这部分需要会什么？
- 在展开式、因式分解式和顶点式之间转换
- 使用平方差与完全平方公式
- 通过等价形式直接读取所需信息
核心概念与公式
二次式的展开式为 \(ax^2+bx+c\)，其中 \(a\ne0\)。有实数零点时可写成 \(a(x-r_1)(x-r_2)\)，便于读零点；顶点式 \(a(x-h)^2+k\) 便于读顶点。
常用恒等式为 \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)、\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) 和 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)。配方时，先提出二次项系数，再在括号内补上一次项系数一半的平方，同时抵消所补的量。
做题时怎样使用
- 需要零点时优先因式分解，需要最值或顶点时优先配方
- 配方前将二次项系数提出，注意括号外系数对补偿常数的影响
- 将改写后的式子展开一次，核对每一项
容易混淆的地方
\((u+v)^2\) 不能漏掉 \(2uv\)。二次式没有实零点时，不能强行分解成两个实系数一次因式。
用一个例题串起方法
知识点教学例题将 \(2x^2-12x+11\) 写成顶点式。
展开解题思路 ＋
\(2x^2-12x+11=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\)。因此顶点为 \((3,-7)\)。
本知识点题库
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 14(x^2-6) \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( y=7x^2-bx-6 \)
Which of the following equations is equivalent to the given equation, where b is a positive constant?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
\( y=7x^2-bx-6 \)
Which of the following equations is equivalent to the given equation, where b is a positive constant?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 12x^3+30x^2y+12xy+30y^2 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式挑战
If \( \left(x+2\right)^2=18 \), what is the value of \( x^2+4x \) ?
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( (3x^3-4x+9)-(6x^6+8x-4) \)?
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二次式展开・配方与等价形式挑战
Which expression is equivalent to \( 9yz^3+6yz+3yz^3 \)?
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二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 60x^2-70 \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 2xy+14x^2y+16xy^2 \)?
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二次式展开・配方与等价形式基础
Which expression is a factor of \( 3x^2+57x+15 \) ?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
Which expression is equivalent to \( 42x^3+7x \)?
原库参考解析
二次式展开・配方与等价形式进阶
The expression \( 15x(x^2+9) \) is equivalent to \( ax^b+cx \) , where a, b, and c are constants. What is the value of abc?
原库参考解析
