这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 7\left(x^2+5\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 7\left(x^2+6\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to\( 20x^2+3+5x^2 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 3xy\left(2x^2+7y\right) \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 30x^2+6x+6 \) ？
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( f\left(x\right)=x^2-4x-320 \)
The function \( f \) is defined by the given equation. Which of the following equivalent forms of the equation displays the minimum value of the function as a constant or coefficient?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( (2x+9)^2-(x-7) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 41x^2+41 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( f(x)=-3x^2+30x-48 \)
The function \( f \) is defined by the given equation. Which of the following equivalent forms of the equation displays the maximum value of the function as a constant or coefficient?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 5xy+30x^2y+35xy^2 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
\( \left(2x^2+3x-3\right)-\left(7x^2+2x\right) \)
The given expression is equivalent to \( -5x^2+ax-3 \), where a is a constant. What is the value of a?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 2x^3+8x^2y+xy^2+4y^3 \)?
原库参考解析
