这部分需要会什么？
- 先确定分式的定义域，再化简或解方程
- 区分约分后的空点与竖直渐近线
- 将绝对值理解为距离并分类求解
核心概念与公式
分式的原分母不能为零。约分只能消去公共因式，不能单独消去加减项；约分后仍要保留原式的限制。若 \((x-r)\) 被完全约去且剩余分母在 \(r\) 处非零，原函数在 \(x=r\) 处有空点。
\(|x-a|\) 表示 \(x\) 与 \(a\) 的距离。\(|x-a|=d\) 在 \(d>0\) 时有 \(x=a\pm d\)，\(d=0\) 时只有 \(x=a\)，\(d<0\) 时无解。\(|x-a|\le d\)（\(d\ge0\)）表示 \(a-d\le x\le a+d\)。
做题时怎样使用
- 分式先写出所有分母不为零的限制，再通分、约分或交叉相乘
- 绝对值先判断右侧正负，再写对应的两个分支或距离区间
- 最后检查候选解是否属于原定义域和对应分支
容易混淆的地方
把 \((x^2-1)/(x-1)\) 约成 \(x+1\) 后仍需 \(x\ne1\)。绝对值方程有时只有一个解或无解，不能一律说有两个。
用一个例题串起方法
知识点教学例题解 \(|2x-3|=5\)。
展开解题思路 ＋
分成 \(2x-3=5\) 或 \(2x-3=-5\)。因此 \(x=4\) 或 \(x=-1\)。两者代回绝对值均为 5。
本知识点题库
先独立作答，再查看答案与解析。
分式・有理函数与绝对值挑战
\( \frac{46}{p}=\frac{46}{q}-\frac{46}{r}-\frac{46}{s} \)
The given equation relates the positive variables p, q, r, and s. Which of the following is equivalent to q?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( −8|3x-13|+4=−36 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
In the xy-plane, the graph of function \( f \), where \( y=f(x) \) , has exactly 8 x-intercepts. One of these x-intercepts is (17, 0). The rational function g is defined by \( g(x)=\frac{f(x)}{x-17} \). In the xy-plane, how many x-intercepts does the graph of \( y=g(x) \) have?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( \frac{\left(x-7\right)\left(x-9\right)}{x-4}=0 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
\( \frac{x+1}{5x^2}=\frac{k}{x} \)
In the given equation, k is a constant. The solution to the given equation is \( \frac{1}{224} \). What is the value of k ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
If \( |\ 16-2x\ |=58 \), which of the following is a value of \( 8−x \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The function \( f \) is defined by the equation \( f\left(x\right)=5\left|x-4\right|-25 \). What is the value of \( f(−4) \)?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值挑战
The table shows three values of \( x \) and their corresponding values of \( f(x) \), where \( f\left(x\right)=\frac{kx+63}{x+3} \) and \( k \) is a constant. What is the value of \( k \)?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
|x+4|+4=|2x-17|+4
What is the smallest solution to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( \frac{\left(x-7\right)\left(x-8\right)}{x-3}=0 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
The function w is defined by \( w\left(r\right)=\frac{1}{r-8}-\frac{r-5}{-r+4.25} \). What is the greatest possible value of r such that \( w\left(r\right)=0 \) ?
原库参考解析
分式・有理函数与绝对值进阶
\( \frac{\left(x-6\right)\left(x-8\right)}{x-5}=0 \)
What is the sum of the solutions to the given equation?
原库参考解析
