这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to\( \left(9x^2+9\right)-\left(2x^2\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( -16\left(3x-4\right)^2+4\left(3x-2\right)^2 \)
The given expression can be rewritten as\( \frac{a}{4}x^2+\frac{b}{4}x+\frac{c}{4} \) , where a, b,and c are constants. What is the value of a + b + c?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which of these expressions is equivalent to 2(2x −2y)(2x + 2y) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression (9x -28)(15x ＋4) is equivalent to the expression ax2+ bx + c, where a, b,and c are constants. What is the value of b?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
The expression (7x -24)(16x +9) is equivalent to the expression ax2+ bx + c, where a, b, and c are constants. What is the value of b
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( \left(x^3+8x^2-7x\right)+6\left(x^2+5\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is a factor of \( 3x^{2}−5x+6x−10? \)
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
\( f\left(x\right)=x^2-22x+72 \)
The function f is defined by the given equation. Which of the following equivalent forms of the equation displays the zeros of the function as constants or coefficients?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is a factor of \( 2x^2+34x+8? \)
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
If \( \left(x+3\right)^2=24 \), what is the value of \( x^2+6x \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 7x^6-14x^2 \) , where \( x>0 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 9\left(x^2+6\right) \) ?
原库参考解析
