这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 11x^3+2x^2+3x \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 19\left(x^2-8\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
The expression \( 54y^5-36y^4 \) is equivalent to \( ry^4\left(9y-6\right) \), where r is a constant. What is the value of r?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 8\left(x^2+6\right) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 6x\left(x+3\right) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression \( 6x^4+17x^2+7 \) can be rewritten as \( \left(3x^2+a\right)\left(2x^2+b\right) \), where a and b are positive integers, or as \( \left(3x^2+c\right)\left(2x^2+d\right) \), where c and d are positive nonintegers. What is the value of a+c?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
If\( \left(\frac{1}{2}x-\frac{33}{2}\right)^2-64=0 \), what is the value of \( \left(x-33\right)^2 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( \left(w+7\right)\left(3w-10\right) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( \left(x+8\right)^2+14\left(x+8\right)+49 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( -16\left(5x-3\right)^2+4\left(5x-2\right)^2 \)
The given expression can be rewritten as \( \frac{a}{4}x^2+\frac{b}{4}x+\frac{c}{4} \), where a, b, and c are constants. What is the value of \( a+b+c \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 158t^3-24t^2u \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+14\right) \) ?
原库参考解析
