这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which of the following is a factor of the expression \( 2x^2+(18r+5)x+45r \) , where r is a nonzero constant?
I. \( x+9r \)
II. \( 2x+5r \)
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
If \( 7(x-3)^2=252 \), what is the value of \( x^2-6x \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( (9x^3+17x)-(4x^2+7x) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( (4a^2-9ab+7b^2)-(3a^2+ab-2b^2) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
The expression \( (5x+2)(x+4) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \), where a, b, and c are constants. What is the value of \( a+b+c \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( (6x+5)(x+2) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \) , where a, b, and c are constants. What is the value of \( a-b+c \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 220x^2+70 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
The expression \( (3x+5)(8x−7) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \) , where a, b, and c are constants. What is the value of \( a+b \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式基础
Which expression is equivalent to \( 18x^2+9x+9 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( 6x^4+17x^2+5 \) can be rewritten as \( (3x^2+a)(2x^2+b) \) , where a and b are positive integers, or as \( (3x^2+c)(2x^2+d) \), where c and d are positive nonintegers. What is the value of \( a+c \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
The expression \( (3x+2)(x+5) \) can be written in the form \( ax^2+bx+c \), where a, b, and c are constants. What is the value of \( a+b+c \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
If \( 3(x-5)^2=192 \), what is the value of \( x^2-10x \) ?
原库参考解析
