这部分需要会什么？
- 用因式分解、开方或求根公式解二次方程
- 区分根、零点和横截距
- 用韦达定理求根的和、积及相关表达式
核心概念与公式
将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0\)，\(a\ne0\)。若可分解为两个因式之积为零，则至少一个因式为零。一般可用 \(x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)\)，实根要求根号内非负。
若两根为 \(r_1,r_2\)，则 \(r_1+r_2=-b/a\)，\(r_1r_2=c/a\)。函数的零点是输入值 \(r\)，图象的横截距则是点 \((r,0)\)。这些概念相关，但答案形式不同。
做题时怎样使用
- 先把等号一边整理为零，再判断最快的方法
- 使用零乘积性质时，对每个因式分别令其等于零
- 若只问根的和或积，优先使用系数关系，并检查实际情境是否限制根
容易混淆的地方
只有乘积为零时，才能分别令因式为零。\((x-2)(x+3)=4\) 不能直接得到 \(x=2\) 或 \(x=-3\)。
用一个例题串起方法
知识点教学例题求 \(3x^2-5x-2=0\) 的根，并求两根之和。
展开解题思路 ＋
分解为 \((3x+1)(x-2)=0\)，得 \(x=-1/3\) 或 \(x=2\)。两根之和为 \(5/3\)，也可直接用 \(-b/a=5/3\)。
本知识点题库
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( 21x^2+\left(21s+r\right)x+rs=0 \)
In the given equation, r and s are positive constants. The product of the solutions to the given equation is krs, where k is a constant. What is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( -8x\left(x+9\right)=40 \)
One solution to the given equation can be written as \( x=-\frac{s+\sqrt{t}}{2} \), where s and t are positive integers. What is the value of \( \frac{s}{t} \)?
原库参考解析
二次方程・零点与韦达定理挑战
\( \left(x-k\right)^2=\left(k-4a\right)\left(x-k\right) \)
In the given equation, a and k are constants, where \( k>4a \). The sum of the solutions to the equation is \( 3k+35 \). What is the value of a?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( \frac{5}{8}\left(5x+8\right)\left(x+\sqrt{5k+8}\right)\left(x-\sqrt{5k+8}\right) \) =0
In the given equation, k is a positive constant. The product of the solutions to the equation is 64. what is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
\( x^2+9x+6=0 \)
One solution to the given equation can be written as\( x=\frac{-9+\sqrt{k}}{2} \) , where k is a constant. What is the value of k?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
The function f is defined by\( f\left(x\right)=ax^2+bx+c \) , where a, b, and c are constant and l < a < 4. The graph of y = f (x) in the xy-plane passes through the points (12, 0) and (-6, 0). If a is an integer, what could be the value of a + b?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
x + y = 7
2x2 + 2xy = 42
Which ordered pair (x, y) is the solution to the given system of equations?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
If x < 0, what value of x will satisfy the equation 3x2 − 2 = −5x ?
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二次方程・零点与韦达定理挑战
The function f is defined as f (x) = (x − a )(x − b) , where a and b are constants and a ≠ b. If f(8）= f(15）= 0, what is the value of f(20） ?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
The product of a positive number x and the number that is 7 less than x is equal to 228. What is the value of x ?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
y = 5x
y = x2 -36
A solution to the given system of equations is (x, y), where x >0. What is the value of x?
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二次方程・零点与韦达定理进阶
If \( 4x^2-32x-40=0 \) , what is the value of \( x^2-8x \) ?
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