这部分需要会什么？
- 理解输入、输出与函数值
- 正确代入整个代数式
- 按顺序计算复合函数并检查定义域
核心概念与公式
\(f(a)\) 表示把输入 \(a\) 代入函数 \(f\) 得到的输出，不表示 \(f\) 乘以 \(a\)。求 \(f(x+h)\) 时，原式中每一个 \(x\) 都要整体替换成 \((x+h)\)。
复合函数 \(f(g(x))\) 先计算内层 \(g(x)\)，再把其结果输入 \(f\)。合法输入既要属于 \(g\) 的定义域，又要让 \(g(x)\) 属于 \(f\) 的定义域。函数的同一输入只能对应一个输出。
做题时怎样使用
- 明确需要代入的是一个数，还是一个完整表达式
- 为替换进去的表达式加括号，处理平方、负号和分母
- 复合函数从内到外计算，并核对每层输入是否合法
容易混淆的地方
一般 \(f(x+h)\ne f(x)+h\)，且 \(f(g(x))\ne g(f(x))\)。求 \(f(a)=b\) 中的 \(a\) 是求输入，不能只计算已知输入的输出。
用一个例题串起方法
知识点教学例题已知 \(f(x)=2x^2-1\)，\(g(x)=x+3\)。求 \(f(g(1))\) 与 \(g(f(1))\)。
展开解题思路 ＋
\(g(1)=4\)，所以 \(f(g(1))=f(4)=31\)。而 \(f(1)=1\)，所以 \(g(f(1))=g(1)=4\)。复合顺序改变，结果也可能改变。
本知识点题库
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函数记号・代入与复合进阶
If g(x) = x3+1, what is the value of g(4) + g(2)?
原库参考解析
函数记号・代入与复合挑战
f(x) = 3x + 6
g(x) = 2f(x) − 2
Using the given functions, what is the value of g(3) ?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function h is defined by h(x)= 5|x |. What is the value of h(-3)?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
If f(x) = x +2 and g(x) =2x , what is the value of 3f (-5)- g(-5)?
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函数记号・代入与复合进阶
For a certain type of rope, the equation y =900ax2, where a is a constant, gives the estimated breaking strength y, in pounds, of a rope with a circumference of x inches. Based on this equation, if a rope of this type has a circumference of 2.75 inches, it has an estimated breaking strength of 9,528.75 pounds. What is the estimated breaking strength, in pounds, of a rope of this type that has a circumference of 3.50 inches?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function b is defined by b(x) = 2(x+1). Which expression is equivalent to b(x) when x = 9?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function f is defined by \( f\left(x\right)=x^3+19 \) . What is the value of f(2)?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function g is defined by \( g\left(x\right)=\frac{x}{2} \) . For what value of x does \( g\left(x\right)=224 \) ?
原库参考解析
函数记号・代入与复合挑战
The table shows three values of \(x\) and their corresponding values of \(g(x)\), where \(g(x)=\frac{f(x)}{x+4}\), and \(f\) is a linear function. What is the \(y\)-intercept of the graph of \(y=f(x)\) in the \(xy\)-plane?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function f is defined by \( f\left(x\right)=x^3+9 \) . What is the value of f (2)?
原库参考解析
函数记号・代入与复合进阶
The function \( g \) is defined by \( g\left(x\right)=\frac{x}{2} \) . For what value of x does \( g\left(x\right)=620 \) ?
原库参考解析
函数记号・代入与复合挑战
The function f is defined by f(x)= 4x2. What is the value of f (11)?
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