7\right)=0 \), where a is a constant, what is the value of a?
原库参考解析
