这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which of the following is a factor of the expression \( 5x^2+(45r+7)x+63r \) , where r is a nonzero constant?
I. \( x+9r \)
II. \( 5x+7r \)
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( 4(2x+19)(x−5)−(9x+13) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \), where a, b, and c are constants. What is the value of b?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( y=5x^2-40x+35 \)
The given equation represents a parabola in the xy-plane. Which of the following equations that represent the same parabola displays the x-intercepts as constants or coefficients?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( f(x)=x^2-4x-780 \)
The function \( f \) is defined by the given equation. Which of the following equivalent forms of the equation displays the minimum value of the function as a constant or coefficient?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( (3x+5)(7x−8) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \), where a, b, and c are constants. What is the value of \( a+b \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 2x^4+x^2+x^4+11x^2 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( 7(8x+17)(x−4)−(6x+13) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \), where \( a \), \( b \), and \( c \) are constants. What is the value of \( b \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 3x^4+3x^3y^2+14xy+14y^3 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 5x^4+35w \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 18(x^2-8) \) ?
参考答案
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 6xy(2x^2+7y) \) ?
参考答案
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 9x^3+108x^2y+xy^2+12y^3 \)?
参考答案
