这部分需要会什么？
- 在根式和有理指数之间转换
- 检查实数范围内根式的定义条件
- 解根式方程并检验增根
核心概念与公式
对正数 \(a\)，\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)。偶次根的被开方数在实数范围内必须非负，偶次根号取非负主值。因此 \(\sqrt{x^2}=|x|\)，不是对所有 \(x\) 都等于 \(x\)。奇次根可以处理负数。
平方可以消去平方根，但也可能引入原式不满足的解。例如 \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) 要求 \(A(x)\ge0\) 且 \(B(x)\ge0\)；平方后的方程不能单独保证这些条件。
做题时怎样使用
- 先写被开方数和分母的限制；将根式单独放在一边
- 两边平方或使用指数法则，再求候选解
- 把每个候选解代回原方程，只保留真正成立的解
容易混淆的地方
\(\sqrt{u+v}\) 一般不等于 \(\sqrt u+\sqrt v\)。解 \(x^2=9\) 有正负两个解，但 \(\sqrt9\) 本身等于 3。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(\sqrt{x+2}=x\)。
展开解题思路 ＋
右边必须非负，故 \(x\ge0\)。平方得 \(x+2=x^2\)，即 \((x-2)(x+1)=0\)。候选解为 2 和 \(-1\)，其中 \(-1\) 不满足原式。唯一解为 \(x=2\)。
本知识点题库
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根式与有理指数进阶
Which expression is equivalent to \( (\sqrt[4]{p^{17}})^{−1} \), where \( p>1 \)?
参考答案
根式与有理指数挑战
What is the solution to the equation \( 5\sqrt{x-19}=\sqrt{7} \)?
参考答案
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[5]{272n}(\sqrt[6]{272n})^{2} \)
For what value of x is the given expression equivalent to \( (272n)^{30x} \), where n > 1?
For what value of x is the given expression equivalent to \( (272n)^{30x} \), where n > 1?
参考答案
根式与有理指数进阶
If \( \sqrt{x-1}=2 \), what is the value of \( (x−1) \)?
参考答案
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[3]{28n}(\sqrt[4]{28n})^{2} \)
For what value of x is the given expression equivalent to \( (28n)^{12x} \) , where \( n>1 \)?
For what value of x is the given expression equivalent to \( (28n)^{12x} \) , where \( n>1 \)?
参考答案
根式与有理指数挑战
\( \frac{x^{11}y^{5}}{5x^{2}·\sqrt[8]{y^{8}}} \)
For all positive values of x and y, the given expression is equivalent to which of the following?
I. \( \frac{(x^{\frac{8}{3}})(y^{\frac{5}{3}})}{3} \)
II. \( \frac{x^5y^2}{5} \)
For all positive values of x and y, the given expression is equivalent to which of the following?
I. \( \frac{(x^{\frac{8}{3}})(y^{\frac{5}{3}})}{3} \)
II. \( \frac{x^5y^2}{5} \)
参考答案
根式与有理指数进阶
\( \sqrt{(\frac{1}{9}t)^{5}}=\frac{1}{243}(\sqrt[9]{t})^{k} \)
In the given equation, \( t>0 \), and k is a constant. What is the value of k?
In the given equation, \( t>0 \), and k is a constant. What is the value of k?
参考答案
根式与有理指数挑战
\( p=\sqrt{12c}-25 \)
The given equation relates the variables p and c, where c is positive. Which equation correctly expresses c in terms of p?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
If \( \sqrt{x-1}=2 \), what is the value of \( (x−1) \)?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
If \( \sqrt{x-5}=8 \) , what is the value of \( (x−5) \)?
原库参考解析
根式与有理指数进阶
\( \frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}}=\frac{c^2}{\sqrt{x^2-c^2}}+39 \)
In the given equation, c is a positive constant. Which of the following is one of the solutions to the given equation?
原库参考解析
根式与有理指数挑战
\( \sqrt[3]{p^{2}}=t^{\frac{9}{7}} \)
In the given equation, \( p>1 \) and \( t>1 \) . If \( t=p^{3n-1} \), where n is a constant, what is the value of n?
原库参考解析
