这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which of the following expressions is(are) a factor of 3x2 + 20x - 63?
I.x - 9
II.3x - 7
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式基础
Which expression is equivalent to 5x2 - 50xy2?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression 4x2 + bx - 45, where b is a constant, can be rewritten as (hx + k)(x +j), where h, k, and j are integer constants. Which of the following must be an integer?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to\( \left(x^2+11\right)^2+\left(x-5\right)\left(x+5\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式基础
Which expression is equivalent to \( 23x^3+2x^2+9x \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式基础
Which expression is equivalent to \( \left(9x^3+5x+7\right)+\left(6x^3+5x^2-5\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( \left(2x^2+x-9\right)+\left(x^2+6x+1\right) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
In the expression 3(2x2 + px + 8) - 16x(p + 4) , p is a constant. This expression is equivalent to the expression 6x2 -155x + 24. What is the value of p ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression 4x2 + bx - 45, where b is a constant, can be rewritten as (hx + k )(x + j ), where h, k, and j are integer constants. Which of the following must be an integer?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( \frac{1}{3}x^2-2 \) can be rewritten as \( \frac{1}{3}\left(x-k\right)\left(x+k\right) \) , where k is a positive constant. What is the value of k ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which of the following is equivalent to \( \left(a+\frac{b}{2}\right)^2 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
If a = c + d , which of the following is equivalent to the expression x2 - c2 - 2cd - d2?
原库参考解析
