知识点地图 / 进阶数学
Discriminant, Tangency & Number of Roots
判别式・相切与根的个数
把交点问题化成一元二次方程。先判断判别式的符号，再处理参数范围、整数边界和重根坐标。
这部分需要会什么？
- 用判别式判断实根个数
- 将直线与抛物线的交点问题转为二次方程
- 结合参数限制求相切或无交点条件
核心概念与公式
对真正的二次方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a\ne0\)），判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)。\(\Delta>0\) 有两个不同实根，\(\Delta=0\) 有一个不同实根（重根），\(\Delta<0\) 无实根。
求直线与抛物线交点时，先联立，整理成关于同一个变量的二次方程。相切对应重根，因而判别式为零。若含参数使二次项系数为零，方程可能变成一次方程，必须另外判断。
做题时怎样使用
- 先整理标准式，明确带符号的 \(a,b,c\)
- 把“两个交点、相切、无实根”翻译成判别式的条件
- 解参数条件后检查 \(a\ne0\)，再应用正数、整数等题目限制
容易混淆的地方
判断两条曲线的交点，必须用联立后方程的判别式，不能只看抛物线自身与横轴的交点。
用一个例题串起方法
知识点教学例题直线 \(y=2x+k\) 与抛物线 \(y=x^2+4\) 相切，求 \(k\)。
展开解题思路 ＋
联立得 \(x^2-2x+4-k=0\)。相切要求 \(\Delta=4-4(4-k)=0\)，所以 \(k=3\)。此时方程为 \((x-1)^2=0\)，交点为 \((1,5)\)。
本知识点题库
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判别式・相切与根的个数挑战
y =2x2 -21x + 64
y =3x + a
In the given system of equations, a is a constant. The graphs of the equations in the given system intersect at exactly one point, (x , y ), in the xy-plane. What is the value of x ?
原库参考解析
判别式・相切与根的个数挑战
y =x2 + 3x - 7
y -5x + 8 = 0
How many solutions are there to the system of equations above?
原库参考解析
判别式・相切与根的个数挑战
64x2 + bx + 25 = 0
In the given equation, b is a constant. For which of the following values of b will the equation have more than one real solution?
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判别式・相切与根的个数挑战
y = -1.50
y =x2 + 8x + a
In the given system of equations, a is a positive constant. The system has exactly one distinct real solution. What is the value of a ?
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判别式・相切与根的个数挑战
In the xy-plane, the graph of the equation y =-x2 + 9x -100 intersects the line y = c at exactly one point. What is the value of c ?
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判别式・相切与根的个数挑战
In the xy-plane, a line with equation 2y = 4.5 intersects a parabola at exactly one point. If the parabola has equation y = -4x2 +bx , where b is a positive constant, what is the value of b ?
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判别式・相切与根的个数进阶
\( x^2-12x+27=0 \)
How many distinct real solutions does the given equation have?
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判别式・相切与根的个数挑战
5x2 + 10x + 16 = 0How many distinct real solutions does the given equation have?
原库参考解析
