这部分需要会什么？
- 先确定分式的定义域，再化简或解方程
- 区分约分后的空点与竖直渐近线
- 将绝对值理解为距离并分类求解
核心概念与公式
分式的原分母不能为零。约分只能消去公共因式，不能单独消去加减项；约分后仍要保留原式的限制。若 \((x-r)\) 被完全约去且剩余分母在 \(r\) 处非零，原函数在 \(x=r\) 处有空点。
\(|x-a|\) 表示 \(x\) 与 \(a\) 的距离。\(|x-a|=d\) 在 \(d>0\) 时有 \(x=a\pm d\)，\(d=0\) 时只有 \(x=a\)，\(d<0\) 时无解。\(|x-a|\le d\)（\(d\ge0\)）表示 \(a-d\le x\le a+d\)。
做题时怎样使用
- 分式先写出所有分母不为零的限制，再通分、约分或交叉相乘
- 绝对值先判断右侧正负，再写对应的两个分支或距离区间
- 最后检查候选解是否属于原定义域和对应分支
容易混淆的地方
把 \((x^2-1)/(x-1)\) 约成 \(x+1\) 后仍需 \(x\ne1\)。绝对值方程有时只有一个解或无解，不能一律说有两个。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(|2x-3|=5\)。
展开解题思路 ＋
分成 \(2x-3=5\) 或 \(2x-3=-5\)。因此 \(x=4\) 或 \(x=-1\)。两者代回绝对值均为 5。
本知识点题库
先独立作答，再查看答案与解析。
分式・有理函数与绝对值进阶
\( |x-7|=-|x-7|+16 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( \frac{32}{p}=\frac{32}{q}-\frac{32}{r}-\frac{32}{s} \)
The given equation relates the positive variables p, q, r, and s. Which of the following is equivalent to q?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( -4∣\ 5x+4\ ∣+2=-14 \)
What are all solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The function \( f \) is defined by \( f\left(x\right)=\frac{∣\ x\ ∣}{a}-14 \) , where \( a<0 \). What is the product of \( f\left(15a\right) \)and \( f\left(8a\right) \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( -2∣\ 3x+7\ ∣+8=-6 \)
What are all solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The function \( f \) is defined by \( f(x)=\frac{∣x∣}{a}−16, \) where \( a<0 \) . What is the product of \( f\left(17a\right) \) and \( f\left(8a\right) \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
If \( \frac{72}{x}=6x \), what is the value of \( 6x^2 \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( \frac{\left(x-8\right)\left(x-16\right)}{x-7}=0 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The function \( f \) is defined by \( f(x)=\frac{∣x∣}{a}−14, \) where\( a<0 \) . What is the product of \( f\left(15a\right) \) and \( f\left(8a\right) \)?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( 2∣\ 3x-3\ ∣=5 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The function \( f \) is defined by\( f\left(x\right)=\frac{x^2+ax+b}{2x+c} \) , where a, b, and c are constants. The graph of the function \( f \) in the xy-plane, where \( y=f\left(x\right) \), does not intersect the line \( x=4 \) . If \( f(5)=f(6)=0 \). What is the value of \( a+b+c \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( -3∣\ 5x+7\ ∣+9=-12 \)
What are all solutions to the given equation?
原库参考解析
